Rombo
Il
rombo
o
losanga
[1]
e un
poligono
di quattro
lati
, tutti della stessa lunghezza (
congruenti
).
Gli
angoli
del rombo non sono di solito congruenti; anche le sue
diagonali
hanno di solito lunghezza diversa, e sono denominate
diagonale maggiore
e
diagonale minore
. Il
quadrato
e un particolare tipo di rombo che ha tutti gli angoli congruenti, e le due diagonali congruenti.
I lati opposti di un rombo sono
paralleli
; esso e quindi un caso particolare di
parallelogramma
. Inoltre e un poligono equilatero, perche ha tutti i lati uguali.
Essendo un
quadrilatero
, anche il rombo ha due
diagonali
; esse hanno la caratteristica di essere
perpendicolari
fra loro e di intersecarsi nel loro punto medio. Ciascuna diagonale divide il rombo in due
triangoli isosceli
, che sono congruenti. Le due diagonali costituiscono anche le bisettrici degli angoli.
Gli
angoli
opposti sono congruenti, vale a dire hanno uguale ampiezza: quindi
![{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {C}}=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55993c9ce63b2c44cf6fad3623a2cd48d977f0b5)
![{\displaystyle {\hat {B}}={\hat {D}}=\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b9549ddc9bde5633a75765858accbe308f552f)
Due angoli adiacenti a ciascun lato sono
supplementari
, con somma quindi pari a 180°:
![{\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad0f1a430d997dadea12b217445a5deceac28a1)
Come in ogni quadrilatero, la somma degli angoli interni e sempre 360°.
Le altezze di un rombo sono congruenti.
L'altezza
del rombo e pari al diametro della
circonferenza inscritta
al rombo o al rapporto tra l'area e un lato, che e preso come base:
![{\displaystyle h=2r={\frac {A}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8246327e936b467349a08c0ac261cf132fff31)
Se
e il lato del rombo, il suo
perimetro
e dato da:
![{\displaystyle 2p=a\cdot 4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40925163e72bb0b505490a9bff17419afc8b0087)
L'
area
del rombo si puo calcolare in quattro modi:
- come per tutti i
parallelogrammi
, effettuando il prodotto della base
, coincidente con un lato del rombo, per l'altezza
:
![{\displaystyle A=a\cdot h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cce8e70da5eb5e912ef4e4dd5fcd5d836cdaca7)
- moltiplicando la
diagonale
maggiore
per la diagonale minore
e dividendo il risultato per
[2]
:
![{\displaystyle A={{d_{1}\cdot d_{2}} \over {2}}={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ec872679def04b619fa0657f89c2d71695bbb8)
- moltiplicando il
semiperimetro
per il
raggio
della
circonferenza inscritta
[3]
:
![{\displaystyle A=p\cdot r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b64ab74ccb9057e61d00eff7e62c0ccb0eba40)
- infine, calcolando il quadrato del lato
e moltiplicandolo per il
seno
di uno qualunque degli angoli interni
[4]
![{\displaystyle A={a^{2}\cdot \sin \alpha }={a^{2}\cdot \sin \beta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5262a3bbb09aed4eeee37cc40e4fa8e5e9d587)
In merito a questa quarta formula per il calcolo dell'area vanno notati alcuni punti:
e
sono uguali perche
e
sono
angoli supplementari
: questo e il motivo per cui si puo usare indifferentemente l'uno o l'altro;
- il rombo produce la sua massima
area
quando i lati sono
perpendicolari
fra loro a formare un
quadrato
: in tal caso
e
sono uguali a
e la formula si identifica con quella del quadrato ossia diventa
![{\displaystyle A={a^{2}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b503f4400cd819523a02474c1281bcce2558656)
- man mano che il rombo si
schiaccia
,
e
diventano minori di
e quindi l'area del rombo diventa piu piccola rispetto a quella del quadrato da cui si era partiti;
- infine, schiacciando totalmente il rombo fino ad avere
e quindi
, la sua area diventa nulla.
- ^
Rombo
, in
Treccani.it ? Enciclopedie on line
, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- ^
La formula si giustifica considerando che l'area puo essere ottenuta sommando le aree di due triangoli congruenti come ad esempio quello con vertici
,
e
e quello con vertici
,
e
. Considerando quest'ultimo si ha:
![{\displaystyle {\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {SB}}}{2}}={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}/2}{2}}={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc549e3cc973c7a30e1295d8f5293f9039e4f98)
Moltiplicando per
otteniamo la formula del punto 2.
- ^
La formula si giustifica considerando che il raggio
e anche pari all'altezza rispetto ad
di uno qualunque dei quattro triangoli che compongono il rombo. Considerando ad esempio il triangolo che ha per vertici
,
e
osserviamo che la sua area e data da:
![{\displaystyle {\frac {a\cdot r}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89dac1f8b34c8852ccb7a5aaff6e7981572c5bd3)
Moltiplicando per
otteniamo la formula del punto 3:
.
- ^
La formula si giustifica considerando che il prodotto
coincide con l'altezza
e quindi ricadiamo nella formula del punto 1:
![{\displaystyle {a^{2}\cdot \sin \alpha }=a\cdot (a\cdot \sin \alpha )=a\cdot h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0534057716d97bb98faa0e30bd7d5e6925974bf0)