オ?ムの法則

オ?ムの法則 （オ?ムのほうそく、英語 : Ohm's law ）とは、導電現象において、電?回路の部分に流れる電流とその?端の電位差の?係を主張する法則である。ク?ロンの法則とともに電?工? で最も重要な?係式の一つである。

1781年にヘンリ??キャヴェンディッシュが?見したが、その業績は死後?十年した後に1879年にその遺稿を纏めたマクスウェルが『ヘンリ??キャヴェンディシュ電??論文集』として出版するまで世間には未公表であったため知られておらず、1826年にドイツの物理?者であるゲオルク?オ?ムによって?自に再?見?公表されたため、その名を冠してオ?ムの法則と呼ばれるようになった。

?容 [ 編集 ]

オ?ムの法則は、電?回路の2点間の電位差が、その2点間に流れる電流に比例することを主張する ^[1]。電流が $I$ で電位差が $V$ であるとき

$V=IR$

となる。比例係? $R$ は導?の材質?形???度などによって定まり、電?抵抗（ electric resistance ）あるいは?に抵抗（ resistance ）と呼ばれる。

この?係の逆を考えると、流れる電流が電位差に比例する、と表現することができる。これを?式で表せば

$I=GV$

となる。このときの比例係? $G = R -1$ は電??導率（ conductance ）、あるいはコンダクタンスと呼ばれる。

電流の?位にアンペア（記?:A）を、電位差の?位にボルト（記?:V）を用いたときの電?抵抗の?位はオ?ム（記?:Ω）が用いられる。また、コンダクタンスの?位はジ?メンス（記?:S）が用いられる。

微分型表現 [ 編集 ]

導??の微小な?面（法線ベクトル $n$ ）を考え、その面積を $ΔS$ とすると、この?面を貫く電流 $I$ は、この点での電流密度を $j$ として

$I={\boldsymbol {j}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta S$

と表される。一方、この微小な?面を貫く微小な法線を考え、その長さを $ΔL$ とすると、この法線に沿った電位差 $V$ は、この点での電場を $E$ として

$V={\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta L$

と表される。この電流と電位差にオ?ムの法則を適用すれば

${\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {n}}={\frac {R\Delta S}{\Delta L}}\,{\boldsymbol {j}}\cdot {\boldsymbol {n}}$

となる。導?が一?で等方な材質であると考えれば、電場 $E$ と電流密度 $j$ は平行であると考えられ

${\boldsymbol {E}}=\rho {\boldsymbol {j}}$

と表される。比例係? $ρ = R ΔS / ΔL$ は導?の材質と?度によって定まり、電?抵抗率 ( resistivity ) ^[1]あるいは固有抵抗 ( specific resistance )と呼ばれる。さらにその逆??

${\boldsymbol {j}}=\sigma {\boldsymbol {E}}$

と表したときの比例係? $σ = 1/ ρ$ は電??導率 ( conductivity ) ^[1]と呼ばれる。

この表現は導??の微小領域におけるオ?ムの法則を示しており、微分型表現といわれる。この微分型表現を?際の導?の形?寸法に合わせて積分することによりその導?の電?抵抗が定まる。

磁?流?力?での一般化されたオ?ムの法則 [ 編集 ]

地球電磁?? 、宇宙空間物理? などで使われる磁?流?力? （MHD）はオ?ムの法則を1次元の導?から3次元の連??、特に流? に?張して用いる。この時のオ?ムの法則は磁場の影響も含むようになり、「一般化されたオ?ムの法則」と呼ばれる。

液?金?における導出 [ 編集 ]

磁場が存在し、かつ導電?が動く場合、磁場の影響によるロ?レンツ力が無視できなくなる。ロ?レンツ?換を使うと、電場は

{\begin{aligned}{\boldsymbol {E}}_{\parallel }'&={\boldsymbol {E}}_{\parallel }\\{\boldsymbol {E}}_{\bot }'&=\gamma \left({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {\beta }}\times {\boldsymbol {B}}\right)_{\bot }\end{aligned}}

と?換される。ただし

\parallel

は導電?の移動方向と?行な成分、

\bot

は垂直な成分、

\gamma

はロ?レンツ因子、

\beta

は光速に?する相?的な速度。

速度が光速より十分に?く、かつ磁場が十分?いと?定する。この時、オ?ムの法則は

${\boldsymbol {j}}=\sigma \left({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}\right)$

と修正される。

プラズマにおける導出 [ 編集 ]

完全に電離した水素原子のプラズマを考える。つまり流?を構成する粒子は陽子と電子の2成分のみとする。陽子と電子それぞれの流?に?し、速度を ${\boldsymbol {u}}_{p},{\boldsymbol {u}}_{e}$ 、?密度を $n_{p},n_{e}$ 、粒子の質量を $m_{p},m_{e}$ 、分?を $P_{p},P_{e}$ とする。また電?素量を $e$ 、陽子と電子の二?衝突の頻度を $\nu$ とする。ロ?レンツ力と衝突の影響を含めた運動方程式（オイラ?方程式）は

{\begin{aligned}m_{p}n_{p}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}_{p}\cdot \nabla )\right){\boldsymbol {u}}_{p}&=-\nabla P_{p}+en_{p}({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}_{p}\times {\boldsymbol {B}})-{\boldsymbol {R}}\\m_{e}n_{e}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}_{e}\cdot \nabla )\right){\boldsymbol {u}}_{e}&=-\nabla P_{e}-en_{e}({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}_{e}\times {\boldsymbol {B}})+{\boldsymbol {R}}\\{\boldsymbol {R}}&=en_{e}m_{e}\nu ({\boldsymbol {u}}_{p}-{\boldsymbol {u}}_{e})\end{aligned}}

となる。ただし

{\boldsymbol {R}}

は衝突項。

ミクロな空間において定常?態を考えると、運動方程式の左?と分?の勾配を0と近似できる。

{\begin{aligned}en_{p}({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}_{p}\times {\boldsymbol {B}})-{\boldsymbol {R}}&=0\\-en_{e}({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}_{e}\times {\boldsymbol {B}})+{\boldsymbol {R}}&=0\end{aligned}}

中性流?を考えると

n\simeq n_{p}\simeq n_{e}

とできる。陽子の質量が電子の質量より非常に大きいこと

m_{p}\gg m_{e}

と合わせると、重心の速度は

{\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}&={\frac {n_{p}m_{p}{\boldsymbol {u}}_{p}+n_{e}m_{e}{\boldsymbol {u}}_{e}}{n_{p}m_{p}+n_{e}m_{e}}}\\&\simeq {\frac {m_{p}{\boldsymbol {u}}_{p}+m_{e}{\boldsymbol {u}}_{e}}{m_{p}+m_{e}}}\\&\simeq {\boldsymbol {u}}_{p}\end{aligned}}

と近似できる。

電流は

${\boldsymbol {j}}=e(n_{p}{\boldsymbol {u}}_{p}-n_{e}{\boldsymbol {u}}_{e})$

と表されるので、運動方程式の衝突項を代入すると、

${\boldsymbol {j}}={\frac {\boldsymbol {R}}{m_{e}\nu }}$

以上より一般化されたオ?ムの法則

{\begin{aligned}{\boldsymbol {j}}&=\sigma ({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {B}})\end{aligned}}

が導ける。ただし

\sigma =en/(m_{e}\nu )

とした。

脚注 [ 編集 ]

[ 脚注の使い方 ]

^ ^a ^b ^c 原康夫『物理?通論II』 19章19.2、?術?書出版、1988年

?考文? [ 編集 ]

大野木哲也?高橋義朗『電磁??I』益川敏英監修、植松恒夫??山秀明編、東京?書〈基幹講座物理?〉、2015年、53-54頁。 ISBN 978-4489022234
柴田一成??山央明?工藤哲洋『宇宙電磁流?力?の基礎』日本評論社〈宇宙物理?の基礎〉、2023年。 ISBN 978-4535603417

?連項目 [ 編集 ]

[hara-1] 原康夫『物理?通論II』 19章19.2、?術?書出版、1988年

[1]

表話編 ? 電? ? 電力
主要項目	電力電? 電力?社日本の電力?社エネルギ? エネルギ??率
電力流通	電力系統系統連系 ?電設備の運用電?工作物商用電源電線路(送電線) ?電 ?電所 ?電機 ?電設備 ?電 ?電所 ?電設備借室電?室移動?電所送電電線路交流送電直流送電配電受電設備三相4線式三相3線式 ?相3線式 ?相2線式 ?成器 ??器 ?流器遮?器 ? 開閉器電柱電線 ?塔
項目	電力自由化 ?送電分離日本?電力取引所商用電源周波? 電流?? 消費電力ワット年間消費電力量待機電力電費埋?電力電力量電力量計(電?メ?タ?) スマ?トメ?タ? 電力機器電?製品の一? 電機メ?カ? 停電電力需給ひっ迫警報節電電?工事電?工事士電?自動車電池電??道電車電?機?車 ?道の電化直流電化交流電化電?回路電子回路電力回路電??器電? 電??係法令
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基礎用語	直流交流電? 電流消費電力電?抵抗電荷電力量電子オ?ムの法則アンペ?ルの法則
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