弓形

初等幾何? における弓形（ゆみがた、英 : circular segment (記?: ? ）は、円板から割線または弦によって?りの部分から「切り取られる」部分を言う。より?密には、円の劣弧（中心角が180°未?の弧）とその円弧の?端点を結ぶ弦で?まれた二次元の領域を弓形という。

各種の公式 [ 編集 ]

円の半? を $R$ , 中心角は $θ [rad] = α [°]$ とし、弦の長さ $c$ および弧長 $s$ と矢の長さ $h$ および扇形の三角形部分の高さを $d$ とする。

円の半?は

R=h+d={\frac {h}{2}}+{\frac {c^{2}}{8h}}

と表せる。

後者の $h$ と $c$ で表された式は、 $2 R$ （直? の長さ）と $c$ が互いに直交する弦の長さであることに注意すれば交弦定理（英語版）（方冪の定理の特別の場合）から

{\begin{aligned}&(2R-h)\cdot h={\frac {c}{2}}\cdot {\frac {c}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\\&\iff 2R={\frac {c^{2}}{4h}}+h\\&\iff R={\frac {c^{2}}{8h}}+{\frac {h}{2}}\end{aligned}}

と求められる。

円弧の長さは

s={\frac {\alpha }{180}}\pi R=\theta R=\arcsin \!{\Big (}{\frac {c}{h+(c^{2}/4h)}}{\Bigr )}{\Bigl (}h+{\frac {c^{2}}{4h}}{\Bigr )}

と書ける。

最後の逆正弦函? $arcsin$ を用いた式は、同じ弧を見?み一?が直?となるような円周角を考えることで導かれる。?際、円周角の大きさは θ / 2 であり、その角を含む斜? が直?であるような直角三角形が作れる。このような設定は、以下で見るようなほかの逆三角函?公式を導くにも有用である。

c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}=2R{\sqrt {1-(d/R)^{2}}}

あるいは矢の長さ

h=R{\Bigl (}1-\cos {\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}

および中心角

\theta =2\arctan {\frac {c}{2d}}=2\arccos {\frac {d}{R}}=2\arccos {\Bigl (}1-{\frac {h}{R}}{\Bigr )}=2\arcsin {\frac {c}{2R}}

なども計算できる。

弓形の面積 $A$ は扇形の面積から、三角形部分の面積を引いて

A={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin \theta )=R^{2}{\Bigl (}\arcsin {\frac {c}{2R}}-{\frac {c}{2R}}{\sqrt {1-\left({\frac {c}{2R}}\right)^{2}\,}}\,{\Bigr )}

で求められる。あるいは中心角を度?法で測るならば

A={\frac {R^{2}}{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha \pi }{180}}-\sin \alpha {\Bigr )}

である。

円板全?の面積 $S = πR 2$ との比をとれば、

{\frac {A}{S}}={\frac {1}{2\pi }}(\theta -\sin \theta )={\frac {\alpha }{360}}-{\frac {\sin \alpha }{2\pi }}

となる。

面積公式は、部分的に充?された円筒形の貯?タンクの?積を計算するのに用いることができる。

丸みのある天板を持つ窓やドアのデザインにおいて、 $c$ と $h$ だけが分かっているという場面で、製?士がコンパスで $R$ を計算することに利用できる。

弓形の弧長や弦長を測定して、弓形からもとの円板全?の完全な寸法を復元することができる。

円系パタ?ンの穴の位置をチェックすること、特に機械製品の品質チェックに利用できる。