十九角形 （じゅうきゅうかくけい、じゅうきゅうかっけい、 Enneadecagon 、enneakaidecagon や nonadecagon とも）は、 多角形 の一つで、19本の ? と19個の 頂点 を持つ ?形 である。 ?角 の 和 は3060°で、 ?角線 の本?は152本である。

正十九角形 [ 編集 ]

正十九角形においては、 中心角 と 外角 は18.947…°で、?角は161.052…°となる。一?の長さが a の正十九角形の 面積 S は

${\displaystyle S={\frac {19}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{19}}\simeq 28.4652a^{2}}$

で、外接円の半? R は

${\displaystyle R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{19}}\simeq 3.037767a}$

で?えられる。

${\displaystyle \cos(2\pi /19)}$を平方根と立方根で表すことが可能であるが、 三次方程式 を2回解く必要である。 以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の?係式）を示す ^[1] 。

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\frac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\alpha \\2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}=&{\frac {-1+{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\beta \\2\cos {\frac {8\pi }{19}}+2\cos {\frac {18\pi }{19}}+2\cos {\frac {12\pi }{19}}=&{\frac {-1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\gamma \\\end{aligned}}}$

さらに、以下のような?係式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)\\\end{aligned}}}$

??の立方根を取ると

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)}}\\2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)}}\\\end{aligned}}}$

よって

${\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{19}}=&\alpha +{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)}}+{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)}}\\\end{aligned}}}$

整理すると

正十九角形の作? [ 編集 ]

正十九角形は 定規 と コンパス による 作? が不可能な?形である。

正十九角形は 折紙 により作?可能である。

脚注 [ 編集 ]

?連項目 [ 編集 ]

• ピアポント素?

外部リンク [ 編集 ]

ウィキメディア?コモンズには、 十九角形 に?連するカテゴリがあります。

ポ?タル ??

• Weisstein, Eric W. "Enneadecagon" . mathworld.wolfram.com (英語).
• 正十九角形の作?