ピアポント素?

ピアポント素? （ピアポントそすう）または ピアポン素? ^[1]（ピアポンそすう、英 : Pierpont prime ）は次のような形で表される素? のことである:

2 u 3 v + 1

, ただし

u

と

v

は非負整? 。

つまり p − 1 が 3-smooth （英語版） ^{[注? 1]} であるような素? p である。

?要 [ 編集 ]

??者のジェ?ムズ?ピアポント（英語版）にちなんで名付けられた。彼はこれを円錐曲線を用いて作?できる正多角形の?究に導入した。

v = 0 のときのピアポント素?は $2 u + 1$ の形であり、これはフェルマ?素? となる（ u = 0 のときの値 2 を除く）。 v が正ならば u も正でなくてはならない（ $3 v + 1$ は $v > 0$ のときは 2 以外の偶?であり素?ではないから）。したがって、2 でもフェルマ?素?でもない全てのピアポント素?は、 k を正の整?として 6 k + 1 の形をとる。

ピアポント素?の最初の?項は

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ... （オンライン整?列大?典の?列 A005109 ）

となる。

2020年現在 ^[update]知られている最も大きいピアポント素?は 3 × 2 ^16408818 + 1 （4,939,547 桁）であり、これが素?であることは 2020年 10月に?見された ^[2]^[3]。

分布 [ 編集 ]

??の未解決問題
ピアポント素?は無限に存在するか？

??的には、ピアポント素?は特に珍しかったりまばらに分布しているわけではないようである。10 ⁶ 未?には42個あり、10 ⁹ までに65個、10 ²⁰ までに157個、10 ¹⁰⁰ までに795個存在する。

ピアポント素?において代?的な因?分解からの制限はほとんどないため、指?が素?でなくてはならないというメルセンヌ素? の?件のような要求はない。したがって、 $2^{u}3^{v}+1$ の形をした n 桁の整?の中で素?であるものが占める割合は、全ての n 桁の整?の中で素?が占める割合と同?、1/ n に比例するはずだと期待される。この範?にこの形の?は Θ( n ²) 個あるため、Θ( n ) 個のピアポント素?があるはずである。

Andrew M. Gleason はこの推論を明示的なものにし、無限に多くのピアポント素?が存在すると予想し、もっと具?的には $10 n$ までに約 $9 n$ 個のピアポント素?が存在するはずだとした ^[4]。Gleason の予想によれば、 N 未?には Θ(log N ) 個のピアポント素?が存在することになる。これは同じ範?においてメルセンヌ素?がわずか O(log log N ) 個と予想されていることとは?照的である。

素?判定法 [ 編集 ]

$2^{u}>3^{v}$ のとき、 $M=2^{u}3^{v}+1$ はプロス? であるから、これが素?であるかどうかはプロスの定理（英語版）により判定できる。一方 $2^{u}<3^{v}$ のとき、 $M=2^{u}3^{v}+1$ に?する素?判定は、 $M-1$ が小さな偶?と3の大きな累?の積と解?できることに着目して、Williams と Zarnke の判定法を使うのがよい ^[5]。

フェルマ??の因?となるピアポント素? [ 編集 ]

世界的に行われているフェルマ?? の因?（約? ）の探索作業の一環として、いくつかのピアポント素?が因?として?表されている。次の表 ^[6]は

素?

k\cdot 2^{n}+1

が

2^{2^{m}}+1

を割り切る

ような m , k , n の値を示している。左の?は k が3の累? のときにピアポント素?であり、右の?はフェルマ??である。

m	k	n	年	?見者
38	3	41	1903	Cullen , Cunningham & Western
63	9	67	1956	Robinson
207	3	209	1956	Robinson
452	27	455	1956	Robinson
9428	9	9431	1983	Keller
12185	81	12189	1993	Dubner
28281	81	28285	1996	Taura
157167	3	157169	1995	Young
213319	3	213321	1996	Young
303088	3	303093	1998	Young
382447	3	382449	1999	Cosgrave & Gallot
461076	9	461081	2003	Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495728	243	495732	2007	Keiser, Jobling, Penne & Fougeron
672005	27	672007	2005	Cooper , Jobling, Woltman & Gallot
2145351	3	2145353	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782	3	2478785	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543548	9	2543551	2011	Brown, Reynolds, Penne & Fougeron

正多角形の作? [ 編集 ]

折紙の?? において、藤田の公理は可能な7種類の折り方のうち6つを定義する。これらの折り方は任意の三次方程式を解く点の作?を可能とするために十分であることが示されている ^[7]。ここから、 N が3以上でかつ $N = 2 m 3 n ρ$ （ m , n は0以上, $ρ$ は相異なるピアポント素?の積 ^{[注? 2]}）という形をしていることが、 N ?の正多角形を折り出せるための必要十分?件であるということが導かれる。これはコンパス、定規、角の三等分器を用いて作?できる正多角形のクラスと同一である。なお、コンパスと定規のみで作?できる正多角形（通常の意味での作?可能な正多角形）は、その特別な場合で、 $n = 0$ でありかつ $ρ$ が相異なるフェルマ?素? の積になっているものである ^{[注? 2]}。

1895年、ジェ?ムズ?ピアポントがこのクラスの正多角形を?究した。ピアポント素?の名はこの業績に由?する。ピアポントはそれまでに作?された点に由?する係?を持つ円錐曲線を描く能力を加えることで、コンパスと定規による作?を上記とは異なるやり方で一般化した。彼が示したように、これらの操作で作?することができる正 N 角形は N のト?シェントが 3-smooth であるようなものである。素?のト?シェントは自身から1を引いて得られるから、ピアポントの作?手法により作られる素? N はまさしくピアポント素?である。しかし、ピアポントは 3-smooth なト?シェントを持つ合成?の形については記述しなかった ^[8]。後に Gleason が示したように、これらの?は先述した $2 m 3 n ρ$ という形のものに他ならない。

ピアポントでない（フェルマ?でもない）最小の素?は11であり、正十一角形はコンパス、定規、角の三等分器（もしくは折り紙、円錐曲線）で作?することができない最小の正多角形である。これ以外の $3 \leq N \leq 21$ である正 N 角形はどれもコンパス、定規、角の三等分器で作?することができる。

一般化 [ 編集 ]

第2種ピアポント素? （英 : Pierpont prime of the second kind ）は 2 ^u3 ^v ? 1 という形の素?である。これらは以下の値である。

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... （オンライン整?列大?典の?列 A005105 ）

k 個の固定された素? { p ₁, p ₂, p ₃, ..., p _k}, p _i < p _j for i < j に?して、 一般化ピアポント素? （英 : generalized Pierpont prime ）とは $p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot p_{3}^{n_{3}}\cdot \dotsb \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ の形で表される素?である。 第2種一般化ピアポント素? （英 : generalized Pierpont prime of the second kind ）とは $p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot p_{3}^{n_{3}}\cdot \dotsb \cdot p_{k}^{n_{k}}-1$ の形で表される素?である。2より大きい素?は全て奇?であるため、どちらも p ₁ は2でなければならない。OEISにあるこのような素?列は以下の通り。

{ p ₁, p ₂, p ₃, ..., p _k}	+1	?1
{2}	A092506	A000668
{2, 3}	A005109	A005105
{2, 5}	A077497	A077313
{2, 3, 5}	A002200	A293194
{2, 7}	A077498	A077314
{2, 3, 5, 7}	A174144
{2, 11}	A077499	A077315
{2, 13}	A173236	A173062

?連項目 [ 編集 ]

安全素? （ $p - 1$ ができるだけsmoothでない素?）

脚注 [ 編集 ]

[ 脚注の使い方 ]

注? [ 編集 ]

^ 3以下の素因?しか持たないこと。
^ ^a ^b 0個の?の積すなわち ρ=1 でもよいとする。空積を?照せよ。

出典 [ 編集 ]

^ デイヴィッド?A.コックス、梶原健（?）、2008?2010、『ガロワ理論』下、日本評論社 ISBN 978-4-535-78455-0 , 「第10章作?」.
^ Caldwell, Chris. “ The largest known primes ”. The Prime Pages . 2021年1月2日 ??。
^ “ The Prime Database: 3*2^16408818+1 ”. The Prime Pages . 2021年1月2日 ??。
^ Gleason, Andrew M. (1988), “Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon”, American Mathematical Monthly 95 (3): 185?194, doi : 10.2307/2323624 , MR 935432 . Footnote 8, p. 191.
^ Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), “On the primality of $2h\cdot 3^{n}+1$ ”, Discrete Mathematics 241 (1-3): 395?406, doi : 10.1016/S0012-365X(01)00125-X , MR 1861431 . 特に Theorem 2.
^ Wilfrid Keller, Fermat factoring status .
^ Hull, Thomas C. (2011), “Solving cubics with creases: the work of Beloch and Lill”, American Mathematical Monthly 118 (4): 307?315, doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 , MR 2800341 .
^ Pierpont, James (1895), “On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticæ”, Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 77?83, doi : 10.1090/S0002-9904-1895-00317-1 , MR 1557414 .

外部リンク [ 編集 ]

Weisstein, Eric W. "Pierpont Prime" . mathworld.wolfram.com (英語).

[2] 3以下の素因?しか持たないこと。

[rho-9] 0個の?の積すなわち ρ=1 でもよいとする。空積を?照せよ。

[1] デイヴィッド?A.コックス、梶原健（?）、2008?2010、『ガロワ理論』下、日本評論社 ISBN 978-4-535-78455-0 , 「第10章作?」.

[3] Caldwell, Chris. “ The largest known primes ”. The Prime Pages . 2021年1月2日 ??。

[4] “ The Prime Database: 3*2^16408818+1 ”. The Prime Pages . 2021年1月2日 ??。

[5] Gleason, Andrew M. (1988), “Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon”, American Mathematical Monthly 95 (3): 185?194, doi : 10.2307/2323624 , MR 935432 . Footnote 8, p. 191.

[6] Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), “On the primality of $2h\cdot 3^{n}+1$ ”, Discrete Mathematics 241 (1-3): 395?406, doi : 10.1016/S0012-365X(01)00125-X , MR 1861431 . 特に Theorem 2.

[7] Wilfrid Keller, Fermat factoring status .

[8] Hull, Thomas C. (2011), “Solving cubics with creases: the work of Beloch and Lill”, American Mathematical Monthly 118 (4): 307?315, doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 , MR 2800341 .

[10] Pierpont, James (1895), “On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticæ”, Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 77?83, doi : 10.1090/S0002-9904-1895-00317-1 , MR 1557414 .

[1]

[注? 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[注? 2]

[8]

表話編 ? 素? の分類
生成式	フェルマ? ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階? ( $n! \pm 1$ ) 素?階? ( $p n # \pm 1$ ) ユ?クリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan （英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban （英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サ?ビト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニュ?マン?シャンクス?ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィ?フェリッヒ（英語版） ( ? （英語版） ) ウォ?ル?孫?孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォ?チュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則 ? （英語版）スタ?ン Supersingular (楕円曲線) （英語版） Supersingular (ム?ンシャイン理論) （英語版）良いス?パ? ヒッグス（英語版）高度コト?ティエント（英語版）
基?依存	ハッピ? 二面（英語版）回文エマ?プレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular （英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic （英語版） Minimal （英語版）弱いフルサイクルプライム Unique （英語版） Primeval （英語版）自己スマランダチェ?ウェラン（英語版）
組	互いに素 ?子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k ?Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシ? ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィ??ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術?列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁?	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素?	アイゼンシュタイン素? （英語版）ガウス素?
合成?	擬素? ?素? 半素? 楔? Interprime （英語版）
?連する話題	確率的素? Industrial-grade prime （英語版）違法素? 素?の公式（英語版）素?の間隔『巨大な素?の一? 』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素?の一?