五角形

五角形 （ごかくけい、ごかっけい、英 : pentagon ）は、 5 つの頂点と ? を持つ多角形の??。

正五角形 [ 編集 ]

正五角形は、各?の長さが等しく、 ?角も108 ° （中心角は 72 °）と一定な五角形である。?の長さを a とすると

面積: $A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048a^{2}$
?接円の半?: $r={\frac {a}{2}}\cot {\frac {\pi }{5}}$
外接円の半?: $R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{5}}={\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}a$

正五角形の作? [ 編集 ]

正五角形(regular pentagon)は定規とコンパスによる作? が可能である。以下に示すのは古典的な方法の一つである。


(1)	(2)	(3)	(4)

直線上の一点Oを中心にとった円を描?し、直線と交わる二点をA, Bとする。ABの垂直二等分線、およびOAの垂直二等分線を作?する。
OAとその垂直二等分線が交わる点をC、円OとABの垂直二等分線が交わる点のうち一つをDとする。CDを半?にとり、Cを中心にDからABまで弧を描?する。弧とABが交わる点をEとする。
DEを半?にとり、Dを中心に弧を描?する。弧が円Oと交わる二点をF, Gとする。
同じ半?のままF, Gを中心とした弧を描?する。これらの弧が円Oと交わる五点D, F, G, I, Hを結ぶ?形が正五角形である。

正方形のマス目上での正五角形の描き方
正五角形の領域をその高さと外接円心の高さの比を利用して求め出す方法の一例

定理 [ 編集 ]

正五角形の一?と ?角線との比は、 ?金比に等しい。
正五角形の交わる?角線は、互いに他を ?金比に分ける。
?角線の長さが互いに全て等しい正多角形は、正五角形と正四角形 (正方形)のみである。
n 角形の?角線の本?を m 本としたとき n = m が成り立つのは n = 5、すなわち五角形だけである。

種類 [ 編集 ]

五等?五角形 [ 編集 ]

詳細は「 en:Equilateral pentagon 」を?照

五等?五角形は5つ?が同じ長さの五角形である。しかし、五角形の5つの?角は値の0~180度の範?を取ることができるため、複?の五角形の集まりを形成することが可能である。 ^[
要校?
]また、正五角形も5つの?全てが等しいため五等?五角形と言える。

五等?五角形の例
正五角形も五等?五角形の一つである。
2つの角が直角の五等?五角形

共円五角形 [ 編集 ]

共円五角形は、外接円と呼ばれる円が、すべての5つの頂点を通過している五角形である。正五角形は、共円五角形の一つである。共円五角形の面積は、規則的であるかどうかに?係なく、係?が五角形の?の??である七次方程式の根の1つの平方根の4分の1として表すことができる ^[1]^[2]^[3]。

ロビンスの五角形 [ 編集 ]

有理?の?と有理?の面積を持つ循環五角形が存在する。これは、ロビンスの五角形（英語版）と呼ばれている ^[4]。ロビンスの五角形の?角線はすべて有理?またはすべて無理?でなければならないことが?明されており、すべての?角線は有理?でなければならないと推測される ^[4]。

直角五角形 [ 編集 ]

直角五角形は直角の角を持つ五角形である。五角形は1つ、2つまたは3つの直角を持つことが可能であり、通常五角形は4つや5つの直角はは持つことができない ^[5]。しかし、?曲幾何?においてはすべての?角が直角の五角形を描くことができる ^[6]。五角形の2つの直角と3つの直角には、2つの種類があり、直角は、連?する場合と連?しない場合がある ^[5]。正五角形には直角は無いため、直角五角形ではない ^[5]。

一つの角が直角の直角五角形
二つの角が直角かつ連?している直角五角形。
二つの角が直角かつ連?していない直角五角形。

五等角五角形 [ 編集 ]

5つの角の大きさが全て等しい五角形。等角五角形の1つの角の大きさは108°になる ^[7]^[8]。

五等角五角形の例
五等角五角形の例
正五角形も五等角五角形の一つである。
五等角五角形の例

凸五角形 [ 編集 ]

すべての凸五角形において、?角線の平方の合計は、?の平方の合計の3倍未?である ^[9]。

凹五角形 [ 編集 ]

五角形の角度の少なくとも1つが180°を超える場合、凹五角形になる ^[10]^[11]。

凹五角形の例
凹五等?五角形の例

その他五角形に?する事項 [ 編集 ]


紙片の結び目と正五角形

正五角形?連 [ 編集 ]

五角形の?角線を?いだ星形を 五芒星 （ペンタグラム）という。たとえば長崎市の市章などはペンタグラムとなっている。
細長い紙片、（またはリボンや割り箸袋など）で一重結びの結び目を作ると正五角形が得られる。
アメリカ ?防?省を俗に ペンタゴン というが、これはバ?ジニア州にある本省??が五角形であることに由?する。こちらを指す時には定冠詞「The」が冠される。
函館市の五稜郭も外郭に突き出した三角形を組み合わせた五角形の「稜堡式（りょうほしき）」を採用した要塞である。これは、要塞設計と構造特性上、外敵からの攻?に?する死角を防ぎ、稜堡の一?が?時の銃の射程以?に?まり、どの方向から襲?されても??しやすいといった、守備に適した非常に合理的な形?と考えられたためである。
飯塚伊賀七の作った茨城? つくば市谷田部にある五角堂は、五角形をした建築物である ^[12]。
ヒトデやウニなど、棘皮動物の?制は五放射相?を基本とする。
植物の世界では、バラ科やナス科などのように五枚の花びらで構成された五弁花が多く、 ?列におけるフィボナッチ? であることが知られている。
$\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$ で、これに ?金比をかけると $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1 / 2$ になる。つまり、 $2sin18°$ は?金比の逆? である。
五角? は多角? の一つである。
正五角形の1つの頂点からの2本の?角線と1?とでできる三角形は ?金三角形である。
水平な底?を持つ正五角形の右下の?の傾きは「高さ× $2$ /底?の長さ」となっている。
正五角形の?接円と外接円の半?の比は $φ : 2$ となっている。

水平な底?を持つ正五角形の右下の?の傾きは「高さ× $2$ /底?の長さ」となっている。
正五角形の?接円と外接円の半?の比は $φ : 2$ となっている。
赤の正円に外接する正方形を??それぞれに8等分してできるマス目（?）を活用すると、?のように赤の正円に?接する正五角形（橙）とその正五角形に?接する正円（?）を描くことができる。
同一の正円(?)に?接する正五角形(?)と正六角形(?)を活用して ?金長方形 (橙)を作り出す例
正円（?）の半?と同じ長さの?を持つ正方形（?）を活用した正五角形（橙）や五芒星（?）の描き方の例（赤の円は描き上げ後の??のためのもの）
正円半?と同じ長さの?の正方形を活用した?接正五角形（五芒星）の描き方の一例（赤の円は描き上げ後の??のためのもの）