微分方程式

解析?において、 微分方程式 （びぶんほうていしき、（英 : differential equation ）とは、未知?? とその導?? の?係式として書かれている ??方程式である ^[1]。

??の?用分野においてしばしば、異なる2つの??の?係を調べることが行われる。2??を??付ける ?? があらわになっていなくても、その導??（の?たすべき方程式）を適?な?定の下で定めることができ、そこから目的とする??を探し出すことができる。

物理法則を記述する基礎方程式は、多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理? からの要請もあり微分方程式の解法には多くの?心が注がれてきた。

方程式論は解析? の中心的な分野で、フ?リエ?換、ラプラス?換等は元?、微分方程式を解くために開?された手法である。また物理?における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である ^[1]。

微分方程式は大きく線型微分方程式と非線型微分方程式に分類される。線形微分方程式の例として、例えばシュレ?ディンガ?方程式が?げられる。シュレ?ディンガ?方程式は、量子系の?態の時間?展を記述する方法の一つとして?く用いられている。非線型微分方程式の例として、例えばナビエ?スト?クス方程式（NS方程式）が?げられる。NS方程式は流? の運動を記述する基本方程式であり、物理?の?用としても重要な方程式である。しかし、NS方程式の解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。

その他、有名な微分方程式については Category:微分方程式を?照

?要 [ 編集 ]

微分方程式は方程式に含まれる導?? の階? ^{[注? 1]}によって分類され、最も高い階?が $n$ 次である場合、その微分方程式を $n$ 階微分方程式 ^{[注? 2]}と呼ぶ ^[1]。

いずれの場合も未知??は一つとは限らず、また、連立する複?の微分方程式を同時に?たす??を解とするような連立方程式の形を取る場合もある ^[1]。これは連立 $n$ 階微分方程式などと呼ばれる。

常微分方程式と偏微分方程式 [ 編集 ]

詳細は「常微分方程式」および「偏微分方程式」を?照

一????の導?? の?係式で書かれる常微分方程式と多????の偏導?? を含む?係式で書かれる偏微分方程式に分かれる ^[1]。

常微分方程式とは例えば、

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)-f(x)=0

や、

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\!f(x)-2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)+f(x)=\sin(x)

のような方程式である。

また、偏微分方程式は、

\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)f(x,y)=0

や、

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=\alpha x+\beta y

のような格好をした方程式である。

代?的微分方程式 [ 編集 ]

未知??とその導??の?係式が、未知??や導??を??と見たときに解析?? を係?とする多項式である場合、 代?的微分方程式 と呼ばれる。

線形微分方程式 [ 編集 ]

詳細は「線型微分方程式」を?照

方程式が未知??の一次式として書けるような方程式を 線形微分方程式 と呼ぶ。また、線型でない微分方程式は 非線形微分方程式 ^{[注? 3]}と呼ばれる。例えば、 $g (x)$ を $f (x)$ を含まない?知の??とすれば、

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+\alpha \right)f(x)=g(x)

は 線型微分方程式 であり、

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)f(x)=g(x)

は 非線型微分方程式 である。線型と呼ばれる理由は後述する線型?次な方程式について、解の線型結合がその方程式の一般解をなすためである。

未知??が 1 つの場合、高階の線型微分方程式を一階線型微分方程式の形に書き直すことができる。たとえば、 ${g k}$ を?知??の組として、以下の線型微分方程式が?えられたとき、

\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)f(x)=g_{0}(x),\quad g_{n+1}(x)=1

未知?? $f (x)$ の $k$ 階の導??を $y k (x)$ として ( $k = 0,..., n - 1$ )、以下の一組の微分方程式を得る。

{\begin{cases}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y_{k-1}(x)=y_{k}(x),\quad k=1,\dots ,n-1\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y_{n-1}(x)=g_{0}(x)-\sum _{k=0}^{n-1}g_{k+1}(x)y_{k}(x)\end{cases}}

この微分方程式は、より一般的に、ベクトルと行列の記法を用いて

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathbf {y} (x)=A(x)\mathbf {y} (x)+\mathbf {b} (x)

と書くことができる。ここで $y$ は未知?? $y 0,..., y n -1$ を成分に持つベクトル、 $A$ は?知?? ${a ij} i,j =0,..., n -1$ を成分に持つ $n \times n$ の行列、 $b$ は?知?? $b 0,..., b n -1$ を成分に持つベクトルである。

?次方程式と非?次方程式 [ 編集 ]

すべての項が未知??を含むか $0$ であるような線型微分方程式を 線型?次微分方程式 ^{[注? 4]}と呼び、?次でない線形微分方程式は 線型非?次微分方程式 ^{[注? 5]}と呼ばれる。同じ意味の言葉として?次方程式をしばしば 同次方程式 と呼ぶことがある。例えば、

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)+f(x)=0

は ?次な方程式であり、右?に $α$ を加えた、

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)+f(x)=\alpha

は 非?次 な方程式である。

より一般の線形常微分方程式について、

\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)f(x)=g_{0}(x),\quad g_{n+1}(x)=1

右?の?? $g 0 (x)$ がゼロならこの方程式は?次である。 ?次方程式の特?として、方程式の解 $s (x)$ が得られたとき、その定?倍 $cs (x)$ も方程式の解となる。また、?次方程式の解の線形結合もその?次方程式の解になる。

また、非?次な方程式の解 $s in (x)$ が得られたとき、元の方程式を?次な形にしたときの解 $s hom (x)$ を用いて、非?次方程式の新たな解 $s in (x) + s hom (x)$ を作ることができる。?際、

\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\right)\left(s_{\mathrm {in} }(x)+s_{\mathrm {hom} }(x)\right)=g_{0}(x)

としたとき、 $s in (x), s hom (x)$ はそれぞれ

{\begin{aligned}\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)s_{\mathrm {hom} }(x)&=0\\\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)s_{\mathrm {in} }(x)&=g_{0}(x)\end{aligned}}

を?たすので、 $s in (x) + s hom (x)$ は元の方程式の解になっている。

確率微分方程式 [ 編集 ]

詳細は「確率微分方程式」を?照

方程式に含まれる?知??が確率?? によって記述されるような微分方程式を 確率微分方程式 ^{[注? 6]}と呼ぶ。確率常微分方程式や確率偏微分方程式はしばしば英語の頭文字を取って“ SODE ”, “ SPDE ”と略記される。代表的な例は物理?におけるランジュバン方程式や金融工?におけるブラック-ショ?ルズ方程式がある。確率微分方程式の?知??は、自身の期待値や相??? によって特?付けられる。

解法 [ 編集 ]

微分方程式に限らず一般の方程式は必ずしも?密解が得られるとは限らない。?って多く場合は ?動などの手法を用いて近似的な評?を?えるか、ルンゲ＝クッタ法や SOR法、有限要素法のような ?値解法によって具?的な解を得ることになる。しかしながらいくつかの基本的な微分方程式については、?密解が得られたり、形式的に解を書き表せる。

微分方程式の具?的な解法としては代表的なものに、?次方程式の解を利用して解く定??化法、グリ?ン?? を用いた解法、差分方程式を用いた解法、ラプラス?換や逆ラプラス?換を用いた解法などが知られている。

指???と微分方程式 [ 編集 ]

一階の線型?次常微分方程式の中で最も基本的な方程式として次のものがある。

${\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=y(x).$

一般の線形微分方程式を解く際も、まずこの種の?次微分方程式に?着させるため、この方程式は微分方程式の解法を調べる上で基本的な役割を果たす。この方程式の解はよく知られているように指??? となる ^{[注? 7]}。

$y(x)=C\mathrm {e} ^{x}.$

ここで $C$ は任意定?である。解法は脚注にて紹介する ^{[注? 10]}。

指???の有用な性質として、微分作用素を別の定?や??に置き換えられることが?げられる。係?が定?の?次方程式

\left(\sum _{k=0}^{n}c_{k+1}{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)f(x)=0,\quad c_{n+1}=1

の解として指???で書けるものを探すと、 $f (x) = C exp(λx)$ と置き換えて、

\sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}=0

と書くことができる ^{[注? 11]}。これは $λ$ に?する $n$ 次の代?方程式になっている。重根がなければ方程式の解が $n$ 個求まることになり、?次方程式の一般解はそれらの線型結合として表される。

この形の方程式の一般解を求める方法としては定??化法がある ^{[注? 12]}。

一階線型常微分方程式 [ 編集 ]

一つの未知??に?する、一般の一階線型常微分方程式は、?知??を $P (x)$ 、 $Q (x)$ として、次のように書かれる。

${\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}+P(x)y(x)=Q(x).$

この一階線型常微分方程式は、一般解が求積法で解ける。まず、?次方程式

${\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}+P(x)y(x)=0$

の一般解は、積分定?を $A \neq 0$ として、

$y(x)=A\exp \left(-\int P(x')\,\mathrm {d} x'\right)$

となる。一階線型常微分方程式の一般解は、?次方程式の解を利用し $A$ を $x$ の??とみなす定??化法によって求められる。

$y(x)=\left\{\int Q(x')\exp \left(\int P(x'')\,\mathrm {d} x''\right)\mathrm {d} x'+C\right\}\exp \left(-\int P(x')\,\mathrm {d} x'\right).$

ここで $C \neq 0$ は積分定?である。

二階線型常微分方程式 [ 編集 ]

二階線型常微分方程式の一般形は、?知??を $P (x), Q (x), R (x)$ として、次のように書かれる。

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+P(x){\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}+Q(x)y=R(x).$

この二階線型常微分方程式は、このままの形では求積法を用いて一般解を表示することはできない。もし、右?を $0$ とした?次方程式の特殊解として、 $y = y 1$ が存在すれば、

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y_{1}(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+P(x){\frac {\mathrm {d} y_{1}(x)}{\mathrm {d} x}}+Q(x)y_{1}(x)=0$

が成り立つので、 $z$ なる未知??を導入して、

$y(x)=y_{1}(x)z(x)$

とすれば、二階線型常微分方程式が、 $z$ に?する常微分方程式、

${\begin{aligned}&y_{1}{\frac {\mathrm {d} ^{2}z(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\Bigl (}2y'_{1}(x)+P(x)y_{1}(x){\Bigr )}{\frac {\mathrm {d} z(x)}{\mathrm {d} x}}=R(x),\\&y'_{1}(x)={\frac {\mathrm {d} y_{1}(x)}{\mathrm {d} x}},\end{aligned}}$

に?換される。この常微分方程式は、導?? $d z /d x$ に?して一階線型常微分方程式なので、求積法で解ける。その一般解を

$z=\psi (C_{1},C_{2},x)~~$

とすると、二階線型常微分方程式の一般解は、

$y=y_{1}\psi (C_{1},C_{2},x)~~$

で?えられる。なお、 $C 1, C 2$ は積分定?である。 $x$ の?知??を含む二階線型常微分方程式で、求積法で解ける微分方程式は少ないが、次の微分方程式などが知られている ^[2]^[3]^[4]。

求積法で解ける方程式の例 ^{[注? 13]}
方程式	一般解 ^[2]
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-xP(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+P(x)y=0$	$y=x{\Bigl \{}C_{1}+C_{2}\int {\frac {1}{\,x^{2}\,}}\exp {\Bigl (}\int \!xP(x)\,dx{\Bigr )}\,dx{\Bigr \}}$
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+P(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-a(a+P(x))y=0$	$y=e^{ax}{\Bigl \{}C_{1}+C_{2}\!\int \exp {\Bigl (}\!-2ax-\!\!\int \!P(x)\,dx{\Bigr )}\,dx{\Bigr \}}$
$P(x){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(a+bx){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-by=0$	$y=C_{1}\!\!\int \!\!\int \!\!{\frac {1}{\,P(x)\,}}\exp {\Bigl (}\!-\!\!\int \!{\frac {\,a+bx\,}{P(x)}}\,dx{\Bigr )}\,dx\,dx+C_{2}{\Bigl (}x+{\frac {a}{\,b\,}}{\Bigr )}$
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y\,}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\frac {1}{2P(x)}}\cdot {\frac {\mathrm {d} P(x)}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+P(x)y=0$	$y=C_{1}\sin \left(\int {\sqrt {P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)+C_{2}\cos \left(\int {\sqrt {P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)$
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y\,}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\frac {1}{P(x)}}\cdot {\frac {\mathrm {d} P(x)}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-\left(P(x)\right)^{2}y=0$	$y=C_{1}\exp \left(\int P(x)\,\mathrm {d} x\right)+C_{2}\exp \left(-\int P(x)\,\mathrm {d} x\right)$
$x{\frac {\mathrm {d} ^{2}y\,}{\mathrm {d} x^{2}}}+(\alpha +\beta x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\beta y=0.$	$y=x^{1-\alpha }e^{-\beta x}\left(C_{1}\int {}x^{\alpha -2}e^{\beta x}\,\mathrm {d} x+C_{2}\right)$

脚注 [ 編集 ]

[ 脚注の使い方 ]

注? [ 編集 ]

^ 英 : order
^ 英 : $n$ th order differential equation
^ 英 : non-linear differential equation
^ 英 : homogeneous linear differential equation
^ 英 : inhomogeneous linear differential equation
^ 英 : stochastic differential equation 、SDE
^ この微分方程式の解として指???を定義する場合もある。その場合、 $y (0) = 1$ となる解 $y (x)$ を指??? $exp(x) (\equiv e x)$ とする。
^ この?係を示す際に、ラフな計算法として $d y, d x$ を微小な?として扱うことがある。つまり、
$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y$
の??に $d x / y$ を掛けて、
$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=\mathrm {d} x$
とし、最後に積分記? $\int$ を添える。
^ ????が指???の逆?? であることを利用する。 $exp(ln y) = y .$
^ 解法： 一つの方法は次の自然?? の積分公式を利用する方法である。

$\scriptstyle \int {\frac {\mathrm {d} x'}{x'}}=\ln |x|+\mathrm {constant} .$

ある $x$ で $y$ が $0$ となるなら、

$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=0$

方程式を?たす解 $y$ は $0$ である。次に $y$ が $0$ とならない解を探すと、方程式は次のように?形できる。

$\scriptstyle {\frac {1}{y(x)}}{\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=1.$

??を積分すれば、右?は最初に示した積分と同じ形になる ^{[注? 8]}。

$\scriptstyle \int {\frac {1}{y'}}\,\mathrm {d} y'=\int 1\,\mathrm {d} x'.$

??の積分を計算すると方程式の解は指??? になることが分かる ^{[注? 9]}。

$\scriptstyle y(x)=\mathrm {constant} \times \exp(x).$

その他の解法としては結局、指???か????の定義に?着させることになる。
^ 非自明な解を探しているので、任意の $λ$ に?して $f (x) = C exp(λx) \neq 0$ である。?って、
$\scriptstyle \left(\sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}\right)C\exp(\lambda x)=0$
を?たす $λ$ はすべて
$\scriptstyle \sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}=0$
を?たす。
^ 解の形として $f (x) = C (x)exp(λx)$ というものを?定しても一般性は損なわれない。
^ $a \neq 0$ と $b \neq 0$ および $α$ と $β \neq 0$ は定?で、 $C 1, C 2$ は積分定? 。

出典 [ 編集 ]

^ ^a ^b ^c ^d ^e 長倉三? ほか編、『岩波理化??典 Archived 2013年9月27日, at the Wayback Machine .』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。 ISBN 4-00-080090-6
^ ^a ^b 長島隆廣『常微分方程式80余例とその?密解』近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6 . ?立???書館?書, 請求記?：MA117-H55（東京　本館書庫）
^ 長島隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サ?ビスセンタ?，1982年5月?行，?立???書館?請求記? MA117-111，全?書誌番? 82049441
^ 長島隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358

?連項目 [ 編集 ]

ポ?タル ??

外部リンク [ 編集 ]

『微分方程式』 - コトバンク

[2] 英 : order

[3] 英 : $n$ th order differential equation

[4] 英 : non-linear differential equation

[5] 英 : homogeneous linear differential equation

[6] 英 : inhomogeneous linear differential equation

[7] 英 : stochastic differential equation 、SDE

[8] この微分方程式の解として指???を定義する場合もある。その場合、 $y (0) = 1$ となる解 $y (x)$ を指??? $exp(x) (\equiv e x)$ とする。

[9] この?係を示す際に、ラフな計算法として $d y, d x$ を微小な?として扱うことがある。つまり、
$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y$
の??に $d x / y$ を掛けて、
$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=\mathrm {d} x$
とし、最後に積分記? $\int$ を添える。

[10] ????が指???の逆?? であることを利用する。 $exp(ln y) = y .$

[11] 解法： 一つの方法は次の自然?? の積分公式を利用する方法である。

$\scriptstyle \int {\frac {\mathrm {d} x'}{x'}}=\ln |x|+\mathrm {constant} .$

ある $x$ で $y$ が $0$ となるなら、

$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=0$

方程式を?たす解 $y$ は $0$ である。次に $y$ が $0$ とならない解を探すと、方程式は次のように?形できる。

$\scriptstyle {\frac {1}{y(x)}}{\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=1.$

??を積分すれば、右?は最初に示した積分と同じ形になる ^{[注? 8]}。

$\scriptstyle \int {\frac {1}{y'}}\,\mathrm {d} y'=\int 1\,\mathrm {d} x'.$

??の積分を計算すると方程式の解は指??? になることが分かる ^{[注? 9]}。

$\scriptstyle y(x)=\mathrm {constant} \times \exp(x).$

その他の解法としては結局、指???か????の定義に?着させることになる。

[12] 非自明な解を探しているので、任意の $λ$ に?して $f (x) = C exp(λx) \neq 0$ である。?って、
$\scriptstyle \left(\sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}\right)C\exp(\lambda x)=0$
を?たす $λ$ はすべて
$\scriptstyle \sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}=0$
を?たす。

[13] 解の形として $f (x) = C (x)exp(λx)$ というものを?定しても一般性は損なわれない。

[17] $a \neq 0$ と $b \neq 0$ および $α$ と $β \neq 0$ は定?で、 $C 1, C 2$ は積分定? 。

[r-1] 長倉三? ほか編、『岩波理化??典 Archived 2013年9月27日, at the Wayback Machine .』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。 ISBN 4-00-080090-6

[diffequ-2005nga-14] 長島隆廣『常微分方程式80余例とその?密解』近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6 . ?立???書館?書, 請求記?：MA117-H55（東京　本館書庫）

[diffeq-198205-15] 長島隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サ?ビスセンタ?，1982年5月?行，?立???書館?請求記? MA117-111，全?書誌番? 82049441

[difeq-201812ccrmap-16] 長島隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358

[1]

[注? 1]

[注? 2]

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[注? 5]

[注? 6]

[注? 7]

[注? 10]

[注? 11]

[注? 12]

[2]

[3]

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[注? 13]

[注? 8]

[注? 9]

表話編 ? ??
主要分野	?理論理? 集合論 ?論代?? 初等線型多重線型抽象算術 / ?論解析? / 微分積分? ??解析? 行列解析幾何? 代? 微分有限離散位相代?的位相表現論リ?理論（英語版）微分方程式線型微分方程式複素微分方程式常微分方程式偏微分方程式積分微分方程式力?系組合せ?? ?理物理? ゲ?ム理論グラフ理論最適化問題 ?理最適化計算理論確率論 ?理統計? （英語版）制御理論三角法
トピックス	??史和算算道 ?理哲? 美未解決問題算?????育算? ?科
賞	ボッチャ?記念賞コ?ル賞フィ?ルズ賞ヴェブレン賞サレム賞スティ?ル賞ウルフ賞クラフォ?ド賞クレイ?究賞ガウス賞ア?ベル賞ラマヌジャン賞 SASTRAラマヌジャン賞チャ?ン賞 ??ブレイクスル?賞
?用	情報理論折紙の?? ?碁と?? ?値解析精度保?付き?値計算計算機援用?明 ?値線形代? 常微分方程式の?値解法偏微分方程式の?値解法
?? ? ??	?際??者?議 ?際??連合 ?際産業?理??用?理?議 ?際産業?理??用?理評議? （英語版）アメリカ??? SIAM ヨ?ロッパ??? ロンドン??? 日本?用?理?? 日本??? ???育協議?
競技	?際??オリンピック日本??オリンピック日本ジュニア??オリンピック ?中杯近畿大???コンテスト人の最大の力を競う算????の大?
?究所	京都大??理解析?究所明治大?先端?理科?インスティテュ?ト統計?理?究所アンリ?ポアンカレ?究所オ?バ?ヴォルファッハ???究所クレイ?究所 CIMAT???究センタ? ステクロフ???究所
一? ??定? ? ?? ?形 ??記? ??者エポニムカテゴリポ?タル

表話編 ? 微分積分?
Precalculus	二項定理凹?? 連??? 階? 有限差分自由??と束縛?? 基本定理 ??のグラフ線型?? 平均値の定理ラジアンロルの定理割線傾き接線
極限	不定形（英語版） ??の極限片側極限 ?列の極限 ?列の加速法近似のオ?ダ? （英語版） ε-δ論法
微分法	連鎖律導?? 微分微分方程式微分作用素陰??微分逆??の微分（英語版）ロピタルの定理ライプニッツ則 ??微分平均値の定理ニュ?トン法記法ライプニッツの記法ニュ?トンの記法レギオモンタヌスの問題相??化率（英語版）基本法則線型性（英語版）積商冪函? （英語版）停留点極値の判定（英語版）最大値の定理極値テイラ?の定理
積分法	逆微分弧長積分定? 積分記?下の微分（英語版）微分積分?の基本定理正割の立方の積分（英語版）正割??の積分（英語版）半角正接置換法（英語版）積分における部分分? （英語版）二次有理式の積分（英語版）円周率が22/7より小さいことの?明基本法則線型性（英語版）部分積分置換積分台形公式三角函?置換法（英語版）
ベクトル解析	回? 方向微分 ?散 ?散定理勾配勾配定理（英語版）グリ?ンの定理ラプラシアンスト?クスの定理
多??微分積分?	曲率 Disc integration （英語版） ?散定理外微分ガブリエルのホルン幾何解析（英語版）ヘッセ行列ヤコビ行列と行列式線積分 Matrix calculus 多重積分偏微分バウムク?ヘン積分面積分テンソル解析 ?積分
級?	ア?ベルの判定法（英語版）交代交代級?判定法（英語版）算術幾何?列二項コ?シ?の凝集判定法比較判定法ディリクレの判定法オイラ??マクロ?リンの公式フ?リエ幾何超幾何 q超幾何調和無限積分判定法極限比較判定法（英語版）マクロ?リン冪比判定法冪根判定法テイラ? 項判定法（英語版）
特殊?? と??定?	ベルヌ?イ? ネイピア? オイラ?定? 指??? 自然?? ガンマ?? スタ?リングの近似楕円??
?史（英語版）	擬等式（英語版）ブルック?テイラ? コリン?マクロ?リン代?の一般性（英語版）ゴットフリ?ト?ヴィルヘルム?ライプニッツ無限小無限小解析（英語版）アイザック?ニュ?トン連?の法則（英語版）レオンハルト?オイラ? 『流率法』 ( 流率（英語版） ) 『方法（英語版）』
一?	微分法則（英語版）指???の原始?? ?曲線??の原始?? 逆?曲線??の原始?? 逆三角??の原始?? 無理??の原始?? ????の原始?? 有理??の原始?? 三角??の原始?? 極限 ??記? 原始??
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微分積分? : 積分法微分法微分方程式 ( 常 - 偏 ) 基本定理 ?分法ベクトル解析テンソル解析積分一? 導??一? （英語版）
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