偏微分方程式 （へんびぶんほうていしき、 英 : partial differential equation, PDE ）は、未知??の 偏導?? を含む 微分方程式 である。

?要 [ 編集 ]

微分方程式は通常多くの解をもち、しばしば解集合を制限する 境界?件 を付加して考える。 常微分方程式 の場合にはそれぞれの解がいくつかの パラメ?タ の値によって特?付けられるような族を解としてもっているが、偏微分方程式については、パラメ?タは??値をとると考えるほうが有用である。このことは、過?決定的な方程式系でない限りは?ね正しいといえる。

偏微分方程式は、 自然科? の分野で 流? や 重力場 、 電磁場 といった 場 に?する自然現象を記述するモデルとして現れる。これらの場というものは例えば、 フライトシミュレ?ション や コンピュ?タグラフィックス 、あるいは天?予報などを扱うために重要な役割を果たす道具である。また、 一般相?性理論 や 量子力? の基本的な方程式も偏微分方程式である。また、 ??? においても重要な?念であり、特に 金融工? において多用される。

記法 [ 編集 ]

以下では未知?? ψ の?? x に?する偏微分を ψ _x のように表す：

${\displaystyle \psi _{x}:={\partial \psi \over \partial x},}$

${\displaystyle \psi _{xy}:={\partial ^{2}\psi \over \partial y\,\partial x}.}$

また、特別な記述がない限り、??は 時間 t と 3次元空間 ( x , y , z ) とするが、??的には一般の次元に?張できる。

楕円型偏微分方程式 [ 編集 ]

ラプラス方程式 [ 編集 ]

非常に重要で基礎的な偏微分方程式として、

${\displaystyle \psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz}=0}$

なる 楕円型偏微分方程式 を ラプラス方程式 と呼ぶ。これはまた、∇（ ナブラ ）や Δ（ ラプラス作用素 ）といった微分作用素を用いて

${\displaystyle {\nabla }^{2}\psi =0,\quad \Delta \psi =0}$

のようにも書かれる。ラプラス方程式の解は 調和?? と呼ばれ、重力場や ?電場 といった物理的な ベクトル場 の ポテンシャル を?える。

ポアソン方程式 [ 編集 ]

ラプラス方程式は?知の?? f ( x , y , z ) に?する微分方程式

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz}=f(x,y,z)}$

に一般化される。この偏微分方程式を ポアソン方程式 という ^[1] 。これは質量の存在する重力場や、電荷の存在する?電場など、場に?生源がある場合のポテンシャルを記述する方程式である。

ヘルムホルツ方程式 [ 編集 ]

次の方程式のことをいう。 電磁波 の 放射 、 地震? 、 音響? などで用いられる。

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0}$

?曲型偏微分方程式 [ 編集 ]

波動方程式 [ 編集 ]

波動方程式 は時間?? t を含む ?曲型偏微分方程式

${\displaystyle \psi _{tt}=c^{2}\nabla ^{2}\psi =c^{2}(\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz})}$

のことである ^{[2] [3]} 。この方程式は 光波 や 音波 といった 波 を記述するもので、定? c は波の速さを示している。より身近な現象として、 ひも の振動であるとか 太鼓 の鼓面の振動などといったものもこの方程式に?う。波動方程式の解は基本的には 正弦波 を重ね合わせることによって得られる。

移流方程式 [ 編集 ]

移流 方程式 （ en:Advection ）は速度場 u = ( u , v , w )のもとでの保存スカラ?量ψの輸送を記述するもので、方程式は

${\displaystyle \psi _{t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \psi )=\psi _{t}+(u\psi )_{x}+(v\psi )_{y}+(w\psi )_{z}=0}$

であたえられる。もし速度場 u が管?ベクトル場、すなわち ∇? u = 0 ならば方程式は

${\displaystyle \psi _{t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \psi =\psi _{t}+u\psi _{x}+v\psi _{y}+w\psi _{z}=0}$

と簡略化される。

一次元定常移流方程式

${\displaystyle \psi _{t}+u\psi _{x}=0}$

（ u は定?）は一般に 豚小屋問題 ( pigpen problem ) と?される。

放物型偏微分方程式 [ 編集 ]

?散方程式 [ 編集 ]

?散方程式 は?えられた領域において時間とともに?化する場を記述する 放物型偏微分方程式 で、

${\displaystyle u_{t}=k\nabla ^{2}\psi =k(\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz})}$

によって?えられる。ψはたとえば?度場（ 熱?導方程式 ）や、物質の濃度場（ フィックの法則 ）などを表す。定? k は物質の熱?導性や?散係?などを示している。解は時間の?加とともに大?均一に分布するように?化し、 t →∞で調和??に近づく。

その他の方程式 [ 編集 ]

• シュレ?ディンガ?方程式 は 量子力? の核心となる偏微分方程式である ^[4] 。

非線型偏微分方程式 [ 編集 ]

以上の例はすべて、 ?えられた 線形作用素 A と?知?? f によって、 A ψ = f という形に表されるという意味で 線型 である。 重要な非線型方程式には、

• 流?を記述する ナビエ-スト?クス方程式 ^[5]
• 一般相?性理論 における アインシュタインの場の方程式
• 非線形波動を記述する KdV方程式 ^[6] ? mKdV方程式 (これらの方程式は 可積分系 でも?究されている)
• クレロ?の方程式
• 非線形シュレディンガ?方程式 ^{[6] [7] [8]}

などがある。

解法 [ 編集 ]

線型偏微分方程式はその解を 基底?? 系で線型展開したもので近似することにより一般的に解かれる事が多い（たとえば 正弦波 ??を使った フ?リエ級? 展開 ^[9] ）。展開した個?の解の 線型結合 もまた元の方程式の解になる。また線型偏微分方程式が??分離可能な構造を持つ場合には ??分離法 により低い次元の微分方程式の問題に?着して解くことが できる場合がある。

しかし非線型な微分方程式に?しては一般的に使える解法理論はなくて、?際上のほとんどの方程式は解析的な方法では解くことが出?ない。（しかし，あるタイプの方程式には解法が存在することがある。たとえば、ホモトピ?原理は過少決定性の方程式系を解くための非常に?力な方法である。また、 ソリトン 方程式に?しては ?田の方法 を使うのが標準的である ^[10] 。）

あるいは偏微分方程式を容易に解ける方程式から?化したものであるとみなせる場合にはその解を ?動 的な展開を用いて表すことで近似解が得られる場合がある。またそれ以外に?値的な近似解法として、 有限差分スキ?ム ^{[11] [12]} や 有限要素法 ^{[13] [14] [15]} などが?げられる。 具?的な解が必要であるが解析的な手段を用いては解くことのできない多くの科?や工?上の問題は，このような近似手法により離散化された大規模な?値計算の問題に?換され，もっぱらコンピュ?タを用いた計算により解かれる ^{[16] [17] [18]} 。境界?件も含めて近似解を表すための自由度は非常に大きいものになることが普通であるので，計算を行うために扱うデ?タの量や演算の回?の多さから，計算機の性能向上と共に?率的な近似法や?値解法の開?が進められ?展してきた。

fill in: ディリクレ-ノイマン境界、?曲的/放物的/楕円的??分離、 フ?リエ解析 、 グリ?ン??

?連項目 [ 編集 ]

• 楕円型偏微分方程式
• ?曲型偏微分方程式
• 放物型偏微分方程式
• 常微分方程式
• 積分方程式

?連分野 [ 編集 ]

• ??解析?
• 偏微分方程式の?値解法 ( en )

?究者 [ 編集 ]

日本 [ 編集 ]

• 溝畑茂
• 加藤敏夫
• 藤田宏
• ?田久?

海外 [ 編集 ]

• ヴォルフガンク?ウォルタ?
• テレンス?タオ
• ピ?タ??オルバ? ( en )

脚注 [ 編集 ]

?考文? [ 編集 ]

和書 [ 編集 ]

• 寺??一 『自然科?者のための???論』（?訂版） 岩波書店 、1983年5月18日。 ISBN   4-00-005480-5 。  
• 溝畑茂 『偏微分方程式論』 岩波書店 、1965年8月25日。 ISBN   4-00-005971-8 。  
• 熊ノ?準. (1978). 偏微分方程式. 共立出版 .
• 偏微分方程式入門、金子晃、 東京大?出版? 、1998/02。
• 田端正久：「偏微分方程式の?値解析」、岩波書店、 ISBN 978-4000059794 （2010年12月22日）.
• 楕円型?放物型偏微分方程式 (岩波オンデマンドブックス) 村田實、倉田和浩、 岩波書店 、2016/12。
• 偏微分方程式　科?者?技術者のための使いかたと解き方、スタンリ??ファ?ロウ著　 伊理正夫 ?伊理由美?、 朝倉書店 。
• 偏微分方程式とフ?リエ解析、東京大?基礎工??書、田?行人?高見??監修／中村宏樹　著、 東京大?出版? 。
• 柴田良弘, & 久保隆徹. (2012). 非線形偏微分方程式. 朝倉書店 .

洋書 [ 編集 ]

• Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics) Lawrence C. Evans, American Mathematical Society , 2010/04/.
• Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis (Universitext) Dorina Mitrea, Springer, 2019/01.
• Partial Differential Equations I-III (Applied Mathematical Sciences) Michael Taylor, Springer.
• Egorov, Y. V., & Shubin, M. A. (2013). Foundations of the classical theory of partial differential equations. en:Springer Science & Business Media .
• Egorov, Komech and Shubin - Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations (1999) Springer.
• Sommerfeld, A. (1949). Partial differential equations in physics. en:Academic Press .
• Renardy, M., & Rogers, R. C. (2006). An introduction to partial differential equations. en:Springer Science & Business Media .
• Logan, J. D. (2008). An introduction to nonlinear partial differential equations. John Wiley & Sons.
• Olver, P. J., Introduction to partial differential equations. Berlin: Springer.

外部リンク [ 編集 ]

• Partial differential equation （英語） - スカラ?ペディア 百科事典「偏微分方程式」の項目。