Il
numero di Graham
, cosi chiamato in onore del
matematico
Ronald Graham
, e un
numero naturale
di grandezza inconcepibile, e il primo ad essere usato in una seria
dimostrazione matematica
. Tale numero e estremamente piu grande di altri famosi numeri grandi come il
googol
, il
googolplex
e perfino il
megistone
.
Come molti altri numeri di grandi dimensioni, una sua rappresentazione completa in
notazione decimale
e scientificamente impossibile in quanto, anche ipotizzando di essere in grado di immagazzinare un bit in un singolo
volume di Planck
, lo spazio necessario a immagazzinare tale numero sarebbe enormemente superiore a quello dell'intero
universo conosciuto
. In altre parole, un ipotetico
calcolatore
grande quanto l'intero universo e sofisticato sino agli attuali limiti fisici potrebbe calcolare solo una minuscola parte di questo numero. Tuttavia, nel caso del numero di Graham, lo stesso limite si ripresenta qualora volessimo esprimere la quantita di cifre presenti nel numero, o la quantita di cifre della quantita di cifre, ma anche per la lunghezza della frase "quantita di cifre della quantita di cifre della quantita di cifre..." necessaria. In altre parole, la sua dimensione e tale che non e possibile dare un'idea delle sue effettive dimensioni in termini non matematici.
[1]
Il numero di Graham e stato riportato nel
Guinness dei primati
del
1980
.
[2]
Il problema matematico che ha portato alla definizione del numero di Graham e un particolare caso della
teoria di Ramsey
, soprannominato "problema di Graham":
- Si consideri un
ipercubo
di
dimensioni. Si uniscano tutti i vertici, ottenendo un
grafo
completo con
vertici. Si colorino quindi tutti gli spigoli con i colori rosso o blu, a piacere. Qual e il valore piu basso di
per cui ogni possibile colorazione deve necessariamente contenere almeno un sottografo monocromo completo con
vertici giacenti su un piano?
[3]
La soluzione del problema non e conosciuta; il numero di Graham e un limite massimo dell'intervallo di
in cui si possono trovare le soluzioni del problema, come dimostrato da Graham e da
Bruce Lee Rothschild
nel 1971
[3]
.
Nel 2008
Jerome Barclay
dimostro che il limite inferiore dell'intervallo di
in cui potrebbe esistere la soluzione e
, mentre, allora, i teorici dei grafi erano gia riusciti ad abbassare il limite superiore ad un valore inferiore al numero di Graham
[3]
[4]
.
Il numero di Graham puo essere rappresentato e calcolato tramite la
notazione a frecce di Knuth
. In questa
notazione
, una singola freccia verso l'alto rappresenta un
elevamento a potenza
, la doppia freccia verso l'alto (
) rappresenta una
tetrazione
, ossia una potenza
ricorsiva
, le tre frecce (
) rappresentano una tetrazione ricorsiva, e ogni successiva freccia incrementa la profondita di iterazione, con un aumento numerico estremamente elevato per ogni freccia aggiunta. In termini numerici:
e cosi via.
In questa notazione, il numero di Graham ha valore:
Nell'
espressione
riportata sopra, il numero di frecce di ogni livello successivo al primo e definito dal numero espresso nel livello inferiore. Arrivando al 64º livello e calcolandolo, si sara ottenuto il numero di Graham. In altre parole, scrivendo
per indicare un
seguito da
frecce (con il senso che si e visto sopra), allora il numero di Graham puo essere definito come:
Per rendersi conto dell'inconcepibile grandezza del numero di Graham, si possono seguire i passi necessari a sviluppare il primo livello
Si parte calcolando
tetratto
:
Il successivo passo e calcolare la tetrazione ricorsiva di
per se stesso, ossia:
Si tratta quindi di calcolare una torre di elevazioni alta 7625597484987 livelli. Gia l'enorme numero risultante da questo relativamente semplice conto e impossibile da scrivere per intero in questo universo. Per arrivare a calcolare il primo livello
, tuttavia, e necessario un altro passo di iterazione:
In termini di potenze, questo equivale a scrivere:
Dove l'altezza di ogni torre, e quindi il numero di elevazioni al cubo, si calcola dal numero espresso dalla torre alla sua destra, con un numero di torri pari al numero enorme calcolato nel passo precedente, cioe talmente tante da non essere possibile scriverne il numero per mancanza di spazio nell'universo conosciuto.
Come e intuitivo comprendere, l'aggiunta di ogni singola freccia comporta un enorme aumento sia delle operazioni da effettuare sia della dimensione del risultato finale. Il numero
cosi calcolato, gia di dimensioni difficili da comprendere in termini non matematici, rappresenta pero una parte praticamente infinitesima del solo livello
, in quanto rappresenta il numero di "frecce" presenti nel calcolo di tale numero, che e a sua volta il numero di "frecce" presenti nel calcolo del terzo livello
, e cosi via fino a
.
[5]
E idealmente semplice pervenire alle ultime
cifre del numero di Graham. Sfruttando la
convergenza p-adica
che caratterizza gli
iperoperatori
(dalla
tetrazione
in poi), e sufficiente calcolare le successive tetrazioni del
in modulo
(o sostituire a
un qualsiasi intero compreso tra
e
stesso). Le tetrazioni da eseguire, per ottenere tutte le "cifre stabili" (quelle che restano immutate tra la tetrazione di altezza
e quelle di altezza
) del numero di Graham, sono esattamente
[6]
e tale numero (gigantesco) e ben maggiore di
, ma molto minore di
.
Ad esempio, calcolando (almeno) la tetrazione di base
e di altezza
(computando
), si ottiene:
...02425950695064738395657479136519351798334535362521
43003540126026771622672160419810652263169355188780
38814483140652526168785095552646051071172000997092
91249544378887496062882911725063001303622934916080
25459461494578871427832350829242102091825896753560
43086993801689249889268099510169055919951195027887
17830837018340236474548882222161573228010132974509
27344594504343300901096928025352751833289884461508
94042482650181938515625357963996189939679054966380
03222348723967018485186439059104575627262464195387
che sono le ultime
cifre di
- ^
Mauro Fiorentini,
Graham (numero di)
, su
bitman.name
.
URL consultato il 21 maggio 2014
.
- ^
Guinness Book of World Records 1980
,
Guinness World Records
, 1979, p. 193.
- ^
a
b
c
Michael Albanese,
Graham's Problem (and Number)
(
PDF
), su
maths.adelaide.edu.au
.
URL consultato il 21 maggio 2014
(archiviato dall'
url originale
il 26 maggio 2013)
.
- ^
Jerome Barclay,
Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem
, su
arxiv.org
, 6 novembre 2008.
URL consultato il 21 maggio 2014
.
- ^
Susan Stepney,
Graham's number
, su
www-users.cs.york.ac.uk
.
URL consultato il 21 maggio 2014
.
- ^
Ripa, Marco (2011).
La strana coda della serie n^n^…^n
, Trento, UNI Service.
Archiviato
il 31 gennaio 2018 in
Internet Archive
.
ISBN 978-88-6178-789-6