Leonid Vital'evi? Kantorovi?
(
IPA
:
[l????n?it v???tal??v??t? k?nt??rov??t?]
) (in
russo
: Леони?д Вита?льевич Канторо?вич;
San Pietroburgo
,
19 gennaio
1912
?
Mosca
,
7 aprile
1986
) e stato un
matematico
ed
economista
sovietico
, vincitore del
Premio Nobel per l'economia
nel
1975
, primo ed unico sovietico ad aver mai conseguito tale onorificenza.
Kantorovi? e celebre per le sue teorie e per lo sviluppo di tecniche riguardanti l'allocazione ottimale delle risorse. Lavoro per il governo
sovietico
, col compito di
ottimizzare
la produzione di
compensato
in un'industria. Nel
1939
pose le basi per lo studio della
programmazione lineare
, che sarebbe stato, in seguito, approfondito e affinato da
George Dantzig
.
[1]
Fu autore di molti libri, tra i quali
Metodi matematici per organizzare e pianificare la produzione
(
1939
),
Calcolo economico e utilizzazione delle risorse
(
1959
),
Soluzioni ottimali in economia
(
1972
).
Il premio Nobel del
1975
, che divise con
Tjalling Koopmans
, gli fu conferito con la seguente motivazione: "
per i contributi alla teoria dell'allocazione ottimale delle risorse
".
[1]
Leonid Vital'evi? Kantorovi? nacque a
San Pietroburgo
, al secolo capitale dell’
Impero russo
, il 19 gennaio del
1912
da una famiglia
ebraica
[2]
[3]
. Gli eventi della
Rivoluzione russa di febbraio
e ottobre del
1917
, videro la famiglia Kantorovi? trascorrere un anno in Bielorussia. Il padre di Leonid Vitalij (Haim), medico specialista in venereologia, mori nel 1922 lasciando Leonid alle cure della madre Paulina Zaks di professione dentista. All’epoca della morte del padre, Leonid aveva due fratelli, Nikolaj di undici anni piu grande che era un rinomato psichiatra e Georgij, mentre Lidia all’epoca ingegnere edile e Nade?da erano le sue due sorelle maggiori. Nel 1926 Leonid all’eta di quattordici anni si iscrisse alla facolta di Matematica e Meccanica dell’Universita di San Pietroburgo e nel 1930 all’eta di diciotto anni consegui la laurea in matematica. In universita frequento le lezioni e partecipo ai seminari di
Vladimir I. Smirnov
, Grigorii Fichtenholz, e Boris Delaunay. I suoi amici di universita furono Isidor P. Natanson,
Sergei L. Sobolev
, Solomon Mikhlin, Dmitry e Vera Faddeev.
Le attivita scientifiche di Leonid incominciarono al secondo anno di universita quando i contenuti delle materie di studio coprivano campi della matematica piu astratti. Nel 1930 la capitale della repubblica socialista sovietica ucraina di allora,
Charkiv
, ospito il Primo Congresso di Matematica dell’Unione ed in quell’occasione Leonid Kantorovi? porto i suoi contributi alla teoria descrittiva degli insiemi ed in particolare presento i suoi risultati alla risoluzione di alcuni problemi di
Nikolai N. Luzin
. Kantorovi? si impegno in attivita sia di ricerca che didattiche presso l’Istituto di Matematica e Meccanica di San Pietroburgo. Nel 1932 venne nominato assistente alla cattedra, nel 1934 divenne Professore Ordinario e nel 1935 consegui l’ambito dottorato in scienze (DSc). A quel periodo risalgono i contributi di Leonid Kantorovi? all’
analisi numerica
, si veda la pubblicazione dei lavori
A New Method of Approximate Conformal Mapping
e
The New Variational Method
. Le ricerche vennero completate nel 1936 in occasione della stesura del libro
Approximate Methods of Higher Analysis
che scrisse assieme a V.I. Krylov. Gli anni trenta costituivano un periodo di intenso sviluppo per l’
analisi funzionale
; gli sforzi di Leonid si concentrarono lungo una nuova direttrice di ricerca costituita dallo studio sistematico di spazi funzionali dotati di ordinamento parziale. La teoria degli spazi parzialmente ordinati si rivelo essere particolarmente fruttuosa e quasi contemporaneamente veniva sviluppata negli U.S.A, in
Giappone
ed in Olanda. Sull’argomento Leonid Kantorovi? entro in contatto con
J. von Neumann
, G. Birkho, A.W. Tucker, M. Frechet in occasione della Prima Conferenza Internazionale di
Topologia
tenutasi a Mosca il 4 e 5 settembre 1935.
Nel 1938 Leonid si uni in matrimonio con Natalia di professione fisico; dalla loro unione nasceranno un figlio ed una figlia che diverranno in seguito economisti. Durante la guerra Kantorovi? lavoro come Professore alla Scuola Militare di Ingegneria e Tecnica Navale della citta ed al termine del periodo bellico guido il Dipartimento di Metodi di Approssimazione della facolta di matematica dell’Accademia delle Scienze sovietica dove si occupo di problemi computazionali, programmazione informatica e realizzazione di elaboratori di calcolo. Nel 1948 il
Consiglio dei ministri dell'URSS
emise la
Direttiva No. 1990-774ss/op
top secret che ordinava di organizzare in due settimane un gruppo di calcolo costituito sino a 15 impiegati della facolta di matematica presso il distaccamento di San Pietroburgo dell’Accademia delle Scienze sovietica. Il gruppo avrebbe fatto capo al Professore Kantorovi? ed avrebbe lavorato al
programma atomico sovietico
: il nome in codice del progetto era “Enorme” dal russo “огромный”.
Nel 1949 gli venne conferito il
Premio di Stato dell’Unione Sovietica
nel campo delle scienze e della tecnologia per il lavoro
Functional Analysis and Applied Mathematics
. Nel 1959 apparve, con sedici anni di ritardo, il testo
The Best Use of Economic Resources
contenente un’estesa trattazione del suo approccio ottimizzatorio a diversi problemi economici. La pubblicazione fu seguita dalla ristampa di
Mathematical methods of Organizing and Planning Production
del 1939.
Sul finire degli anni 1950 fu permesso a Kantorovi? di istituire il primo seminario sui metodi matematici in economia. Il seminario dal titolo
Calcolo Economico
aveva frequenza annuale.
Nell’aprile del 1960 il seminario annuale si sposto in Siberia nella sede secondaria dell’Accademia delle Scienze sita in
Novosibirsk
. Kantorovi? poiche non era membro del partito comunista non aveva diritto alla carica di direttore del Centro, assunse pertanto l’incarico di vice direttore. Kantorovi? convinse i suoi studenti e colleghi di San Pietroburgo a seguirlo riuscendo a creare un gruppo attivo e ricco di talenti tra cui Abel Aganbegyan. Il seminario si sviluppo in un centro di ricerca piu grande dedito allo studio dei problemi di pianificazione ottimale. Il Centro avvio anche la pubblicazione di un proprio periodico. In occasione dell’inaugurazione del Centro, Kantorovi? presento alcuni dei suoi libri di recente pubblicazione e critico alquanto duramente l’avversione dei professionisti dell’economia sovietica all’ottimizzazione e alle tecniche matematiche. Dall’altro lato non manco di contrastare i tentativi della critica e dei detrattori che fraintendevano il meccanismo di formazione dei prezzi nella pianificazione ottimale con una forma sottilmente mascherata di economia di mercato, i.e. capitalista. Kantorovi? ribadi che questi metodi matematici rimanevano comunque pienamente conformi e coerenti con l’ortodossia marxista e la relativa teoria del lavoro. Si puo ritenere che Kantorovi? abbia in un certo senso dimostrato che i
prezzi ombra
corrispondono al valore-lavoro marxista. Kantorovi? concluse dicendo che gli economisti ed i matematici sovietici ritenevano che l’applicazione dei metodi matematici fossero un concreto strumento per mettere in atto i principi economici del marxsismo-leninismo, principi considerati essenziali per l’ampia e complessa realizzazione del socialismo. Nel 1964 Kantorovi? venne eletto
Accademico delle Scienze dell’Unione Sovietica
, l’anno seguente fu onorato con il
Premio Lenin
per aver ideato il metodo della programmazione lineare ed elaborato diversi modelli economici. Il premio venne condiviso con V.S. Nem?inov e V.V. Novo?hilov. Nel 1967 il Governo dell’Unione Sovietica gli conferi l’
Ordine di Lenin
.
Nel 1971 Kantorovi? accetto l’incarico di guidare il dipartimento di ricerca all’Istituto Nazionale del Controllo Economico, un’istituzione elitaria per la formazione della futura classe dirigente.
Nel 1975 gli fu conferito, in condivisione con Tjalling Koopmans, il
premio per l'economia in memoria di Alfred Nobel
.
Kantorovi? fu l’unico economista a ricevere due premi diametralmente ed ideologicamente opposti: il premio Stalin ed il premio Nobel.
Kantorovi? mori di
cancro
il 7 aprile 1986 e fu sepolto al
cimitero di Novodevi?'e
di Mosca.
Gli anni 30 furono importanti per Leonid anche grazie ad un evento fortuito che lo fece entrare in contatto con l’Economia. Nel 1938 in qualita di professore universitario svolse attivita di consulenza presso il laboratorio della cooperativa di compensati
Plywood Trust
. Il problema che gli fu sottoposto e che passera alla storia dell’economia matematica con il nome di
the Plywood Trust Problem
, costituiva un caso davvero speciale di ricerca dei punti di estremo di una funzione lineare definita su un politopo convesso. Economicamente Leonid si trovo davanti al problema di distribuire cinque tipi di legno grezzo ad otto macchine sfogliatrici in modo da massimizzare la produzione complessiva di
compensati
. Ogni tornio, per ciascuno dei cinque tipi di legno, era caratterizzato da una nota capacita esfoliatrice. Il vincolo cui era soggetta la cooperativa era costituito dal fatto che le quantita da produrre di ciascuno tipo di legno doveva essere in una proporzione fissata; nello specifico veniva richiesto di produrre tanti compensati del tipo 1 quanti quelli del tipo 2, del tipo 3, del tipo 4 e del tipo 5. Un tale vincolo esprimeva la tipica filosofia alla base della pianificazione economica sovietica. Leonid Kantorovi? fu riconosciuto essere il primo a fornire una formulazione matematica precisa ad un problema di
schedulazione della produzione
. Tuttavia la ricerca della soluzione non poteva ricorrere al ben noto metodo di confrontare i valori che la funzione assumeva in corrispondenza dei vertici del poliedro poiche cio avrebbe richiesto di risolvere milioni di equazioni. Kantorovi? ideo un metodo innovativo che battezzo con il termine “
dei moltiplicatori risolventi
” e che traeva spunto dal teorema dei
moltiplicatori di Lagrange
.
Il metodo da lui escogitato era cosi articolato: per prima cosa esprimeva la
funzione obiettivo
come combinazione lineare dei gradienti delle equazioni che definivano i vincoli (ossia la
varieta
per dirla nei termini della geometria differenziale), assegnato poi arbitrariamente un valore iniziale ai moltiplicatori di Lagrange (alias moltiplicatori risolventi), questo veniva raffinato via via attraverso approssimazioni numeriche successive considerando la massima pendenza nella variazione dei moltiplicatori che generava un incremento nel quantitativo di compensati prodotti. La sua mente creativa non si fermo qui, si spinse oltre e fu capace di immaginare piani di produzione ottimali non solo applicabili ad uno stabilimento, ma validi anche per un’industria come per una nazione intera. Leonid Kantorovi? fu capace di riconoscere la struttura matematica che si celava dietro ad un’ampia classe di problemi di ottimizzazione economica. La ricerca degli estremi vincolati veniva a costituire l’essenza dell’economica pianificata e l’elaborazione di un piano economico a livello nazionale era riconducibile ad un grandioso problema di programmazione lineare. Kantorovi? riferendosi al terzo
Piano quinquennale
dell’Unione Sovietica (1938-1942) affermo: “
Esistono due modi per incrementare l’efficienza produttiva di un reparto, di un’impresa o di un intero settore industriale. Un modo si basa sugli miglioramenti apportati nella tecnologia… l’altro si basa sul perfezionamento dell’organizzazione della pianificazione e della produzione
”. La presentazione dei suoi risultati avvenuta il 13 maggio del 1939 all’Universita di San Pietroburgo venne accolta con entusiasmo, la pubblicazione del libro, sebbene in numero limitato, avvenne a tempo di record (27 luglio 1939).
La diffusione delle sue idee tuttavia si fermo per almeno vent’anni. Le sue teorie vennero additate come non conformi alla teoria del valore-lavoro marxista ed i moltiplicatori risolventi venivano visti come lo spettro dei prezzi di un’
economia di mercato
piuttosto che una misura della scarsita delle risorse. Kantorovi? fu accusato di eresia introducendo idee borghesi e concetti tipici della teoria della
produttivita marginale
. Il
marginalismo
di Kantorovi?, sebbene non esplicito nei suoi lavori, risiedeva nel ricorrere ai moltiplicatori di Lagrange per determinare il tasso di sostituzione di una risorsa scarsa. Il tasso di sostituzione della risorsa scarsa corrisponde al moltiplicatore e coincide con il suo costo opportunita (il cosiddetto "prezzo ombra"). Il suo metodo matematico in mano ai pianificatori infastidiva la burocrazia che gestiva gli affari economici dell’U.R.S.S. Le alte gerarchie, solite stabilire per cosi dire a comando l’allocazione delle risorse, avrebbero assistito ad una decentralizzazione della loro autorita dovuto al diretto coinvolgimento dei pianificatori in sede di redazione del piano. Lo scontro tra il matematico e la burocrazia sovietica fu inevitabile quando nel 1940 Kantorovi? scrisse una lettera al
Gosplan
contenente le sue raccomandazioni su come poteva applicarsi la programmazione lineare alla pianificazione dell’economia sovietica. Per molti anni Kantorovi? rimase completamente isolato nelle sue ricerche sulla pianificazione ottimale, mentre i suoi lavori confinati in U.R.S.S. da barriere ideologiche e linguistiche, dalla II Guerra Mondiale prima e dalla
Guerra Fredda
poi, vennero resi noti al “blocco occidentale” solo a meta degli anni 1950 a seguito del disgelo di Khru??ev.
Il lavoro
Mathematical methods of Organizing and Planning Production
del 1939 fu pubblicato in inglese solo nel 1960. La prima formulazione del metodo di risoluzione dei problemi di programmazione lineare era incompleta dal momento che mancava una definizione esplicita della natura dello spazio duale. Un algoritmo rigoroso e completo venne fornito da Kantorovi? in un lavoro ultimato ai primi del 1940 con M.K. Gavurin, ma che fu pubblicato nel 1949
Primenenie matematicheskikh metodov v voprosakh analiza gruzopotokov
che in italiano suonerebbe come
Applicazione dei metodi matematici in materia di analisi del traffico merci
.
Secondo la teoria del valore-lavoro di
Marx
, il valore di una merce e dato dalla quantita di lavoro in esso incorporato, misurabile con la durata del tempo richiesto per realizzarlo. Un bene presenta pertanto tanto piu valore quanto piu e grande la quantita di lavoro umano in esso incorporato. Secondo Marx alla classe lavoratrice e impedito l’accesso ai mezzi di produzione e per non morire di fame, il proletariato diviene costretto a vendere il suo lavoro alle condizioni stabilite dalla controparte. La controparte capitalista si troverebbe nella condizione storica di poter sfruttare la classe subordinata producendo e vendendo prodotti ad un prezzo in cui e incorporato del lavoro che i capitalisti non avrebbero remunerato (
il plusvalore
). L’economia comunista si caratterizza per il divieto della proprieta privata dei mezzi di produzione, mezzi che sono invece di proprieta collettiva, statale o cooperativa. Inoltre l'allocazione delle risorse non e lasciata al mercato in cui la competizione tra le imprese individuali stabilirebbe i prezzi delle risorse, bensi si basa sulla pianificazione delle quantita da produrre. Il prezzo dei beni e/o servizi realizzati viene fissato dall’autorita statale centrale. L’autorita centrale agendo in regime di monopolio fa si che i prezzi non siano piu parametri liberi del sistema economico. Il problema di massimizzare i quantitativi prodotti o minimizzare l’utilizzo delle risorse fu affrontato da Kantorovi? assegnando valori numerici a questi fattori siano essi rappresentati da capitale, da impianti che da ore uomo. Il valore numerico assegnato alle risorse scarse sono i moltiplicatori di Lagrange che rappresentano il rapporto tra la variazione della funzione obiettivo nel punto di ottimo e la variazione della risorsa scarsa espressa tramite un’equazione vincolare. Espandere il vincolo di un’unita risulterebbe economicamente percorribile se la funzione obiettivo aumenta piu del costo aggiuntivo da sostenere. Lo sfruttamento economico della risorsa richiede dunque un prezzo unitario della risorsa minore del moltiplicatore di Lagrange. Il motivo per cui il moltiplicatore di Lagrange viene anche appellato come "
prezzo ombra
" della risorsa risiede proprio nel fatto che tale grandezza rappresenta il prezzo massimo che si e disposti a pagare per accaparrarsi un’unita aggiuntiva della risorsa. Il
plusvalore
concettualizzato da Marx si celerebbe nella differenza tra il costo unitario della risorsa tempo-uomo ed il suo prezzo ombra. Considerando il lavoro come un qualsiasi altro bene destinatario di un prezzo, un’autorita centrale che fissasse i prezzi sulla base del loro costo marginale, ossia che eguagliasse il prezzo di vendita al suo costo marginale fornirebbe una soluzione al
problema della trasformazione dei valori nei prezzi di produzione
, problema tutt’oggi controverso e noto come "dibattito sul calcolo socialista".
Nel 1939 Kantorovi? tra i vari problemi di programmazione lineare scorse ed isolo il problema del trasporto ottimale. Insieme al suo discepolo M.K. Gavurin intraprese la descrizione di uno speciale metodo matematico per risolvere il "Problema del Trasporto di Monge":
il metodo del potenziale
. La pubblicazione del loro lavoro, sebbene indirizzato al pubblico specialistico costituito da ingegneri dei trasporti e da pianificatori, venne rigettata da diverse riviste del settore, sicche si dovette attendere il 1942 per vederne la divulgazione. Il brevissimo articolo di appena quattro pagine
On the Translocation of Masses
era edito da Doklady, ma non passo inosservato. Il lavoro attiro l’attenzione di diversi economisti e matematici statunitensi che incominciarono a ricercare le pubblicazioni di L.V. Kantorovi?: tra questi c’era
Tjalling C. Koopmans
il quale aveva lavorato in segreto al problema del trasporto durante il periodo bellico. Sul finire degli anni 1950 i principali lavori di Kantorovi? divennero noti al blocco occidentale, in particolare fu proprio per iniziativa di T.C. Koopmans che
Mathematical methods of Organizing and Planning Production
venne pubblicato nel 1960 sulla rivista Management Science preceduto nel 1958 da
On the Translocation of Masses
.
Kantorovi? in chiusura del breve articolo indica un paio di problemi pratici alla cui soluzione puo applicarsi il teorema ivi dedotto. Il primo problema di tipo discreto riguarda la localizzazione di un certo numero finito di stazioni. Dati m stabilimenti di produzione
,…,
collegati tramite una rete di trasporto ferroviaria ad n mercati
,…,
destinati a consumare i beni prodotti dagli m stabilimenti; indicato con
,…,
la quantita di beni disponibile presso ogni stabilimento e con
,…,
la quantita di beni richiesta da ogni mercato; espresso le rispettive unita di misura in termini di vagoni al giorno prodotti e consumati; introdotto il costo
sostenuto per muovere una vagone dallo stabilimento i-esimo al mercato k-esimo; si vogliono servire i mercati in modo che vengano approvvigionati con i quantitativi richiesti al minor costo totale di trasporto ed in modo che la quantita complessiva di beni prodotti giornalmente eguagli il consumo giornaliero totale
vincolo di bilancio tra domanda ed offerta
:
.
La formulazione di Kantorovi? data al problema in “
On the translocation of masses
” non era limitata ai problemi discreti, bensi abbracciava sia i problemi continui che quelli caratterizzati dalla dimensione infinita dello spazio funzionale ove cercare la soluzione. Il secondo problema, livellamento di una data area di terra, rappresenta infatti un problema di tipo continuo in cui si vogliono spostare le masse di terra al minor costo possibile in modo che dal rilievo della superficie di terra di partenza, descritta da una funzione
, si giunga al profilo della superficie, descritto da una seconda funzione
.
Kantorovi? introduce uno spazio metrico compatto
metrizzato con una metrica generica
adatta a rappresentare il costo per trasferire una massa di peso unitario dalla posizione di coordinate
alla posizione di coordinate
.
Indicato con
la σ-algebra di Borel di
, una funzione di insieme definita sugli insiemi di Borel, ossia sugli elementi di
,
secondo Kantorovi? si presta a caratterizzare la
distribuzione iniziale
delle masse da muovere.
Kantorovi? richiede inoltre che
sia additiva ossia che sia possibile suddividere le masse in gergo
splitting
: infatti se un boreliano
di
e dato da
con
per
allora e possibile “distribuire” le masse nel modo seguente
.
Una seconda
funzione di insieme
con le medesime proprieta di
si presta a caratterizzare la
distribuzione finale
delle masse.
Kantorovi? esprime l'
equazione di bilancio delle masse
prima e dopo lo spostamento come
, fatto che equivale alla richiesta che
.
Kantorovi? introduce come incognita del problema una famiglia di funzioni additive
tali che
e per le quali valga
e
. Il ruolo della mappa
e quello di rappresentare il
trasferimento delle masse
, la famiglia di funzioni
costituisce invece la totalita dei trasferimenti. Poiche si e interessati a minimizzare il costo di trasporto, Kantorovi? definisce il lavoro speso associato ad un generico piano di trasporto
come il funzionale seguente
Il problema del trasporto secondo Kantorovi? consiste nel ricercare
tale che
.
Dal punto di vista matematico il problema consiste nel cercare se l’insieme delle funzioni di trasporto sia vuoto o meno e nel caso ammetta soluzione ci si domanda se la soluzione sia unica o meno.
Le funzioni
che realizzano il minimo sono dette
trasporti minimali
; Kantorovi? poi caratterizza un trasporto
come
potenziale
se esiste una funzione
tale che:
- i)
- ii)
per
In ultimo dimostra il teorema secondo cui
il trasporto F e minimale se e soltanto se e potenziale
.
Riguardo all’esistenza o meno di soluzioni Kantorovi? nell’articolo si esprime affermando che per decidere se un trasporto e minimale non si deve far altro che “costruire” un trasporto potenziale e se questo esercizio dovesse risultare impossibile allora si sarebbe certi che il trasporto in oggetto non puo essere minimale. Il teorema fornisce inoltre un metodo “pratico” su come ridurre il costo del trasporto ed eventualmente consente al risolutore di dirigersi verso il trasporto minimale. Ancora oggi nel campo della
programmazione matematica
e prassi risolvere il problema duale soprattutto quando la sua risoluzione e piu facile e rapida del problema primale. All’ottimo vale l’uguaglianza dei valori delle funzioni obiettivo nei due problemi primale e duale, sicche risulta possibile valutare la
qualita
di un punto ammissibile nel problema primale senza dover risolvere esattamente quest’ultimo. Per esaminare infatti la bonta di un punto ammissibile in esame
e sufficiente confrontare il valore
con
quest'ultimo ricordiamo essere pari al valore all'ottimo della funzione obiettivo del duale. In un problema di costo minimo se dovesse risultare che
allora ci si potrebbe accontentare di approssimare
con
confidenti del fatto che il costo aggiuntivo da sostenere per aver scelto il trasporto sub-ottimale
e certamente non superiore ad
.
Funzione obiettivo in
incognite
soggetta ai seguenti vincoli:
Le variabili del problema sono indicate con
ed ognuna rappresenta la quantita di beni da trasportare dal generico nodo di origine i al generico nodo di destinazione j. Il numero delle incognite sono pari a
osservato che
sono a priori tutti i possibili archi per congiungere i nodi di origine con i nodi di destinazione in esame.
Premesso che la quantita di beni da muovere da un nodo ad un altro non puo che essere positiva
e che risulta
quando l'arco
non viene attivato ossia non viene trasportata alcuna massa tra il nodo di origine
ed il nodo di destinazione
, la sommatoria estesa a tutti gli
nodi di destinazione
rappresenta la somma di tutti gli archi uscenti dal nodo origine
e che, trasportando una massa
, hanno come destinazione gli
nodi. Ognuna delle
disequazioni
impone che la quantita di massa (beni) inviata dallo stabilimento i-esimo non ecceda la quantita ivi disponibile
.
La sommatoria
rappresenta la somma di tutti gli archi che hanno origine negli
nodi, che movimentano massa
e che sono entranti nel nodo
.
Ognuna delle
disequazioni
impone che la quantita di beni entranti nel mercato j-esimo sia non inferiore alla domanda di beni dello specifico mercato
.
Il coefficiente
rappresenta il costo di trasporto per muovere un’unita di bene o un'unita di massa dal nodo origine
al nodo destinazione
.
In merito al
bilancio delle masse
, si osservi che la regione ammissibile per come e stata definita ammette implicitamente che si possa avere un eccesso di offerta rispetto alla domanda, per rendersene conto e sufficiente sommare tutti gli
vincoli lato offerta per ottenere la diseguaglianza seguente
il cui confronto con la somma di tutti gli
vincoli lato domanda
porta a concludere che
Nel seguito si introduce la formulazione duale del problema del trasporto ottimale facendo ricorso all’approccio lagrangiano che consiste nello scrivere la funzione lagrangiana
del problema primario di ottimizzazione e nel connetterla al
teorema minimax
di
John von Neumann
(1928). Tale teorema evidenzia che il valore all’ottimo della funzione lagrangiana del problema primario (
) coincide con il valore all’ottimo della funzione lagrangiana del problema duale (
), ossia vale
- ≡
Introdotti i
moltiplicatori di Lagrange
rappresentati da due vettori
la
funzione Lagrangiana
del problema del trasporto ottimale e la seguente
dopo semplici passaggi algebrici si ottiene
Il problema duale associato alla Lagrangiana e per definizione
Al fine di ottenere una descrizione esplicita del problema duale si minimizza
rispetto ad
tenendo fissi
e
e si ottiene cosi
pertanto risulta
in conclusione si ottiene il seguente problema di massimizzazione vincolato
Il
problema duale del trasporto ottimale
e il seguente problema di programmazione lineare avente funzione obiettivo in
incognite
soggetta ai seguenti vincoli:
Le variabili
e
sono chiamate da Kantorovi?
potenziali
dei vari punti
[4]
. La differenza dei potenziali esprime quanto “valga” in piu il posizionamento di un punto rispetto agli altri: il termine potenziale caratterizza i punti proprio in riferimento alla loro reciproca posizione.
Osservando la funzione lagrangiana
si puo intuire che ogniqualvolta si verifica uno spostamento ottimale da
a
, ossia la tratta
nel primale e minimale,
, nel duale risulta necessariamente
.
Kantorovi? scrisse piu di 300 lavori che come da lui stesso suggerito possono essere ricondotti a nove aree tematiche:
- teoria descrittiva delle funzioni e teoria degli insiemi
- teoria dell’approssimazione delle funzioni
- metodi di approssimazione
- analisi funzionale
- analisi funzionale e matematica applicata
- programmazione lineare
- hardware e software
- pianificazione ottimale e prezzi ottimali
- problemi economici di un’economia pianificata
- ^
a
b
(
EN
)
L'autobiografia di Kantorovich, dal sito nobelprize.org
, su
nobelprize.org
.
URL consultato il 27 novembre 2007
.
- ^
The Soviet Union: empire, nation, and system
, By Aron Kat?s?enelinbo?gen, page 406, Transaction Publishers, 1990
- ^
Saul I. Gass e J. Rosenhead,
Leonid Vital’evich Kantorovich
, in
Profiles in Operations Research
, International Series in Operations Research & Management Science, vol. 147, 2011, p. 157,
DOI
:
10.1007/978-1-4419-6281-2_10
,
ISBN
978-1-4419-6280-5
.
- ^
L.V. Kantorovich,
The Best Use of Economic Resources
, Glasgow, Pergamon Press, 1965, pp. 281-283.
- Opere di Kantorovi?
- Mathematical methods of Organizing and Planning Production (1939)
, in
Management Science
, vol. 6, n. 4, luglio 1960, pp. 366-422.
- On the Translocation of Masses (1942)
, in
Management Science
, vol. 5, n. 1, ottobre 1958, pp. 1-4.
- L'ulteriore sviluppo dei metodi matematici e loro prospettive di applicazione nella pianificazione e nell'economia, Roma, STEDO.
- Leonid Kantorovi? e Gleb P. Akilov,
Analisi funzionale
, Roma, Editori riuniti, 1980.
- Altri autori
- George B. Dantzig,
Linear Programming and Extension
, RAND Inc., 1963.
- Leon Smolinski,
L. V. Kantorovich Essays in Optimal Planning
, International Arts and Science Press., 1976.
- C. van de Panne e F. Rahnama,
The First Algorithm for Linear Programming: An Analysis of Kantorovich’s Method
, in
Economics of Planning
, vol. 19, n. 2, 1985.
- R. Gardner,
L. V. Kantorovich: The Price Implications of Optimal Planning
, in
Journal of Economic Literature
, vol. 28, giugno 1990, pp. 638-648.
- Aron J. Katsenelingboigen,
The Soviet Union: 1917-1991
, Transaction Publishers, 2009.
- Kantorovi?, Leonid Vitalevi?
, su
sapere.it
,
De Agostini
.
- (
EN
)
Leonid Vitalyevich Kantorovich
, su
Enciclopedia Britannica
, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (
EN
)
Leonid Vital'evi? Kantorovi?
, su
nobelprize.org
.
- (
EN
)
Leonid Vital'evi? Kantorovi?
, su
MacTutor
, University of St Andrews, Scotland.
- (
EN
)
Leonid Vital'evi? Kantorovi?
, su
Mathematics Genealogy Project
, North Dakota State University.
- (
EN
)
Opere di Leonid Vital'evi? Kantorovi?
, su
Open Library
,
Internet Archive
.
- (
RU
)
Biografia dall'Istituto Sobolev di matematica
, su
math.nsc.ru
.
URL consultato il 27 novembre 2007
.
- (
EN
)
Kantorovich, Linear Programming and Marx
(
PDF
), su
cia.gov
.
URL consultato il 5 aprile 2017
(archiviato dall'
url originale
il 6 aprile 2017)
.