In
geometria
, la
spirale aurea
e un tipo particolare di
spirale logaritmica
con fattore di accrescimenti
b
di crescita pari a
φ
, la
sezione aurea
.
[1]
L'
equazione polare
di una spirale aurea e la stessa delle altre
spirali logaritmiche
, ma con un particolare valore di
b
:
[2]
oppure
dove
e
e la base dei
logaritmi naturali
,
a
e una costante reale arbitraria, ma positiva, e
b
e tale che quando θ e un
angolo retto
, la quantita:
La quantita
e il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio della spirale dopo aver compiuto un angolo retto, ovvero un quarto di giro. Se per esempio imponiamo
, cio significa che in questo caso la spirale raddoppia il proprio raggio ad ogni quarto di giro e quindi ad ogni giro completo le sue dimensioni aumentano di un fattore
.
Percio,
b
e dato da
Utilizzando questa definizione l'equazione della spirale logaritmica diventa
[3]
:
in quanto
.
Calcolando il rapporto tra
e
infatti si ottiene:
Il che dimostra come nella forma
la quantita
sia il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio ogni quarto di giro.
La spirale aurea e quindi un caso particolare della
spirale logaritmica
, ovvero il caso in cui
, al posto di essere un numero reale positivo generico, assume il valore della
sezione aurea
:
Il valore numerico del modulo di
b
per la spirale aurea vale:
- per θ espresso in gradi;
- per θ espresso in radianti.