?積

?積 ; volume
量記?	V
次元	L 3
種類	スカラ?
SI?位	立方メ?トル ( m 3 )
CGS?位	立方センチメ?トル ( cm 3 )
DKS?位	リットル (L)
FPS?位	立方フィ?ト ( ft 3 )
プランク?位	プランク?積 ( V P )
	テンプレ?トを表示

?積（たいせき、英 : volume ）とは 3次元空間において、その空間の領域の大きさを示す量（物理量）である ^[1]^[2]。和語では嵩（かさ）という。

定義 [ 編集 ]

上記の通り、三次元の構造（モノなど）の空間的な大きさの程度を示す量が?積であるが、?密さが求められる ?? においては、?積の定義の?明は複?である。以下にその?略を示す（難解であれば、 #?積の算出法へ?み進んでさしつかえない）。

?積は、3次元空間?の部分集合（すなわち三次元の ?形）に?して規定することができる。この三次元?形は、定義?? によって指定（空間上の位置や形を決定）することができる。?積とは、この定義??を3次元座標系の全?にわたって積分して得られる値である ^[3]。たとえば、ユ?クリッド空間で直交座標系における定義?? f ( x , y , z )を使うと、この??で表現される三次元?形の?積は三重積分を用いて次のように表される。

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y,z)dxdydz

この定義から、0次元の?念である点や、1次元の?念の線、2次元の面といった次元が3未?の?形の「?積」については、それぞれこの積分の値は0となる。

?考までに、?積のより?い?念として測度がある。

?積の公式 [ 編集 ]

かいつまんでいえば?積とは、各片の長さが $a$ , $b$ , $c$ の直方? に?して、積 $abc$ を計算したものである。これはもちろん上記の定義に則った結果である。基本的な三次元?形に?しては、上記の定義は簡?な計算式で表現することができる。以下にそれらの?積の計算法（公式）をいくつか示す。なお、式中の $π$ は円周率 (3.14…)である。


?形	公式	注
立方?	$s$ ³	$s$ は一?の長さ
直方?	$lwh$	$l$ , $w$ , $h$ はそれぞれ?行き、幅、高さである ^[4]
円柱	$π$ $r$ ² $h$	$r$ は上下の円の半?、 $h$ は高さである
球	4 / 3 $π$ $r$ ³	$r$ は球の半?である
円錐	1 / 3 $π$ $r$ ² $h$	$r$ は底面の円の半?、 $h$ は高さである
角柱	$Ah$	$A$ は底面積、 $h$ は高さである
平行六面?	\| $A$ · ( $B$ × $C$ )\|	$A$ , $B$ , $C$ は平行六面?を張る ?立な3次元ベクトルである ^[5]
任意の?形	∫ $A$ ( $h$ ) $dh$	$h$ 軸に沿って、?? $A$ ( $h$ )で示される?面積をもつ?形である ^[6]。ここで、 $h$ は高さ方向の??である。

?積の?位 [ 編集 ]

?積は、物理量としては「長さの3?」の次元を有している。?積を計算する際に、長さの?位で表現される?値を（公式などで）計算するが、その長さの?位の3?が一般に?積の?位となる。たとえば、mmであればmm ³、kmであればkm ³である ^[7]。

?際?位系では、?積の?位は 立方メ?トル (m ³) を使用する ^[8]。この?位は漢字で表記して立米（りゅうべい）と呼ばれることもある。また、 立方センチメ?トル (cm ³; cc ^[9]やmLと同義) や、 リットル (1,000 cm ³ = L ) も?積の?位として?用上よく用いられている。

尺貫法における?積の?位は、石 ? 斗 ? 升 ? 合 ? 才などがある。

?積の計測 [ 編集 ]

化?分析では?積計が用いられる。特にガラス製のメスフラスコついては ?際標準化機構 (ISO)にて詳細な構造や使用方法などの規格が定められている ^[10]。

?積の計測にはメスフラスコ（全量フラスコ）のほか、ホ?ルピペット（全量ピペット）やメスピペット、ビュレット、メスシリンダ? がある ^[10]。メスフラスコのように、容器の全量の目盛まで液?を入れたときに目盛り等の表記値が?積を表す 受用の器具 （英 : To Contain ( TC )、 ? : Einguss ( E )で表記）、および、ピペットやビュレットのように、固有の排出時間?に排出先端より出た液の量を?積として表す 出用の器具 （同じくTo Deliver ( TD )やAusguss ( A )の表記）に、これらは分類される ^[10]。

?積と容積 [ 編集 ]

容積（ようせき）あるいは容量（ようりょう）は、ある容器の?納容量を考えたとき、その中に入り得る物??物質の?積のことを指す。物理量としては、容積は?積と同じように算出可能であり ^[11]、容積の?位は一般に?積と同じものを使用する。日本では、計量?位を定めている計量法 ?系において、「容積」の語が用いられることはなく、すべて「?積」あるいは「?容?積」と表記されている ^{[注? 1]}^{[注? 2]}。食品表示基準においても、食品の?容量の表示規制として、「容積」ではなく「?積」あるいは「?容?積」が用いられている ^{[注? 3]}。

脚注 [ 編集 ]

[ 脚注の使い方 ]

注? [ 編集 ]

^ 計量法 ^[12]第2?第1項第1?の列?の?位、別表第1 ?積の項。
^ 計量?位令 ^[13]別表第1 第11?「?積」、別表第3 第5?「濃度」?積百分率など。
^ 食品表示基準 ^[14]第3?（??的義務表示）、?容量又は固形量及び?容?量 1において、「?容重量、?容 ?積又は?容?量を表示することとし、?容 ?積はミリリットル又はリットル…」としている。

出典 [ 編集 ]

^ “ ?積｜算?用語集 ”. www.shinko-keirin.co.jp . 2023年10月20日 ??。
^ ブリタニカ?際大百科事典小項目事典: ?積.
^ 世界大百科事典第2版: ?積
^ 上記本文と文字は異なるが、同じ意味である。つまるところ、何を文字に使っても直方?の?積の公式は?わらない。
^ 式中の演算子はそれぞれ、"·" はドット積、"×" はクロス積を表す。"|x|"はxの絶?値を表す。
^ この公式は、 #定義からも分かるように、三重積分のうち二重積分のみを先に計算してしまった形の特別な場合（二重積分の結果が $A$ ( $h$ )）である。
^ ここで?位の先頭に SI接頭語（いわゆる補助?位）が付いているが、いずれもm ³（立方メ?トル）にSI接頭語を付けたものではない。順序としては、SI接頭語を付けた?位(mmやkm)をまず準備し、それらをそれぞれ3?している。
^ なお、 SI基本?位としての長さの?位はメ?トル (m)である。
^ ccは元?"cubic centimetre"の略?であり、これは"cm ³"の英語での?みそのものである。その略?のccが?位として定着している。
^ ^a ^b ^c ?坂光司「ガラス?積計の基礎知識」クライミング、2020年4月15日??
^ 容積の計算では、?納???できる空間領域の大きさで計算を行う。
^ “ 計量法 ”. e-Gov法令?索 . ?務省行政管理局. 2014年7月4日 ??。
^ “ 計量?位令 ”. e-Gov法令?索 . ?務省行政管理局. 2014年7月4日 ??。
^ “ 食品表示基準 ”. e-Gov法令?索 . ?務省行政管理局. 2016年4月17日 ??。

?連項目 [ 編集 ]

[13] 計量法 ^[12]第2?第1項第1?の列?の?位、別表第1 ?積の項。

[15] 計量?位令 ^[13]別表第1 第11?「?積」、別表第3 第5?「濃度」?積百分率など。

[17] 食品表示基準 ^[14]第3?（??的義務表示）、?容量又は固形量及び?容?量 1において、「?容重量、?容 ?積又は?容?量を表示することとし、?容 ?積はミリリットル又はリットル…」としている。

[1] “ ?積｜算?用語集 ”. www.shinko-keirin.co.jp . 2023年10月20日 ??。

[2] ブリタニカ?際大百科事典小項目事典: ?積.

[3] 世界大百科事典第2版: ?積

[4] 上記本文と文字は異なるが、同じ意味である。つまるところ、何を文字に使っても直方?の?積の公式は?わらない。

[5] 式中の演算子はそれぞれ、"·" はドット積、"×" はクロス積を表す。"|x|"はxの絶?値を表す。

[6] この公式は、 #定義からも分かるように、三重積分のうち二重積分のみを先に計算してしまった形の特別な場合（二重積分の結果が $A$ ( $h$ )）である。

[7] ここで?位の先頭に SI接頭語（いわゆる補助?位）が付いているが、いずれもm ³（立方メ?トル）にSI接頭語を付けたものではない。順序としては、SI接頭語を付けた?位(mmやkm)をまず準備し、それらをそれぞれ3?している。

[8] なお、 SI基本?位としての長さの?位はメ?トル (m)である。

[9] は元?"cubic centimetre"の略?であり、これは"cm ³"の英語での?みそのものである。その略?のccが?位として定着している。

[hosaka-10] ?坂光司「ガラス?積計の基礎知識」クライミング、2020年4月15日??

[11] 容積の計算では、?納???できる空間領域の大きさで計算を行う。

[12] “ 計量法 ”. e-Gov法令?索 . ?務省行政管理局. 2014年7月4日 ??。

[14] “ 計量?位令 ”. e-Gov法令?索 . ?務省行政管理局. 2014年7月4日 ??。

[16] “ 食品表示基準 ”. e-Gov法令?索 . ?務省行政管理局. 2016年4月17日 ??。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[注? 1]

[注? 2]

[注? 3]

[12]

[13]

[14]