한국   대만   중국   일본 
位相幾何? - Wikipedia コンテンツにスキップ

位相幾何?

出典: フリ?百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
曖昧さ回避 「 トポロジ? 」はこの項目へ ?送 されています。その他の用法については「 トポロジ? (曖昧さ回避) 」をご?ください。
一つの面と一つの?を持つ メビウスの? は、位相幾何?の?究?象の一つである。
三葉結び目 （もっとも?純な非 自明 な結び目）
マグカップからド?ナツ（ ト?ラス ）への連??形（ 同相?像 の一種）とその逆。

?? の一分野、 位相幾何? （いそうきかがく、 英 : topology , トポロジ? [注? 1] ）は、その名?が ギリシア語 : τ?πο? （「位置」「場所」）と λ?γο? （「言葉」「?問」） に由?し、?形を構成する点の連?的位置?係のみに着目する幾何? [1] で「位置の?問」を意味している。

トポロジ?は、何らかの形（かたち。あるいは「空間」）を連??形（伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと）しても保たれる性質（ 位相的性質 または 位相不?量 ）に焦点を?てたものである [2] 。位相的性質において重要なものには、 連結性 および コンパクト性 などが?げられる [3] 。

位相幾何?は、 空間 、 次元 、?換といった?念の?究を通じて、 幾何? および 集合論 から生じた分野である [4] 。このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」（ 羅 : geometria situs ）および「位置の解析」（ 羅 : analysis situs ）を見越した ゴットフリ?ト?ライプニッツ にまで遡れる。 レオンハルト?オイラ? の「ケ?ニヒスベルクの七つの橋」の問題および 多面?公式 がこの分野における最初の定理であるというのが定?となっている。用語 topology は19世紀に ヨハン?ベネディクト?リスティング （ 英語版 ） によって導入されたが、位相空間の?念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。20世紀中ごろには、位相幾何?は??の著名な一分野となっていた。

位相幾何?には??な分科が存在する [5] 。

?史 [ 編集 ]

オイラ?による「ケ?ニヒスベルクの 7 つの橋」問題の解決は位相幾何?の萌芽（のひとつ）であるとみなされている。

ユ?クリッド幾何? が紀元前にはできていたことと比較すると、 オイラ? や ガウス に始まる位相幾何?は高? 250 年の?史であり、大きな差がある。オイラ?は、いわゆる オイラ?の多面?定理 において球面に連?的に?形できるような多面?の??頂点?面の?の間にある?係が成り立つことを見出したが、これをもって位相幾何?の始まりとするのが一般的である。

「 ケ?ニヒスベルクの橋 」および「 毛球の定理 （ 英語版 ） 」も?照

多面?の頂点、?、面の?を各? n 0 , n 1 , n 2 とおくと、これらが n 0 − n 1 + n 2 = 2 の?係にあるとする オイラ?の定理 は、18 世紀?時の解析?、代??を中心とする??の流れにおいて孤立した結果であった。19 世紀にガウスは 絡み目? を線積分により表示する公式を?え、また後半紀に リ?マン が現在 リ?マン面 と呼ばれる?念を提出し、 ロッホ は曲面の上の 2 つの 偏微分方程式 の解の自由度の差を曲面の種?を含む?と同定する リ?マン?ロッホの定理 をまとめた。これら前?的?究に?して、トポロジ?がひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後の ポアンカレ の一連の?究による [6] 。

ポアンカレ は 1895 年の論文「 Analysis Situs （ 英語版 ） 」の中で ホモロジ? の?念を導入した。これはホモロジ?論へと?展した。同じ論文の中でポアンカレは 基本群 の?究を行った。これは ホモトピ? 論へと?展した。これらはいまや代?的位相幾何?の大きな柱であると考えられている。

現代的な位相幾何?は 19 世紀に後半に確立された 集合論 を大きな基盤として成り立っている。集合論の祖のひとりである ゲオルク?カント?ル は フ?リエ級? の?究に際してユ?クリッド空間?の点集合について考察している。

カント?ル、 ボルテラ 、 アルツェラ （ 英語版 ） 、 アダマ?ル 、 アスコリ （ 英語版 ） 、らの?究を取りまとめる形で（今日では一般的な位相空間の特別の場合であると考えられている） 距離空間 の?念を確立したのは フレシェ で、1906 年のことである。「位相空間」という用語を導入したのは ハウスドルフ で、1914 年に今日では ハウスドルフ空間 と呼ばれる?念を定義するために用いられたものであるが、その一般化として現代的な意味での位相空間という?念が確立されるのは 1922 年、 クラトフスキ? の手による。

主要な?念 [ 編集 ]

集合上の位相 [ 編集 ]

詳細は「 位相空間 」を?照

位相 （トポロジ? [注? 1] ）は、大まかに言えば集合の元が互いにどの程度空間的に?連があるのかを示す、この分野の中心的な??的構造である。一つの集合には複?の異なる位相が入り得る。例えば、 ??直線 、 複素?平面 、および カント?ル集合 は異なる位相を持つ同一の集合と見ることができる。

?密に言えば、集合 X に?し、 X の 部分集合族 τ が X の位相であるとは、

  1. 空集合 ∅ および全?集合 X は τ の元
  2. τ の元の任意の合?は τ の元
  3. τ の元の任意の有限交叉は τ の元

の三?件をすべて?たすときに言う。 τ が X 上の位相であるとき、? ( X , τ ) は 位相空間 と呼ばれる。集合 X に特定の位相 τ が備わっていることを X τ と書き表すこともある。

τ の元は X の 開集合 と呼ばれる。 X の部分集合が 閉 であるとは、その補集合が τ の元となる（つまり補集合が開集合となる）ことである。 X の部分集合は、開でも閉でもある（ 開かつ閉集合 ）こともあれば、そのどちらでもないこともある。空集合と X 自身は常に開かつ閉である。点 x を含む開集合は x の（開） 近傍 と呼ばれる。

連??像と同相?像 [ 編集 ]

詳細は「 連??像 」および「 同相 」を?照

位相空間から別の位相空間への ?像 が 連? であるとは、任意の開集合の逆像が開であるときに言う。これは、??を??へ?す?像（ただし??直線の位相は通常の位相を入れる）の場合には、 初等解析? における 連?函? の定義と同値である。連??像が ?射 かつ 全射 であって、その逆?像もまた連?となるならば、その?像は 同相?像 （あるいは?に同相）と呼ばれ、また?像の定義域はその像と同相であると言う。これはこの?像が位相の間の?像を自然に引き起こすということもできる。互いに同相な二つの空間は、同一の位相的性質を持ち、?って位相的には同じ空間と考えることができる。例えば立方?と球面は同相であり、同?にコ?ヒ?カップとド?ナツは同相だが、他方円とド?ナツは同相でない。

多?? [ 編集 ]

詳細は「 位相多?? 」を?照

位相空間は極めて多?であり風?わりなものも多く存在する裏で、位相幾何?の多くの分野では多??と呼ばれるより馴染みやすい位相空間のクラスが注目される。 多?? は各点の近くでは ユ?クリッド空間 のように見える 位相空間 を??して言う。より明確に言えば、 n -次元多??の各点は n -次元ユ?クリッド空間に 同相 な 近傍 を持つ。 直線 や 円周 は一次元多??だが レムニスケ?ト はそうでない。二次元多??は 曲面 と呼ばれ、例えば 平面 や 球面 や ト?ラス は三次元空間?に?現することができるが、 クラインの壺 や ?射影平面 （ 英語版 ） はそうでない。

主要な話題 [ 編集 ]

一般位相 [ 編集 ]

詳細は「 位相空間論 」を?照

位相空間論 （ 一般位相 ）は位相に?する集合論的定義と構成を扱う位相幾何?の分野である [7] [8] 。位相空間論は 微分位相幾何? 、 幾何?的位相幾何? および 代?的位相幾何? を含む位相幾何?の他の分野の大部分の基礎となる。点集合位相とも呼ばれる。

点集合位相における基本?念は 連?性 、 コンパクト性 、 連結性 である。直?的に言えば、連??像は近くの点を近くに?す、コンパクト集合は任意に小さな有限個の集合で被覆できる、連結集合は分離された二つの部分に分割されない、ということである。ここで用いた「近く」「任意に小さい」「分離した」といった表現は何れも開集合を用いて明確な言葉に表される。「開集合」の選び方を?更すれば、それにともなって連??像やコンパクト集合や連結集合の意味するものも?更される。 そのような「開集合」の決め方 のそれぞれを 位相 と呼ぶ。位相を備えた集合は 位相空間 と呼ばれる。

距離空間 は位相空間の重要なクラスであり、そこでは距離函?が任意の二点間に距離と呼ばれる?を割り?てることができる。距離を持つことで多くの?明が簡明になり、またよく知られた位相空間の多くが距離空間になる。

代?的位相幾何? [ 編集 ]

詳細は「 代?的位相幾何? 」を?照

代?的位相幾何? は 位相空間 を調べるのに 抽象代?? 由?の道具を用いる??の一分野である [9] 。その基本的な最終目的は 同相 を除いて 位相空間を分類する代?的 不?量 を求めることであるが、普通は ホモトピ?同値 を除いて大まかな分類を得ることが目的となる。

そのような不?量として最も重要なのが ホモトピ?群 、 ホモロジ?群 および コホモロジ?群 である。

代?的位相幾何?では位相的問題を調べるのに代??を用いることが主だけれども、位相を用いて代?的問題を解くということも時には可能である。例えば代?的位相幾何?で「 自由群 の任意の部分群がまた自由となること」を簡便に示すことができる。

微分位相幾何? [ 編集 ]

詳細は「 微分位相幾何? 」を?照

微分位相幾何? は 可微分多?? 上の 可微分?像 を扱う分野である [10] 。 微分幾何? とも近しい?係にあり、これらを合わせて可微分多??の幾何?的理論が構築される。

より精確に述べれば、微分位相幾何?は多??上に 可微分構造 （ 英語版 ） が定義されることのみを必要とする性質や構造を考察する。滑らかな多??はほかに余計な幾何?的構造（これらは微分位相幾何?において存在するある種の同値性や ?形 （ 英語版 ） の妨げとなる）を持つ多??よりは「柔らかい」。例えば、?積や リ?マン曲率 は同一の滑らかな多??上で相異なる幾何?的構造を?別することのできる不?量である。つまり、ある種の多??を滑らかに「平坦にする」("flatten out") ことができたとしても、それには空間を歪める必要があるかもしれないし、その結果として曲率や?積が?わってしまうかもしれない。

幾何?的位相幾何? [ 編集 ]

詳細は「 幾何?的位相幾何? 」を?照

幾何?的位相幾何? は主に低次元（二、三、四次元）の多??に焦点を?ててその形?を調べる位相幾何?の分野であるが、より高次元の位相幾何?も一部には含む [11] [12] 。幾何?的位相幾何?の主題には例えば 向き付け可能性 、 ハンドル分解 （ 英語版 ） 、 局所平坦性 （ 英語版 ） および（平面および高次元の） シェ?ンフリ?スの定理 （ 英語版 ） などがある。

高次元の位相幾何?において、 特性類 は基本的な不?量であり、 手術理論 （ 英語版 ） は鍵となる理論である。

低次元位相幾何?は、二次元における 一意化定理 （任意の曲面が一定曲率計量をもつ、幾何?的に言えば正曲率（球面的）、零曲率（平坦）、負曲率（?曲的）の三種類の何れかになる）や三次元における 幾何化予想 （任意の三次元多??は、各?は可能な八種類の幾何の何れかであるような小片に切り分けることができる）に現れているように、極めて幾何?的である。

二次元の位相幾何?は一??の複素幾何として調べることができる（リ?マン面は複素曲線である）。一意化定理により、計量の任意の共形類は一意な複素計量に同値である。また四次元位相幾何?は二??の複素幾何（複素曲面）の?点から調べることができるが、任意の余次元多??が複素構造を持つわけではない。

一般化 [ 編集 ]

場合によっては、位相幾何?の道具が必要だが「点集合」は使えないという場面に遭遇することもある。 点なし位相 （ 英語版 ） （非点集合的位相空間論）では理論の基本?念として開集合の 束 を考える [13] 。一方、 グロタンディ?ク位相 は任意の ? 上に定義される構造で、それら?上に 層 を定義することが可能になり、一般コホモロジ?論の定義を持ち?むことができる [14] 。

?用 [ 編集 ]

位相幾何?の手法を用いると、抽象的な接??係に?する性質や微小?形で不?な大域的な性質を扱うことができる。??の一分野として整理される以前より、位相幾何?的手法が??的に使われてきた(空間中の二つの電流の相互作用に?する、ガウスの線積分表示など)が、二十世紀後半には特に他分野との?連が深まり、現在でも?用領域は?がっている。

?用領域 ?容
物理? 宇宙 の形?、素粒子の記述?系、 量子? の記述、 超?導絶?? 、我?の世界に?する性質( タイムマシン は存在するか？など)。
化? フラ?レン など分子構造。
生物? 結び目 をなす分子の、形?による機能や?形( DNAトポイソメラ?ゼ )。
??? ワルラス均衡 の存在、 ナッシュ均衡 の存在の?明に位相空間論の手法が用いられる。
情報科? 論理?系の 意味論 を展開する?組みとして 層 (??) の利用、?路空間のホモロジ?による記述。またネットワ?クの取り扱いにおいては グラフ理論 を手段として?究され、一般的には ネットワ?ク?トポロジ? として知られている。

また、人工知能の?究分野では「トポロジカル?デ?タ?アナリシス」(Topological data analysis)技術が?展の見?みにある。

カタストロフィ?理論 形態形成、??現象の記述。
3次元コンピュ?タグラフィックス 3DCGにおける モ?フィング は ホモトピ? ?形を利用している。また立?計測やデジタル スカルプト で生成された複?な ポリゴン モデルを?純な構造のモデルに作り?える操作をリトポロジ?(Retopology)と呼ぶ。

脚注 [ 編集 ]

[ 脚注の使い方 ]

注? [ 編集 ]

  1. ^ a b c 「トポロジ?」の語は、複?の異なる意味で用いられるので文脈に注意すべきである。もっとも?義には、空間?に「近さ」や「極限」の?念を導入する?念である 位相 、より?義には本項で言う 位相幾何? の意味で用いられ、また位相幾何?の同義語として 位相?? も用いられるが、最も?義には トポロジ? および 位相?? は、位相幾何?を展開する基礎付けを?える 一般位相 （あるいは 位相空間論 ）を指して用いられる (世界大百科事典『 トポロジ? 』 - コトバンク 、ブリタニカ?際大百科事典 小項目事典『 トポロジ? 』 - コトバンク 、ほか)。「これを「位置と形相」の?問という意味で「位相」と?したのは 中村幸四? 氏であり，他の?語の中からこれを選んだのは 高木貞治 氏である」（ 村田全 「第III部　19―20世紀の??」『??講座 18　??史』筑摩書房、1975年、p.554n）。

出典 [ 編集 ]

  1. ^ 世界大百科事典『 位相幾何? 』 - コトバンク
  2. ^ Oxford Dictionaries
  3. ^ Topology | Define Topology at Dictionary.com
  4. ^ What is Topology?
  5. ^ 日本大百科全書(ニッポニカ)『 トポロジ? 』 - コトバンク
  6. ^ 古田幹雄「トポロジ?とその「?用」の可能性」『?用?理』第15?第1?、2005年、49?52頁、 doi : 10.11540/bjsiam.15.1_49 。  
  7. ^ Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  8. ^ Adams, Colin Conrad, and Robert David Franzosa. Introduction to topology: pure and applied. Pearson Prentice Hall, 2008.
  9. ^ Allen Hatcher, Algebraic topology. (2002) Cambridge University Press, xii+544 pp.  ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0 .
  10. ^ Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds . Springer-Verlag. ISBN   978-0-387-95448-6  
  11. ^ Budney, Ryan (2011年). “ What is geometric topology? ”. mathoverflow.net . 2013年12月29日 ??。
  12. ^ R.B. Sher and R.J. Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology , North-Holland. ISBN 0-444-82432-4
  13. ^ Johnstone, Peter T. , 1983, " The point of pointless topology, " Bulletin of the American Mathematical Society 8(1) : 41-53.
  14. ^ Artin, Michael (1962). Grothendieck topologies . Cambridge, MA: Harvard University, Dept. of Mathematics. Zbl   0208.48701  

?考文? [ 編集 ]

?連文? [ 編集 ]

?連項目 [ 編集 ]

外部リンク [ 編集 ]

ウィキメディア?コモンズには、 位相幾何? に?連するメディアがあります。
ウィキブックスに 位相幾何? ?連の解?書??科書があります。
主要分野
トピックス
賞
?用
?? ? ??
競技
?究所
「 https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=位相幾何?&oldid=98414448 」から取得