扁球

扁球（へんきゅう、oblate, oblate spheroid、別名： 偏楕円? 、 扁平楕円? ）とは、楕円をその短軸を回?軸として回?したときに得られる回?? である。扁球は3?のうち長い2?の長さが等しい楕円? とも定義できる。言い換えれば、扁球は短半?が極半?、長半?が赤道半?の回?楕円? である。

これに?し、楕円をその長軸を回?軸として回?したときに得られる回??を長球という。

扁球の方程式 [ 編集 ]

長半? a 、短半? b の扁球の ?部の点 ( x , y , z ) は次の式を?たす。

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{b}}\right)^{2}\leq 1\quad \quad {\hbox{ or }}\quad \quad {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}\leq 1

扁球面上の点は次の式を?たす。

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{b}}\right)^{2}=1\quad \quad {\hbox{ or }}\quad \quad {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1

扁球の性質 [ 編集 ]

扁球の ?積 V は $V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b$ 、離心率 e は $e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}$ 、表面積 S は $S=2\pi \left(a^{2}+{\frac {b^{2}\tanh ^{-1}e}{e}}\right)$ である。

また、地理緯度 $\varphi \,\!$ における子午線曲率半? $M_{\varphi }\,\!$ 及び卯酉線曲率半? $N_{\varphi }\,\!$ はそれぞれ

$M_{\varphi }={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}\,,\;\;N_{\varphi }={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$

と表される。この二量を用いて、子午線に?し方位角 $\alpha \,\!$ を成す垂直截線の曲率半? $R_{\varphi }^{\alpha }\,\!$ は、オイラ?の定理により

$R_{\varphi }^{\alpha }={\frac {M_{\varphi }N_{\varphi }}{N_{\varphi }\cos ^{2}\alpha +M_{\varphi }\sin ^{2}\alpha }}$

のように表すことができる。

扁球?の物? [ 編集 ]

身のまわりにある扁球?の物?には、碁石、マ?ブルチョコレ?ト、 M&M's 、ウンシュウミカンなどがある。また、地球も扁平率が他の物?よりも非常に小さく ?球とは見分けがつきにくいが、 18世紀半ばに?施された北極付近と赤道付近の子午線弧長の比較の末、扁球?であることが分かっている。ただし、これらの扁球?の物?は、?密には?の扁球ではないことがある。

?連項目 [ 編集 ]