ガリレイ?換

ガリレイ?換 （ガリレイへんかん、英 : Galilean transformation ）とはある慣性系における物理現象の記述を別の慣性系での記述に?換するための座標?換の方法の一つである。ニュ?トンの運動方程式を不?に保つため、ガリレイ?換の前後でニュ?トン力? の法則は不?に保たれる。?して相?論的運動方程式やマクスウェルの方程式は不?に保たないため、光速に近い速度の?わる物理現象に適用すると現?の物理法則と乖離する。なお相?論的?果も考慮した?換はロ?レンツ?換を?照。

?要 [ 編集 ]

座標系 $x, y, z, t$ で表される慣性系 $S$ に?して、座標系 $x', y', z', t'$ で表される慣性系 $S'$ が速度 $V x$ で相?運動しているとする。ただし運動方向を $x$ 軸と $x'$ 軸の正方向とし、 $y$ 軸と $y'$ 軸および $z$ 軸と $z'$ 軸の方向も一致させる。このとき慣性系 $S$ から慣性系 $S'$ へのガリレイ?換は次のように定義される。

x'=x-tV_{x},y'=y,z'=z,t'=t

ここで $x - t$ 座標と $x' - t'$ 座標のみを?示すれば次のようになる。

?1.座標格子のガリレイ?換
?2.ガリレイ?換。左?は慣性系 $S$ を直交座標で示し、右?は慣性系 $S'$ を直交座標で示す。

上記の式を時間微分すると、 $y, z$ は時間に?して一定なので

{\begin{aligned}v'_{x}=v_{x}-V_{x}\\v_{x}=v'_{x}+V_{x}\end{aligned}}

となる。

このように、慣性系間をガリレイ?換で?換できるという主張は速度合成則が?純な足し算で記述されるという主張を含むのである。

解? [ 編集 ]

ガリレイ?換がどのようなものかを理解するために次のような例を考える。

西向きに時速 30 km で走行する列車にピッチングマシ?ンとそれを操作する人（A とする）が列車上の同じ場所にとどまって?っている。また、列車の外に立っている人（B とする）がいる。ここで西向きを x 軸、鉛直方向上向きを z 軸、これらに垂直な向き（ここでは右手系を採用することにするので南向き）を y 軸にとる。

時刻 $t=0$ に A がいた位置を原点ととることにする。大地に固定された慣性系（すなわちBの視点）から見ると A の位置は $t=0$ では $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ であり、任意の時刻においては

x=t\times 30~{\mbox{km/h}},y=0,z=0

である。一方列車とともに移動する慣性系から見ると A はずっと動かないから A の座標は恒等的に $x'=0$ , $y'=0$ , $z'=0$ である。

さてここで、具?例として A がピッチングマシ?ンを時速 100 km の設定にして列車の進行方向にボ?ルを?射したとする。A の視点から見ると A 自身は列車の中の一所にとどまっておりボ?ルは時速 100 km で西向きに飛んでいったように見える。しかしここで大地に固定された慣性系（すなわちBの視点）からこの現象を見るとどうなるだろう。ボ?ルはピッチングマシ?ンの設定速度 100 km に列車の速度 30 km をくわえた 130 km で西向きに飛んでいるように見えるのでは有るまいか?

以上の記述はガリレイ?換が成立する場合には正しい。上記のような?況では?際の?測結果とガリレイ?換の主張は一致するであろう。相?論的な?果によるずれはこの場合非常にわずか（今の場合、 0.000000000001 % 程度）であり、空?抵抗 ? 万有引力その他の外?要因よりもはるかに小さいため、どんなに精密な測定をしても?出することは不可能である。

しかし、より高い速度では相?論的?果によるずれがより大きくなり、?測にもかかる。一般的に相?論的?果があらわに現れるのは?ね光速の 10 % よりも速い場合である（速度が光速の 10 % の時、相?論的?果は 0.5 % 程度現れる）。

ガリレイの相?性原理 [ 編集 ]

一般に相?性原理というとアインシュタインのものが有名であるが、相?性原理は他にもある。それはガリレイ?換と?係のあるガリレイの相?性原理である。

相?性原理とはどのような慣性系においても同じ物理法則が成り立つという主張である。ガリレイの相?性原理はガリレイ?換によって?換するあらゆる慣性系において物理法則が不?であるという主張である。

ニュ?トン力?の運動方程式（のベクトル表現）

{\vec {F}}=m{\vec {a}}

には座標の二回微分（=速度の一回微分つまり加速度。式中における ${\vec {a}}$ ）しかでてこないので、ガリレイ?換をしても運動方程式には影響しない。つまりガリレイ?換に?して式の形が?わらない。このようなことをさして「ニュ?トン力?はガリレイ?換に?して共?な理論である」という。ニュ?トン力?はガリレイの相?性原理の要請を?たす。

しかし電磁?? のマクスウェルの方程式は光速度をあらわに含むのでガリレイ?換に?して不?ではない（光速度に定?を足すと式の形が?わってしまう）。?初はこれを「マクスウェルの方程式は絶??止座標系 ^{[注? 1]}においてのみ成り立つ」と解?し、絶??止座標系以外の慣性系では、ガリレイ?換されたマクスウェルの方程式が成り立つと解?されていた。しかし、絶??止座標系を見出すのに十分な精度の??（マイケルソン?モ?レ?の?? 等）が行われても、慣性系の違いによるガリレイ?換の?果は?測されなかった。

この??結果を?明するため、絶??止座標系からの?換がガリレイ?換ではないとされ、電磁??が共?になるような?換であるロ?レンツ?換が考えだされた。さらに、絶??止座標の?定を?し、ロ?レンツ?換によって?換するあらゆる慣性系で物理法則が不?であるというアインシュタインの特殊相?性原理 ^{[注? 2]}から特殊相?性理論が生み出された。ロ?レンツ?換において、光速に?して慣性系間の相?速度を微小として近似したものが、ガリレイ?換になる。

脚注 [ 編集 ]

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注? [ 編集 ]

^ ガリレイ?換自身は、絶??止座標系の?念とは無?係である。
^ ここで特殊相?性原理の「特殊」とは、非慣性系も含めた相?性原理である一般相?性原理に?し、慣性系という「特殊」な系の相?性原理であることを意味しており、ガリレイの相?性原理に?して特殊な相?性原理という意味ではない。

?連項目 [ 編集 ]

[1] ガリレイ?換自身は、絶??止座標系の?念とは無?係である。

[2] ここで特殊相?性原理の「特殊」とは、非慣性系も含めた相?性原理である一般相?性原理に?し、慣性系という「特殊」な系の相?性原理であることを意味しており、ガリレイの相?性原理に?して特殊な相?性原理という意味ではない。

[注? 1]

[注? 2]