In matematica con il termine coppia o con il termine equivalente piu esplicito coppia ordinata si intende una collezione di due oggetti tra i quali si possa distinguere un primo componente (o membro) da un secondo componente, e si tratta del caso piu semplice del concetto piu generale di ennupla ordinata . La coppia che ha come primo componente un oggetto identificato da a e come secondo un oggetto identificato da b viene denotata con la scrittura ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ o anche con la ( a , b ).

La seconda notazione e usata piu comunemente, soprattutto per il fatto di potersi ottenere piu facilmente: tutte le tastiere rendono direttamente disponibili le parentesi tonde, mentre le parentesi angolate si possono visualizzare bene solo con un sistema come TeX . La scrittura ( a , b ), tuttavia potrebbe essere confusa con un intervallo aperto della retta reale o con l'indicazione dei due argomenti di una funzione di due variabili; se il contesto non consente di eliminare una tale ambiguita, e opportuno ricorrere alla prima notazione.

L' insieme di tutte le coppie ordinate il cui primo componente appartiene ad un insieme X e il cui secondo membro si trova in un insieme Y viene chiamato prodotto cartesiano di X e Y e viene scritto X × Y . Ogni sottoinsieme di X × Y viene chiamato relazione binaria fra X e Y .

Definizione [ modifica | modifica wikitesto ]

Una coppia ordinata si distingue da un insieme di due elementi per il fatto che ${\displaystyle (a,b)}$ e diverso da ${\displaystyle (b,a)}$. Di conseguenza due coppie ordinate ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ e ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ sono uguali se e solo se ${\displaystyle a_{1}}$ e uguale a ${\displaystyle a_{2}}$ e ${\displaystyle b_{1}}$ e uguale a ${\displaystyle b_{2}}$. Questa e la principale proprieta delle coppie ordinate, e pertanto qualunque definizione si dia di coppia ordinata, bisogna che a partire da essa sia possibile dimostrare il seguente teorema:

${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}}$

Attualmente come definizione standard di coppia si adotta quella proposta da Kuratowski :

${\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}}$

dalla quale la dimostrazione del suddetto teorema risulta immediata. Infatti usando tale definizione l'uguaglianza fra le coppie ordinate:

${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})}$

equivale alla seguente uguaglianza fra insiemi:

${\displaystyle \{\{a_{1}\},\{a_{1},b_{1}\}\}=\{\{a_{2}\},\{a_{2},b_{2}\}\}}$

Ora per l' assioma di estensionalita due insiemi sono uguali se e solo se contengono gli stessi elementi. Si possono distinguere due casi. Se ${\displaystyle a_{1}\neq b_{1}}$, e dunque l'insieme ${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\}}$ ha due elementi distinti, allora deve essere ${\displaystyle \{a_{1}\}=\{a_{2}\}}$, dunque ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ e quindi ${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$. Se invece ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$, allora si ha ${\displaystyle \{\{a_{1}\}\}=\{\{a_{1}\},\{a_{1},b_{1}\}\}=\{\{a_{2}\},\{a_{2},b_{2}\}\}}$, e dunque ${\displaystyle a_{1}=b_{1}=a_{2}=b_{2}}$

Bibliografia [ modifica | modifica wikitesto ]

• AZRIEL, L., "Basic Set Theory", Mineola N.Y., Dover, 2002 (1979), pp. 24-5. ISBN 9780486420790 [1]

• HOCHBERG, H., "The Wiener-Kuratowski Procedure and the Analysis of Order", "Analysis", 1981, 41, 161-63. [2]

• KURATOWSKI, C., "Sur la notion de l'ordre dans la Theorie des Ensembles", "Fundamenta Mathematicae", 1921, 2, 161-71. [3]

• POTTER, M., "Set Theory and its Philosophy", Oxford, OUP, 2004, pp. 63-5. ISBN 9780199270415

Voci correlate [ modifica | modifica wikitesto ]

• Coppia non ordinata
• Terna (matematica)
• Quaterna
• Ennupla

Collegamenti esterni [ modifica | modifica wikitesto ]

• ( EN ) ordered pair , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
• ( EN ) Eric W. Weisstein, Coppia , su MathWorld , Wolfram Research.

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