微分幾何?

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??における 微分幾何? （びぶんきかがく、 ドイツ語 : Differentialgeometrie、 英語 ：differential geometry）とは 微分 を用いた 幾何? の?究である。また、 可微分多?? 上の微分可能な ?? を取り扱う??の分野は 微分位相幾何? （びぶんいそうきかがく、 ドイツ語 : Differentialtopologie、 英語 : differential topology）とよばれることがある。 微分方程式 の?究から自然に?生したこれらの分野は互いに密接に?連しており、特に 一般相?性理論 をはじめとして 物理? に多くの?用がある。これらは可微分多??についての幾何?を構成しているが、 力?系 の視点からも直接に?究される。

微分幾何?の道具立て [ 編集 ]

微分幾何?における基本的な問題意識は 多??上の微分 である。これには 多?? 、 接束 、 余接束 、 外微分 、p-次元部分多??上の p-形式 の積分、 スト?クスの定理 、 ウェッジ積 、 リ?微分 などの?究が含まれることになる。これらはみな多??の微積分と?連しているが、幾何?的な理論に?用するために特定の 座標系 によらずに意味を持つような形で定式化されなければならない。微分幾何?に特?的な?念によって、二階の 導?? の持つ幾何?的な性質、特に 曲率 の多くの側面が?現されるといえるだろう。

微分位相幾何? [ 編集 ]

微分位相幾何?では多??上の滑らかな構造のみに起因するような構造や性質が調べられる。滑らかな多??は付加的な幾何構造を付?されてしまった多??よりも柔軟な?象である。付加的な構造は微分位相幾何?的には可能な?形や 同値?係 の存在に?する障害になることがある。例えば ?積 や リ?マン曲率 は一つの滑らかな多??上の異なった幾何構造を?別する 不?量 になりうる。つまり、多??を滑らかに「引き延ばす」ことができるとしてもそれによって空間が?形されてしまい曲率や?積が影響を受けるということがありうる。

逆に、滑らかな多??は 位相多?? と比較すればより?しい構造をもっている。ある種の位相多??は滑らかな構造を持ち得ない（ ドナルドソンの定理 ）し、ある種のものは相異なる複?の滑らかな構造を持ちうる（例えば 異種球面 ）。滑らかな多??から得られる構成のうち、接束のように（追加の考察をすることで）位相多??に?しても?現可能なものもあるが、そうでないものもある。

?在的な定式化と外在的な定式化 [ 編集 ]

19世紀 の初めから中頃まで、微分幾何は外在的な視点に立って?究されていた。外在的な視点とは、（ 曲面 としてはじめから三次元の空間の中に?現されているものを考えるように） 曲線 や曲面を、より高い次元の ユ?クリッド空間 の中におかれたものとして見ることである。特に?純な部分は曲線の微分幾何?に?する結果である。

これに?し、 リ?マン による?究を基点として、問題とする幾何?的?象を一個の自立したものとして考え、その「外に出る」ことを要請しない、?在的な視点が?展してきた。この?在的な視点は、外在的な視点に比べ、より柔軟なものである。例えば相?性理論においては、 時空 （その「外側」の意味は全く明らかではない）を外在的な方法によって自然に捉えられないため、?在的な方法は便利である。しかし?在的な視点のもとでは曲率や 接? などの中心的な?念を定義することが見かけ上困難になるという代償を?わなければならない。

これら二つの視点は融和させることが可能であり、外在的な幾何とは、?在的に定められた幾何?的?象に付加的な構造を付?することだとも考えられる。 ナッシュの埋め?み定理 も?照のこと。

微分幾何?の分野 [ 編集 ]

リ?マン幾何? [ 編集 ]

詳細は「 リ?マン幾何? 」を?照

リ?マン幾何?では、滑らかな多??に線素の長さの?念を付け加えてごく微小な範?ではユ?クリッド空間のような構造をあたえられたリ?マン多??が主要な?究?象となる。リ?マン多??上では??の 勾配 、ベクトル場の ?散 や曲線の長さなど??なユ?クリッド幾何の?念が（大域的な??性を落とすことによって）一般化される。リ?マン曲率テンソルがリ?マン多??の各点に?して定まり、これによって多??がどれだけ平坦かをはかることができる。

リ?マン多??の?念をさらに一般化し、各点での接ベクトル空間にノルムが定義されている?況を考える フィンスラ?幾何? が得られる。

シンプレクティック幾何? [ 編集 ]

詳細は「 シンプレクティック幾何? 」を?照

シンプレクティック幾何?では、 シンプレクティック形式 （つまり、非退化で反??な2次閉形式）があたえられた シンプレクティック多?? （偶?次元でなければならない）が主要な?究?象になる。 リ?マン幾何? と異なり、次元が同じシンプレクティック多??の局所的な構造はすべて同じになり（ ダルブ?の定理 ）、したがって本質的に問題になるのは大域的な構造だということになる。

複素幾何? [ 編集 ]

詳細は「 複素幾何? 」を?照

複素微分幾何では 複素多?? が?究される。?複素構造とよばれる接ベクトル場準同型（つまり(1, 1) 型のテンソル）J: TM → TM でその自?が -1 倍作用であるようなものを持つ?多?? M は ?複素多?? とよばれる。?複素多??のうちで?複素構造 J の「ねじれ」を表すNijenhuisテンソル N J が消えているようなものは複素多??とよばれる。この?件は正則なアトラスの存在と同値になる。

複素多?? (M, J) に?し、さらにリ?マン計量g で?複素構造 J と?立するものを考え、g の「ねじれ」ω(X, Y) = g(JX, Y) が閉形式になっているならば (M, J, g) は ケ?ラ?多?? とよばれる。ケ?ラ?多??は特に複素多??であり、またシンプレクティック多??にもなっている。滑らかな複素代?多??として??なケ?ラ?多??の例があたえられる。

マキシム?コンツェビッチ による ミラ???性 の定式化からはシンプレクティック幾何?と複素幾何?の間に??がつくことが予想されている。

?連項目 [ 編集 ]

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