この項目では、??の集合について?明しています。ソフトウェアのデザインパタ?ンについては「 Singleton パタ?ン 」をご?ください。

?? における ?集合 （たんしゅうごう、 英 : singleton ; ?元集合 、 ?項集合 、 一元集合 ）あるいは ?位集合 （ unit set ^[1] ）は、唯一の元からなる 集合 である。 一つ組 (1-tuple) や ?項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。

例えば、{0} という集合は?集合である。

性質 [ 編集 ]

ツェルメロ?フレンケル集合論 の?組みの中では 正則性の公理 が「自身を元とする集合」が存在しないことを保?するから、?元集合とその?元集合を含む集合とは必然的に異なる??的?象を意味するものとなる ^[1] 。つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる?項集合 {∅} は 空集合 ∅ ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も、ただ一つの集合を元（その元自身は?集合ではない）として持つ?集合である。

?集合であることと、その集合の 濃度 が 1 であることは 同値 である。 自然?の集合論的構成 において、自然?の 1 とは?集合 {0} のことと定義される。

公理的集合論 において、 ?の公理 からの?結として?元集合の存在が導かれる。?ち、任意の集合 A に?して、 A と A に?して?の公理を適用すれば { A , A } なる集合の存在が保?されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、?元集合 { A } に他ならない。ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ∅ は集合になるから、 A = ∅ ととって先の議論は正?化できる。

任意の集合 A と?集合 S に?し、 A から S への ?像 はちょうど一つだけ存在する（それは A の各元を S の唯一の元へ?すものである）。?って任意の?元集合は 集合の? にける 終?象 である。

?用 [ 編集 ]

位相空間論 において、ある空間の全ての?集合が 閉集合 であることと、その空間が T ₁ -空間 であることは同値である。

?集合を台として構築される構造が、??な ? における 終?象 や 零?象 を?えることがしばしばある。例えば、

• ?に述べたように 、?集合はちょうど 集合の? Set における終?象になっており、他の集合で Set の終?象となるものは存在しない。
• 任意の?集合は、唯 1通りの（全ての部分集合を開集合とする位相を考える）方法で 位相空間 にすることができる。このような一元位相空間は位相空間と連??像の? Top における終?象である。他にこの? Top の終?象となる位相空間は存在しない。
• 任意の?集合は、唯 1通りの（唯一の元を ?位元 とする）方法で 群 にすることができる。このような一元群（ ?位群 ）は、群と群準同形の? Grp における零?象である。他にこの? Grp の終?象となる群は存在しない。

定義函?による定式化 [ 編集 ]

クラス S を 指示?? 1 _S : X → {0, 1} が定義するものとすると、 S が?集合であるための必要十分?件は、その指示?? 1 _S が適?な y ∈ X に?して

1 _S ( x ) = ( x = y )　　(∀ x ∈ X )

（右?は アイバ?ソン括弧 ）を?たすことである。

?史的には、この定義は ホワイトヘッド と ラッセル が自然? 1 を

${\displaystyle 1{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}{\hat {\alpha }}\{(\exists x).\alpha =\iota \jmath x\}\quad {\text{where }}\iota \jmath x{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}{\hat {y}}(y=x)}$

と定義するために導入したものである ^[2] 。

脚注 [ 編集 ]

?連項目 [ 編集 ]

• 類 (??)