Una
circonferenza unitaria
, in
matematica
, e una
circonferenza
di
raggio
unitario, cioe una circonferenza il cui raggio e
. Frequentemente, specialmente in
trigonometria
, la circonferenza unitaria e centrata nell'origine
in un
sistema di coordinate cartesiane
nel piano euclideo.
La circonferenza unitaria e spesso indicata con
; la generalizzazione a piu dimensioni e la
sfera unitaria
.
Se
e un punto della circonferenza unitaria del primo quadrante, allora
e
sono le lunghezze dei lati di un
triangolo rettangolo
la cui ipotenusa ha lunghezza 1. Quindi, per il
teorema di Pitagora
,
e
soddisfano l'equazione
Poiche
per ogni
, e poiche la riflessione di ogni punto della circonferenza unitaria sull'asse
(o
) appartiene ancora alla circonferenza unitaria, l'equazione precedente vale per ogni punto
della circonferenza unitaria, non solo nel primo quadrante.
Si puo anche usare la nozione di "distanza" per definire altre "circonferenze unitarie".
Ovvero le si puo definire come il luogo dei punti che hanno distanza unitaria (modulo uguale a
) dall'origine. In
coordinate polari
l'equazione sara
Vedere la voce sugli
spazi normati
per alcuni esempi.
Il
cerchio
unitario e il luogo dei punti del piano aventi una distanza minore o uguale all'unita da un punto detto centro del cerchio. In altri termini il cerchio unitario comprende la circonferenza unitaria e la parte di piano racchiusa dalla circonferenza stessa. Esso e indicato dalle
disequazioni
:
- (in coordinate cartesiane)
- (in coordinate polari)
Funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria
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Le
funzioni trigonometriche
coseno e seno possono essere definite sulla circonferenza unitaria come segue. Se
e un punto della circonferenza unitaria, e se il raggio dall'origine
a
forma un
angolo
con l'asse
positivo (l'angolo misurato nel verso antiorario), allora
Per definizione delle funzioni seno e coseno, l'equazione
fornisce la relazione
che e vera per ogni
reale.
e definito come un angolo orientato, che cioe assume un segno positivo in un verso e negativo nell'altro, a seconda della convenzione oraria o antioraria adottata. Solitamente si adotta la convenzione antioraria, e si suppone che l'angolo sia positivo spostandosi dall'asse delle ascisse in senso antiorario. Una circonferenza con tale angolo orientato e detta circonferenza goniometrica.
La circonferenza trigonometrica e una circonferenza goniometrica di raggio unitario (ossia goniometrica e unitaria). Essa e detta trigonometrica perche per definire seno, coseno, e da essi tutte le altre funzioni trigonometriche, servono un angolo orientato e un raggio unitario. Gli altri elementi presenti nei disegni sono una costruzione di geometria euclidea.
La circonferenza unitaria fornisce un modo intuitivo per visualizzare il
seno
e il
coseno
come
funzioni periodiche
, con le identita
- per ogni
intero
.
Queste identita discendono dal fatto che le coordinate
e
di un punto sulla circonferenza unitaria rimangono le stesse incrementando o decrementando l'angolo
di un numero qualsiasi di giri (1 giro = 2π radianti).
Quando si lavora con triangoli rettangoli, seni, coseni, e altre funzioni trigonometriche ha senso parlare di misura di angoli maggiore di zero e minore di π/2. Tuttavia, usando la circonferenza unitaria, queste funzioni hanno un significato intuitivo per ogni misura di angolo
reale
.
In effetti, non solo seno e coseno, ma tutte le sei funzioni trigonometriche standard ? seno, coseno, tangente, cotangente, secante, e cosecante, come anche le funzioni arcaiche come
senoverso
ed
exsecante
? possono essere definite geometricamente in termini della circonferenza unitaria.
Prendendo in considerazione solo la parte della circonferenza descritta dall'equazione
che la rappresenta nel 1° e nel 2º secondo quadrante, l'area di questa si calcolera con un integrale
. Allo stesso modo prendendo in considerazione la parte
, che descrive la circonferenza nel 3° e nel 4° quadrante, l'integrale che ne definisce l'area sara
. Si puo dire pertanto che l'area della circonferenza unitaria ha come valore
, visto che si puo considerare come la somma dei due integrali
.
Si puo inoltre dimostrare la veridicita di questa formula attraverso l'utilizzo della formula per calcolare l'area
.
Sapendo che
otteniamo che
C.V.D.
Ogni
numero complesso
puo essere identificato con un punto del
piano euclideo
, chiamando il numero complesso
esso e identificato con il punto
. Con questa relazione la circonferenza unitaria e un
gruppo
sotto la moltiplicazione, chiamato anche
gruppo circolare
. Questo gruppo ha importanti applicazioni in matematica e nelle scienze.