In
matematica
, un
numero
e un modo di esprimere una quantita, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo.
[1]
Il concetto di numero nasce per la necessita del conteggio, come astrazione del
concetto
di quantita, realizzato attraverso una
corrispondenza biunivoca
tra elementi di due
insiemi
distinti.
Si definisce
operazione numerica
una procedura che, a partire da uno o piu numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'
addizione
, la
sottrazione
, la
moltiplicazione
e la
divisione
. Lo studio delle proprieta di queste operazioni e parte dell'
aritmetica elementare
.
Un insieme di numeri e frequentemente espresso attraverso il concetto di
campo
.
Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, cosi come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, e detto
numero naturale
. La necessita di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i
numeri razionali
ed i
numeri reali
. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i
numeri algebrici
.
Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi
insiemi numerici
. Tra questi i
numeri naturali
, che sono:
I numeri naturali (il cui insieme e indicato per convenzione con il simbolo
) sono usati per
contare
e per
ordinare
. La presenza dello
zero
fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero e previsto dagli
assiomi di Peano
.
L'insieme dei numeri naturali costituisce una
successione ordinata
. Ogni numero e descritto tramite una o piu
cifre
.
Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra
numeri positivi
e
numeri negativi
, si ottengono i
numeri interi relativi
(o semplicemente
interi
), il cui insieme e indicato per convenzione con il simbolo
. I numeri interi relativi sono:
Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i
numeri razionali
, i quali sono quindi esprimibili tramite una
frazione
(
ratio
in
latino
, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:
L'insieme di tutti i numeri razionali e per convenzione indicato col simbolo
.
I
numeri algebrici
sono numeri ottenibili come
radici
di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non e in generale vero; ad esempio:
sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.
Un numero non algebrico e detto
trascendente
. Ad esempio,
(
pi greco
) ed
(
numero di Nepero
) sono trascendenti: non e possibile ottenere
come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
L'insieme dei
numeri reali
comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il
sistema numerico decimale
. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.
L'insieme dei numeri reali e simboleggiato per convenzione con
.
L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle
equazioni algebriche
. Per esempio, l'equazione:
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perche il quadrato di un numero reale e sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, e stata introdotta l'
unita immaginaria
Essa e cosi definita:
Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei
numeri complessi
. In generale, un numero complesso e un'espressione del tipo:
dove
e l'unita immaginaria e
sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi e indicato per convenzione con il simbolo
.
Gli insiemi numerici sono ciascuno
sottoinsieme
dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo
indica l'
inclusione
stretta):
Per particolari scopi,
, puo essere ulteriormente esteso, al prezzo, pero, di perdere alcune proprieta e, di conseguenza, subire un declassamento come
struttura algebrica
.
I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai
quaternioni
. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della
proprieta commutativa
.
Gli
ottonioni
estendono i quaternioni. Questa volta si perde la
proprieta associativa
. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.
Estendendo gli ottonioni si ottengono i
sedenioni
, che perdono la proprieta dell'
algebra alternativa
, ma mantengono comunque la
proprieta associativa della potenza
.
Estendendo i sedenioni si ottengono i
trigintiduoni
, che perdono la
proprieta associativa della potenza
.
[2]
[3]
I numeri vanno distinti per il tramite dei
nomi
, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre e definita dai
sistemi di numerazione
. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio e la
dozzinao
anche il
paio
o anche il
trio
.
Gli ultimi sviluppi della
teoria dei numeri
hanno condotto ai
numeri iperreali
e ai
numeri surreali
, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si puo anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, cio conduce ai
numeri p-adici
. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei
numeri ordinali
e nei
numeri cardinali
. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono
addizione
,
sottrazione
,
moltiplicazione
e
divisione
. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'
algebra
chiamata
algebra astratta
. Essa contiene i concetti di
gruppo
,
anello
e
campo
.
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri e assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli
antichi romani
erano espressi come I, II, III (
numeri romani
). I
cinesi
usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un
sistema posizionale
, simile al nostro attuale, con le
cifre
da
0
a
9
. I numeri, detti
tsu
o
heng
, cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ? era 1210. Gli tsu erano verticali, gli heng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le
bacchette da calcolo
, che i cinesi manovravano a velocita tali da stupire i primi
missionari
nestoriani.
Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo
antropomorfico
- la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il
cervello
umano. Gli
psicologi
hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficolta a distinguere piu di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se e piu grande ||||||||| o ||||||||||; piu semplice se sono scritti come IX e X.
Il sistema adottato in Europa e il
sistema di numerazione decimale
, detto anche
numerazione araba.
In realta proviene dall'
India
, e molto probabilmente deriva dai
numeri corsivi egiziani
, i
numeri copti
. La cifra 1 e molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.
- ^
numero
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Treccani.it ? Enciclopedie on line
, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
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- Numeri particolari
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