この記事は ??可能 な ?考文?や出典 が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加 して記事の信?性向上にご協力ください。 （ このテンプレ?トの使い方 ） 出典?索 ? :  "七角形"  ?  ニュ?ス   · 書籍   · スカラ?   · CiNii   · J-STAGE   · NDL   · dlib.jp   · ジャパンサ?チ   · TWL （ 2012年1月 ）

七角形 （しちかくけい、しちかっけい、ななかくけい、ななかっけい、 英語 : heptagon, septagon ）とは、7個の 頂点 と7本の ? により構成される 多角形 の??である。通常の（ ?純 な）七角形の?角の?和は5πラジアン（900度）。凸七角形の ?角線 の?は14本。

正七角形 [ 編集 ]

正七角形 （せい - 、 英 : regular heptagon ）とは、各?の長さが等しく、全ての ?角 の大きさも等しい七角形を指す。その一つの?角は5π/7 ラジアン （128と4/7 度 ）で、一つの外角と中心角はどちらも2π/7ラジアン（51と3/7度）である。一?の長さを a とすると周長は7 a であり、面積 A は以下のように表される。

${\displaystyle A\approx 3.63391a^{2},}$

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}},}$

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\tan {\frac {5\pi }{14}},}$

${\displaystyle A={\frac {7}{12}}a^{2}\left({\sqrt {7}}+4\cos \left({\frac {\arctan {3{\sqrt {3}}}}{3}}\right)\right),}$

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}(35+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13+3{\sqrt {-3}})}}+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13-3{\sqrt {-3}})}})}}}$

ただしarctan??の値域は ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)}$ にとる。

中心から頂点までの距離は、 外接円 の半? R に等しく

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}a{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{7}}}}}$

である。 中心から?までの最短距離 は、 ?接円 の半? r に等しく

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}a\cot {\frac {\pi }{7}}}$

である。

正七角形には、全部で14本の ?角線 を引くことができるが、?角線の長さは2種類しかない。すなわち、2つ隣の頂点を結ぶ短い?角線 b と、3つ隣の頂点を結ぶ長い?角線 c である。7本の?角線 b からなる?形と、7本の?角線 c からなる?形は、どちらも 七芒星 と呼ばれるが、 日本では前者の意匠は特に 茅の輪 （ちのわ）と呼ばれることがある。 ^{[ 要出典 ]}

上記の3つの長さは

${\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{7}},~b=2R\sin {\frac {2\pi }{7}},~c=2R\sin {\frac {3\pi }{7}}}$

と表せる。これらの間には次のような?係式が知られている。

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$

正七角形にまつわる諸量は、求めづらいものが多い。例えば、正七角形の作?を論じるときに重要となる ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}\approx 0.62349}$ は 三次方程式 ${\displaystyle 8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0}$ の解の一つである。同?に、正七角形にまつわる角度の三角??の値の多くは、その 有理? ?上 最小多項式 が三次式や六次式になる ^[1] 。

正七角形の作? [ 編集 ]

正七角形を コンパス と 定規 （長さの計測が不可能なもの）のみによって 作? することは不可能であることが?明されている ^[2] 。現代では、これは長さが ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}}$ の線分が作?できないことに?着して?明されることが多い。

その一方で、他のさまざまな道具による作?方法が?見されている。

例えば、7が ピアポン素? であることから、正七角形は、任意の 角の三等分 を遂行する能力をもつ道具である印付き定規（長さの計測が可能なもの）を用いたり、あるいは折り紙を用いたりすることで作?可能であることが?明されている ^[3] 。

古くは紀元前に アルキメデス （前287 - 前212）がその著書『円に含まれる七角形について』（英題: On the Heptagon in the Circle ）において 円錐曲線 の交わりを使って正七角形を作?していたとみられるが、この本は現存しない。 サ?ビト?イブン?クッラ （826 - 901）などの イスラムの?? 者が、アルキメデスの本に言及して、正七角形を作?しているという ^[3] 。

定規とコンパスに加えて任意の角の三等分ができる道具（角の三等分器、angle trisector）を用いるとき、正七角形は作?できる。それは次の式が根?となっている。

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}={\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {7}}\cdot \cos \left({\frac {\arctan {3{\sqrt {3}}}}{3}}\right)-1\right)}$

つまり、??比が 3√3:1 であるような直角三角形の?角の一方を三等分する操作を?ればよいのである。

折り紙公理 にのっとって折り紙をするとき、正七角形は作?できる。折り紙は、すでに作?された?を係?とする任意の 三次方程式 を解く能力をもっている。8, 4, 1 が作?可能であることから ${\displaystyle 8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0}$ の解も作?可能であるといえるのである。

ちなみに、折り紙作?の分析においては、平面上の座標を 複素? とする流儀もあり、その際は、整?から加減?除と平方根と立方根のみによって

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1+3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}+{\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1-3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}-1\right)}$

と表すことができることも根?にできる（一意に定まらない複素?の立方根のうちどれを採るかには注意せねばならないが）。加減?除と?冪根のみではこういった表示はできない。

印付き定規とコンパスを用いて ネウシス作? （印付き定規を紙の上ですべらせながら位置をさぐる作?）を行うとき、正七角形は作?できる。

近似的作? [ 編集 ]

その他の作?法 [ 編集 ]

その他、より汎用的な ヒッピアスの円積曲線 （ 英語版 ） の利用や角の七等分器を製作することによっても作?できる。

その他の事物 [ 編集 ]

2011年 現在、 イギリス では正七角形をした2種類（ 50ペンス （ 英語版 ） と 20ペンス （ 英語版 ） ）の 硬貨 が流通している。ただし、これらの硬貨の?は曲線的であり、?密には七角形ではなく、 ル?ロ?の七角形 である。また、 ユ?ロ 貨幣の20 セント 硬貨は 円形 であるが、正七角形の頂点に?たる部分に7つの溝を持つ。

2011年 12月 、 タイ で?王 ラ?マ9世 の誕生日を祝い、世界初の七角形の 切手 が??された ^[4] 。

脚注 [ 編集 ]

?連項目 [ 編集 ]

• 定規とコンパスによる作?
• 七角形的三角形 （ 英語版 ）

外部リンク [ 編集 ]

• Weisstein, Eric W. "Heptagon" . mathworld.wolfram.com (英語).
• 正七角形が折り紙で"作?"できる理由【?? 解? / #豊?ミノリ / VTuber】