L'immagine mostra un filamento vorticoso e la velocita da esso indotta in un punto arbitrario P.
Il termine
legge di Biot-Savart
, dal nome dei
fisici
francesi
Jean-Baptiste Biot
e
Felix Savart
, si puo riferire a due diverse
leggi
della
magnetostatica
che permettono di calcolare il
campo magnetico
generato da
correnti elettriche
. Quella piu generale, verificata empiricamente, e anche chiamata
prima formula di Laplace
, dal nome del
fisico
,
matematico
e
astronomo
francese
Pierre-Simon Laplace
; la seconda e invece la
legge di Biot e Savart per un filo rettilineo indefinito
, che puo essere considerato un semplice caso particolare della
legge di Laplace
. Queste leggi unificano il campo magnetico con fenomeni elettrici stazionari.
Evidenze sperimentali mostrano che in un circuito filiforme
attraversato dalla corrente
, considerata la suddivisione del circuito in tratti infinitesimi di lunghezza
e posizione
, ognuno di questi elementi fornisce un contributo infinitesimo:
![{\displaystyle \operatorname {d} \!\mathbf {B} ({\bf {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I\,\operatorname {d} \!\mathbf {l} '\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right|^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0237cd18db200921f4651ffa3796291695935493)
al vettore induzione magnetica
nel punto
. Il vettore
individua la posizione del punto
, dove si vuole calcolare il campo, rispetto al trattino
. La legge di Laplace si ottiene considerando l'integrale lungo tutto il circuito:
[1]
![{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\gamma }{\frac {I\,\operatorname {d} \!\mathbf {l} '\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right|^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7be85e02f50c0c08bbf5fca41f25fb10641316)
e puo essere riscritta come:
![{\displaystyle \mathbf {B} ({\bf {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\gamma }{\frac {I\,\operatorname {d} \!\mathbf {l} '\times \Delta {\bf {r}}}{|\Delta {\bf {r}}|^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5da087aab590c9acc0abfad64bd9bc93d9007e)
intendendo con
. Naturalmente, se nello spazio sono presenti piu circuiti, il campo totale sara la somma dei campi magnetici generati da ciascun circuito.
Si puo ancora estendere la legge di Biot-Savart a circuiti non filiformi ma di forma qualsiasi. Dato dunque un
conduttore
percorso da
corrente
e assegnato il vettore
densita di corrente
all'interno del conduttore, la formula di Laplace si riscrive:
[2]
![{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r^{\prime }} )\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right|^{3}}}\,d^{3}r^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979e7d60c666bdc9c6fb9ff55c383485f6d8785f)
o, in altra forma:
![{\displaystyle \mathbf {B} (x,\,y,\,z)={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int \limits _{V}^{}{{{\mathbf {J} (\xi ,\,\eta ,\,\zeta )\times \left(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta \right)} \over {\left[\left(x-\xi \right)^{2}\,+\,\left(y-\eta \right)^{2}\,+\,\left(z-\zeta \right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}\,\,d\xi \,d\eta \,d\zeta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c6c627cdab192c8ae1e2d841e0fca5923958cb)
dove l'integrale e esteso a tutto il volume a disposizione del conduttore o dei vari conduttori presenti nello spazio. Si puo integrare anche su tutto lo spazio, ma gli elementi di volume dove la densita di corrente e nulla non danno alcun contributo.
La legge di Biot-Savart fornisce un'espressione per il campo magnetico prodotto da un filo rettilineo indefinito, percorso da corrente stazionaria
, in un punto
dello spazio. Supponendo di essere nel vuoto, il modulo di
e inversamente proporzionale alla distanza dal filo
secondo l'espressione:
![{\displaystyle B(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {I}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a0a7e33ba19766548a7740fa822ca7b94d8ca9)
In forma vettoriale, sia
il
versore
nella direzione del filo ed
il versore nella direzione orientata da
a
. Allora il campo prodotto e:
[3]
![{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {{\hat {\mathbf {I} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{|\mathbf {r} |}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef77ca105581bcdc68a41dae3a87888923f85faf)
Nei materiali il campo magnetico e dato dalla stessa relazione, avendo cura di sostituire a
la
permeabilita magnetica
del materiale
dove
e una costante adimensionale che dipende dalle caratteristiche del materiale. Questa costante, chiamata permeabilita magnetica relativa del mezzo, puo essere sia positiva molto maggiore dell'unita (materiali
ferromagnetici
), sia leggermente superiore all'unita (materiali
paramagnetici
) o leggermente inferiore (materiali
diamagnetici
).
La legge di Biot e Savart nel caso del filo indefinito si ricava rapidamente dalla legge generale. Si consideri un
riferimento cartesiano
nel quale il filo sia orientato come l'asse
z
e sia percorso da una corrente
in direzione concorde con l'asse
z
. La prima legge di Laplace ha la forma:
![{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {l'} \times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fbafac0d5d9642847ce110394d713931861b1d)
Data la simmetria del problema, il campo non dipende dalla coordinata
z
ed il modulo dipende solo dalla distanza del punto
dal filo, denotata con
. Considerando il piano
e il modulo e direzione del campo in un punto distante
dall'origine sono:
![{\displaystyle B(R)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\left|{\mbox{d}}\mathbf {l'} \times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\right|}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\left|{\mbox{d}}l'\right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|\sin \theta }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\left|{\mbox{d}}l'\right|\sin \theta }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a757af0c8956df0d0be8574e981abacc0e8243bc)
dove
rappresenta l'angolo tra l'asse
z
e il vettore che unisce
a
. Cambiando la variabile da integrazione da
a
si ottiene:
![{\displaystyle \sin \theta =\cos \alpha \qquad r'=R\tan \alpha \qquad {\mbox{d}}r'={\mbox{d}}l={\frac {R}{\cos ^{2}\alpha }}{\mbox{d}}\alpha \qquad \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|={\frac {R}{\cos \alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5762dc0458b07f79d6c2aef1ad63f5be189a09)
e sostituendo:
![{\displaystyle B(R)={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}\cos \alpha {\mbox{d}}\alpha ={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4524cc090aad7188c1ce95ffc931ba595e6afb89)
Infine, tenendo conto che la direzione di ogni contributo infinitesimo e diretta lungo la circonferenza di raggio
percorsa in senso orario, il cui versore secante chiamiamo
(parallelo al
prodotto vettoriale
tra i vettori
e
), si puo scrivere in definitiva:
![{\displaystyle \mathbf {B} (R)={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}\mathbf {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618f7f103faf71cd8a05593b9d2b23f2c8f239b9)
- Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini,
Fisica II
, Napoli, Liguori Editore, 2010,
ISBN
978-88-207-1633-2
.