フィボナッチ? （フィボナッチすう、 英 : Fibonacci number ）は、 イタリア の??者 レオナルド?フィボナッチ （ピサのレオナルド）に因んで名付けられた ? である。

?要 [ 編集 ]

フィボナッチ ?列 （ フィボナッチすうれつ 、 （ 英 : Fibonacci sequence ） ( F _n ) は、次の 漸化式 で定義される：

F ₀ = 0,

F ₁ = 1,

F _{n +2} = F _n + F _{n +1} ( n ≥ 0)

第0～22項の値は次の通りである：

0 , 1 , 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 , 1597, 2584, 4181, 6765 , 10946, 17711, …（ オンライン整?列大?典 の?列 A000045 ）

1202年 にフィボナッチが?行した『 算盤の書 』(Liber Abaci) に記載されたことで「フィボナッチ?」と呼ばれているが、それ以前にも インド の?者である ヘ?マチャンドラ (Hemachandra) が 韻律 の?究により?見し、書物に記したことが判明している ^{[1] [2]} 。

兎の問題 [ 編集 ]

レオナルド?フィボナッチ は次の問題を考案した ^[3] 。

• 1つがいの兎は、産まれて2か月後から?月1つがいずつの兎を産む。
• 兎が死ぬことはない。
• この?件の下で、産まれたばかりの1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか？

つがいの?は次の表のようになる。どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ?が現れていることが分かる。

一般項 [ 編集 ]

フィボナッチ?列の一般項は次の式で表される ^[3] ：

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={\frac {\phi ^{n}-(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\phi ^{n}-(-\phi )^{-n}}{\sqrt {5}}}}$

この式は 1843年 に ビネ ( Jacques Philippe Marie Binet ) が?表したことからビネの公式と呼ばれるが、それ以前の 1730年 （ ド?モアブル ）? 1765年 （ オイラ? ）にも?表されており、ビネは最初の?見者ではない。

なお、この式に現れる

${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749894\cdots }$

は ?金? で、いくつかの??的特?がある。?金?を作る 二次方程式 x ² − x − 1 = 0 の解を α , β ( α > β ) とすると、上記の一般項は

${\displaystyle F_{n}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}}{\alpha -\beta }}+{\frac {\beta ^{n}}{\beta -\alpha }}}$

と表せる。

また、一般項の第2項 ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}$ の絶?値は減少列で、 n = 0 のとき ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}=0.447\cdots <{\frac {1}{2}}}$ より、第2項を切り捨てた式は F _n の値を 0.447 以下（ n > 4 のとき1%以下）の誤差で?える 近似式 である。

${\displaystyle F_{n}\fallingdotseq {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$

この誤差の絶?値は0.5未?なので、 F _n の正確な整?値は以下の式で得られる ^[3] 。

${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$

ただし、 ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ は 床?? である。

なお、後述の 負?番への?張 を考慮した場合、 n < 0 では逆に一般項の第1項の絶?値が0.5未?となるため、 n < 0 における F _n の正確な整?値は以下の式で得られる。

${\displaystyle F_{n}=-\left\lfloor {\frac {(-\phi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =-\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$

これらのことから、任意の整? n における F _n の正確な整?値は以下の式で得られる。

${\displaystyle F_{n}=(\operatorname {sgn} n)\left\lfloor {\frac {\{(\operatorname {sgn} n)\phi \}^{|n|}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =(\operatorname {sgn} n)\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{{\frac {1+(\operatorname {sgn} n){\sqrt {5}}}{2}}\right\}^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$

ただし、 sgn x は 符??? である。

行列表現 [ 編集 ]

また、フィボナッチ?列の漸化式は次のように 行列 表現できる ^[3] ：

${\displaystyle {F_{n+2} \choose F_{n+1}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F_{n+1} \choose F_{n}}}$

${\displaystyle \therefore {\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}}$

n を 2n で置換すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}F_{2n+1}&F_{2n}\\F_{2n}&F_{2n-1}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2n}=\left({\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}\right)^{2}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}^{2}\\&={\begin{pmatrix}{F_{n}}^{2}+{F_{n+1}}^{2}&(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}\\(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}&{F_{n-1}}^{2}+{F_{n}}^{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

よって、

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}F_{2n+1}&=&{F_{n}}^{2}+{F_{n+1}}^{2}\\F_{2n}&=&(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}\\&=&(2F_{n-1}+F_{n})F_{n}\\&=&(2F_{n+1}-F_{n})F_{n}\\F_{2n-1}&=&{F_{n-1}}^{2}+{F_{n}}^{2}\end{array}}}$

母?? は

${\displaystyle g(x)=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\dfrac {x}{1-x-x^{2}}}}$

である。

性質 [ 編集 ]

フィボナッチ?列の隣接2項の商は ?金? φ に?束する。この性質は初期値 ( F ₀ = 0, F ₁ = 1 ) に依らない。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}=\phi }$

これは次のように導出される：

${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}}$ が?束するとすれば、

${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n-1}+F_{n-2}}{F_{n-1}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{F_{n-1}/F_{n-2}}}\right)=1+{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$

• 自然? p , q の 最大公約? を r とすると、 F _p と F _q の最大公約?は F _r である。

これより以下を導くことができる。

• m が n で割り切れるならば、 F _m は F _n で割り切れる。
• 連?する2?は 互いに素 であることより、隣り合うフィボナッチ?も互いに素である。
• F _m が 偶? となるのは m が 3 の倍?となるときと一致する。
• F _m が 5 の 倍? となるのは m が 5 の倍?となるときと一致する。
• p が 2 でも 5 でもない 素? のとき、 m = p − (5/ p ) とおくと p は F _m を割り切る。ここで ( / ) は ルジャンドル記? である。

フィボナッチ?の累和や累積について以下の式が成り立つ。

• F ₁ + F ₂ + F ₃ + … + F _n = F _{n +2} − 1
• F ₁ + F ₃ + F ₅ + … + F _{2 n −1} = F _{2 n}
• F ₂ + F ₄ + F ₆ + … + F _{2 n} = F _{2 n +1} − 1
• F ₁ ² + F ₂ ² + F ₃ ² + … + F _n ² = F _n F _{n +1}
• F _{n −1} F _{n +1} − F _n ² = (−1) ⁿ

また、次の?係式が知られている。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {F_{k}}{n^{k}}}={\frac {n}{n^{2}-n-1}}}$

フィボナッチ?のうち 平方? であるのは F ₁ = F ₂ = 1 , F ₁₂ = 144 のみ (Cohn 1964) ^[4] 、 立方? であるのは F ₁ = F ₂ = 1 , F ₆ = 8 のみ (London and Finkelstein 1969) ^[5] である。フィボナッチ?のうち 累?? であるのはこれしかない (Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006) ^[6] 。（ オンライン整?列大?典 の?列 A227875 ）

フィボナッチ?で 素? であるのは 2 , 3 , 5 , 13 , 89 , 233 , 1597, 28657, … である（ オンライン整?列大?典 の?列 A005478 ）。また、これらは フィボナッチ素? と呼ばれる。

フィボナッチ?で 三角? であるのは 1 , 3 , 21 , 55 （ オンライン整?列大?典 の?列 A039595 ）のみであることは Vern Hoggatt によって予想されていたが、のちに Luo Ming によって?明された ^[7] 。

フィボナッチ?で ハ?シャッド? であるのは 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 21 , 144 , 2584, …（ オンライン整?列大?典 の?列 A117774 ）。

フィボナッチ?は 完全? にはならない ^[8] 。より一般に、フィボナッチ?は 倍積完全? にもならず ^[9] 、2つのフィボナッチ?の商も完全?にはならない ^[10] 。

フィボナッチ?列の逆?和 は?束し、記? ψ で表される。

${\displaystyle \psi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =3.35988566\cdots }$^[11]

この ψ が無理?であることは?明されているが (Andre-Jeannin 1989)、 超越? であるかどうかは分かっていない。

任意の正の整?は、1つ以上の連?しない相異なるフィボナッチ?の和として一意に表すことができる（ ゼッケンドルフの定理 ）。

プログラミング言語での?? [ 編集 ]

再? 的?理の例としてよく紹介される。以下は Python での例。

ただし、下記??例の?、 #負?番への?張 に??しているのは例5?例6のみである。

例1（再?的?理による??例） [ 編集 ]

このプログラムでは、 n が?えられてから F _n が求まるまでに ${\displaystyle F_{n}\propto \phi ^{n}}$ 回の??呼び出しが?生する（すなわち 指?時間 の計算となる）ため、?用的ではない。したがって通常は、 線形時間 で計算するために メモ化 などの手法を用いる他、後述するように??な??例が?討されている。

def
 fibonacci
(
n
:
 int
)
 ->
 int
:

    if
 n
 in
 [
0
,
 1
]:

        return
 n

    else
:

        return
 fibonacci
(
n
=
n
-
2
)
 +
 fibonacci
(
n
=
n
-
1
)

例2（ル?プ?理による??例） [ 編集 ]

def
 fibonacci
(
n
:
 int
)
 ->
 int
:

    a
,
 b
 =
 1
,
 0

    for
 _
 in
 range
(
n
):

        a
,
 b
 =
 b
,
 a
+
b

    return
 b

例3（指???的なコ?ルを必要としない再?的?理による??例） [ 編集 ]

n が1以上の場合に第2?第3の引?を上記例2と同じ要領で順次更新していくことで、コ?ル回?を n 回に抑えられる?、線形時間で?理出?る。

def
 fibonacci
(
n
:
 int
,
 a
:
 int
 =
 1
,
 b
:
 int
 =
 0
)
 ->
 int
:

    if
 n
 ==
 0
:

        return
 b

    else
:

        return
 fibonacci
(
n
=
n
-
1
,
 a
=
b
,
 b
=
a
+
b
)

例4（??時間での再?的?理による??例） [ 編集 ]

#行列表現 で導出した 漸化式 を用いることで、再?的?理でも??時間で?理出?る。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2n}&=(2F_{n-1}+F_{n})F_{n}\\F_{2n+1}&={F_{n}}^{2}+{F_{n+1}}^{2}\end{aligned}}}$（再?）

def
 fibonacci
(
n
:
 int
)
 ->
 int
:

    if
 n
 in
 [
0
,
 1
]:

        return
 n

    q
 =
 n
 //
 2

    fq
 =
 fibonacci
(
n
=
q
)

    if
 n
 %
 2
 ==
 0
:

        return
 (
2
 *
 fibonacci
(
n
=
q
-
1
)
 +
 fq
)
 *
 fq

    else
:

        return
 fq
 **
 2
 +
 fibonacci
(
n
=
q
+
1
)
 **
 2

例5（一般項による??例） [ 編集 ]

浮動小?点 型を使用すると 計算誤差 が?生する?、Decimal型を用いている。

from
 decimal
 import
 Decimal


SQRT5
 =
 5
 **
 Decimal
(
0.5
)

PHI
 =
 (
1
 +
 SQRT5
)
 /
 2
 # ?金?


def
 fibonacci
(
n
:
 int
)
 ->
 int
:

    return
 round
((
PHI
 **
 n
 -
 (
-
PHI
)
 **
 -
n
)
 /
 SQRT5
)

例6（行列表現での??例） [ 編集 ]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}}$（ #行列表現 より再?）

より、 n を n − 1 に置換すると、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{n}&F_{n-1}\\F_{n-1}&F_{n-2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n-1}}$

?って、 F _n は、上式右?（の具?的な計算値）の左上成分に等しい。

行列の冪 を簡潔に記述する?に SymPy を用いた ^{[注? 2] [注? 3]} 。

from
 sympy
 import
 Matrix


def
 fibonacci
(
n
:
 int
)
 ->
 int
:

    return
 (
Matrix
([[
1
,
 1
],
 [
1
,
 0
]])
 **
 (
n
 -
 1
))[
0
,
 0
]
 # 左上成分

その他の話題 [ 編集 ]

• フィボナッチ?は 自然 界の現象に?多く出現する。
• また、フィボナッチ?列が生み出す螺旋は、世界で最も美しい螺旋だと言われている。

ヨハネス?ケプラ? は1611年に?表した小論文「深淵の贈り物あるいは六角形の雪について」において、フィボナッチ?を自己を?殖する比例と呼び、植物の種子の能力の現れであると論じた ^[13] 。

• 花びら の?はフィボナッチ?であることが多い。 ^{[ 要出典 ]}
• フィボナッチ?は、花びらの枚?も決めているらしい。（『聖なる幾何?』p63より）
  • 3枚： ユリ 、 アヤメ 、 エンレイソウ
  • 5枚： オダマキ 、 サクラソウ 、キンボウゲ、 ノイバラ 、ヒエンソウ
  • 8枚： デルフィニウム? 、サンギナリア、 コスモス
  • 13枚： シネラリア 、コ?ンマリゴ?ルド
  • 21枚： チコリ? 、 オオハンゴンソウ
  • 34枚： オオバコ 、 シロバナムシヨケギク
  • 55枚： ユウゼンギク
  • 89枚：ミケルマス?デイジ?
    • 花弁の?が144に達することはない。この?は、他の自然界に見られるフィボナッチ?の例でも限界になっていることが多い ^[14] 。

• アブラナ や ダイコン の 花びら は4枚であり、 植物? では 花式? より3?性、4?性、5?性で分類される ^{[15] [16]} 。
• 植物 の 花 や ? に現れる 螺旋 の?もフィボナッチ?であることが多い。
  • ヒマワリ の螺旋の?はフィボナッチ?とされることもあるが、螺旋の?が多い場合、中心から離れると螺旋の隙間にも種ができてしまうため、途中から枝分かれしてフィボナッチ?にならないこともある ^[17] 。
• パイナップル の螺旋の?は時計回りは13、反時計回りは8になっている。
• 葉序 （植物の葉の付き方）はフィボナッチ?と?連している。(シンパ?=ブラウンの法則)
• らせん葉序におけるシンパ??ブラウンの法則はフィボナッチ?列と?連するが、「近似値を示すにすぎず、またこれにあてはまらない例もある」（岩波生物??典）。
• ハチ や アリ など、オスに父親がない家系を?っていくとフィボナッチ?列が現れる（父母2匹、祖父母3匹、?祖父母5匹、高祖父母8匹…）。
• n 段の階段を1段または2段ずつ登るときに、登る場合の?は F _{n +1} 通りある。
• ●と○を合わせて n 個?べる。●が2個以上?かないように一列に?べる方法は F _{n +2} 通りある。
• ?替 などの テクニカル分析 で、 フィボナッチ?リトレ?スメント という手法がよく使われている。

負?番への?張 [ 編集 ]

フィボナッチ?列は、 漸化式 F _n = F _{n −1} + F _{n −2} を全ての整? n に?して適用することにより、 n が負の整?の場合に?張できる。そして F _{− n} = (−1) ^{n +1} F _n が成り立つ。この式より、負の番?の項は次のようになる。

類似の?列 [ 編集 ]

フィボナッチ?列の定義である初期値や漸化式をやや?更して、類似の?列が作れる。

項?の?更 [ 編集 ]

フィボナッチ?列は各項が先行する二項の和であるものであったが、それを「先行する k 項の和」と置き換えた一般化

${\displaystyle F_{n+k}^{(k)}:=F_{n+k-1}^{(k)}+F_{n+k-2}^{(k)}+\dotsb +F_{n}^{(k)}\quad (n\geq 0)}$

を考えることができる。ただし、初期値は 1 で埋める（1-fil型）

${\displaystyle F_{0}^{(k)}=F_{1}^{(k)}=\dotsb =F_{k-1}^{(k)}=1}$

あるいは 0 で埋める（0-fil型）

${\displaystyle F_{0}^{(k)}=F_{1}^{(k)}=\dotsb =F_{k-2}^{(k)}=0,\quad F_{k-1}^{(k)}=1}$

などを取るのが一般的である。これらフィボナッチ?列の類似物を、項? k に??するラテン語またはギリシャ語に由?する 倍?接頭? を「フィボナッチ」と組み合わせた名?で呼ぶ ^{[注? 4]} 。

トリボナッチ? [ 編集 ]

特に直前の三項の和として各項が定まるトリボナッチ?列は、フィボナッチ?列に次いでよく調べられている。0-fil型でオフセットが0番目からのものは

T ₀ = T ₁ = 0, T ₂ = 1,

T _{n +3} = T _n + T _{n +1} + T _{n +2} ( n ≥ 0)

と表される。第0～21項の値は次の通りである：

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … ( OEIS A000073 )

トリボナッチ?列の一般項は次で表される。

${\displaystyle T_{n}={\frac {\alpha ^{n}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}}+{\frac {\beta ^{n}}{(\beta -\gamma )(\beta -\alpha )}}+{\frac {\gamma ^{n}}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}}}$

ただし、 α , β , γ は 三次方程式 x ³ − x ² − x − 1 = 0 の3解

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\beta &={\frac {1}{3}}\left(1+\omega {\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\bar {\omega }}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\gamma &={\frac {1}{3}}\left(1+{\bar {\omega }}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+\omega {\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\end{aligned}}}$

であり、ここで

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$（ 1 の?立方根 ）

である。

また、上記の α を トリボナッチ定? という。これはフィボナッチ?列における?金?に?たる定?で、トリボナッチ?列の隣接2項間の商はトリボナッチ定?に?束する：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}=\alpha =1.839286755214161\cdots }$

テトラナッチ? [ 編集 ]

直前の四項の和に?更したテトラナッチ?列も同?に??なことが知られている。同?にオフセット0番の 0-fil型は

T ₀ = T ₁ = T ₂ = 0, T ₃ = 1,

T _{n +4} = T _n + T _{n +1} + T _{n +2} + T _{n +3} ( n ≥ 0)

と書けて、第0～21項の値は次の通りである：

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, … ( OEIS A000078 )

一般項は、 四次方程式 x ⁴ − x ³ − x ² − x − 1 = 0 の4解を α , β , γ , δ として、

${\displaystyle T_{n}={\frac {\alpha ^{n}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )(\alpha -\delta )}}+{\frac {\beta ^{n}}{(\beta -\gamma )(\beta -\delta )(\beta -\alpha )}}+{\frac {\gamma ^{n}}{(\gamma -\delta )(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}}+{\frac {\delta ^{n}}{(\delta -\alpha )(\delta -\beta )(\delta -\gamma )}}}$

となる。

初期値の?更 [ 編集 ]

リュカ? [ 編集 ]

フィボナッチ?列の最初の2項を 2, 1 に置き換えた?列の項を リュカ? という。

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, … ( OEIS A000032 )

この?列の一般項は

${\displaystyle L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}=\phi ^{n}+(1-\phi )^{n}={\phi ^{n}+(-\phi )^{-n}}}$

と表される。

フィボナッチ?列やリュカ?の列を一般化したものが リュカ?列 であり、1878年に エドゥア?ル?リュカ が?系的な?究を行い、1913年に ロバ?ト?ダニエル?カ?マイケル （ 英語版 ） がその結果を整理、?張した ^[19] 。これらの?究が現代のフィボナッチ?の理論の基礎となった。

脚注 [ 編集 ]

注? [ 編集 ]

出典 [ 編集 ]

?考文? [ 編集 ]

• 佐藤修一 『自然にひそむ??―自然と??の不思議な?係』 講談社 〈ブル?バックス B-1201〉、1998年1月20日。 ISBN   4-06-257201-X 。  
• 中村滋 『フィボナッチ?の小宇宙(ミクロコスモス)―フィボナッチ?、リュカ?、?金分割』 日本評論社 、2002年9月。 ISBN   4-535-78281-4 。  
  • 中村滋『フィボナッチ?の小宇宙(ミクロコスモス)―フィボナッチ?、リュカ?、?金分割』（改訂版）日本評論社、2008年1月。 ISBN   978-4-535-78492-5 。  
• 中村滋「日本フィボナッチ協?の20年」『??セミナ?』第57?第8?、日本評論社、2018年8月、48-53頁。  
• Arakelian, Hrant (2014) (ロシア語), Mathematics and History of the Golden Section , Logos, ISBN   978-5-98704-663-0  
• Dunlap, Richard A. (1997-12-17), The Golden Ratio and Fibonacci Numbers , World Scientific Pub. Co. Inc., ISBN   978-981-02-3264-1  
  • ダンラップ, R.A. 著、 岩永恭雄 ? 松井講介 ?『?金比とフィボナッチ?』日本評論社、2003年6月。 ISBN   4-535-78370-5 。  
• Koshy, Thomas (2017-12-04), Fibonacci and Lucas Numbers with Applications , Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts, Volume 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN   978-1-118-74212-9  
• Koshy, Thomas (2019-01-07), Fibonacci and Lucas Numbers with Applications , Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts, Volume 2 (2nd ed.), Wiley, ISBN   978-1-118-74208-2  
• Leonardo Pisano Fibonacci L. E. Sigler? (1987-02-11), The Book of Squares , Academic Press, ISBN   978-0-12-643130-8   - 『 平方の書 』の英?。
• Sigler, Laurence (2003-11-11), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation , Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-40737-1   - 『 算盤の書 』の英?。

?連項目 [ 編集 ]

ウィキメディア?コモンズには、 フィボナッチ? に?連するカテゴリがあります。

外部リンク [ 編集 ]

• 竹之?脩 『 フィボナッチ?列 』 - コトバンク
• 『 フィボナッチ?列の7つの性質（一般項??金比?互いに素） 』 - 高校??の美しい物語
• フィボナッチ?、トリボナッチ?、テトラナッチ?、ペンタナッチ?、ヘキサナッチ? の考察
• Weisstein, Eric W. "Fibonacci Number" . mathworld.wolfram.com (英語).
• The Fibonacci Association（フィボナッチ協?） （英語）
• Fibonacci Quarterly Home Page（フィボナッチ?クォ?タリ?） （英語）
• 日本フィボナッチ協? 第14回?究集?報告書2016年8月日本フィボナッチ協?
• 日本フィボナッチ協? 第15回?究集?報告書2017年8月日本フィボナッチ協?
• 日本フィボナッチ協? 第16回?究集?報告書2018年8月日本フィボナッチ協?
• 日本フィボナッチ協? 第17回?究集?報告書2019年8月日本フィボナッチ協?
• 日本フィボナッチ協? 第18回?究集?報告書2020年10月日本フィボナッチ協?
• 日本フィボナッチ協? 第19回?究集?報告書2021年10月日本フィボナッチ協?
• 日本フィボナッチ協? 第20回?究集?報告書2022年10月日本フィボナッチ協?
• 日本フィボナッチ協? 第21回?究集?報告書2022年11月日本フィボナッチ協?

表 話 編 ? 級? ? ?列
等差?列	?散級? 1 + 1 + 1 + 1 + ? 1 + 2 + 3 + 4 + ? 無限算術級?
等比?列	?束級? 1 / 2 ? 1 / 4 + 1 / 8 ? 1 / 16 + ? 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + ? 1 / 4 + 1 / 16 + 1 / 64 + 1 / 256 + ? ?散級? 1 + 1 + 1 + 1 + ? 1 + 2 + 4 + 8 + ? 1 ? 2 + 4 ? 8 + ? グランディ級?
整?列	オンライン整?列大?典のリスト 階? フィボナッチ? リュカ? ペル? 三角? 五角? 六角? 七角? 八角? 九角? 十角? 多角? 平方? 立方?
その他の?列	?散級? 1 ? 2 + 3 ? 4 + ? 1 ? 1 + 2 ? 6 + 24 ? 120 + ? 調和級? ?束級? 交項級? 幾何級? 超幾何級? q超幾何級? ライプニッツの公式
?列の加速法	エイトケンのΔ2?加速法
カテゴリ:級? ? カテゴリ:?列

表 話 編 ? 貴金?比
ピゾ? （ 英語版 ） ?金 角 進法 フィボナッチ?列 ケプラ?三角形 長方形 菱形 （ 英語版 ） 分割探索 螺旋 三角形 白銀 ペル? 長方形 ?銀 カッパ? ニッケル etc...