In
matematica
, soprattutto in
analisi funzionale
, un'
algebra di Banach
, dal nome del matematico
Stefan Banach
, e un'
algebra associativa
A
sui
numeri reali
o sui
numeri complessi
che e anche uno
spazio di Banach
. L'algebra della moltiplicazione e lo spazio normato di Banach devono essere collegati dalla seguente diseguaglianza:
cioe la norma del prodotto e minore o uguale del prodotto delle norme. Questo assicura che l'operazione di moltiplicazione e una
funzione continua
.
Se si sostituisce lo
spazio di Banach
con uno
spazio normato
la struttura che si ottiene e detta
algebra normata
.
Un'algebra di Banach e detta "unitaria" o "con unita" se ha un
elemento identita
per l'operazione di moltiplicazione la cui norma e 1, e "commutativa" se la sua moltiplicazione e
commutativa
.
Le algebre di Banach possono essere definite anche su campi di
numeri p-adici
. Cio da origine all'
analisi p-adica
.
Una
*-algebra di Banach
e un'algebra di Banach sul
campo
dei
numeri complessi
sulla quale sia definita un'
applicazione
, detta
involuzione
.
- L'insieme dei numeri reali (o complessi) e un'algebra di Banach con la norma del
valore assoluto
.
- L'insieme di tutte le
matrici
reali o complesse
n
per
n
e un'algebra di Banach se si associa loro una norma.
- L'insieme di tutte le
matrici
reali o complesse
n
x
n
diventa un'algebra di Banach unitaria se lo dotiamo di una norma sub-moltiplicativa.
- Si ottiene un'algebra di Banach partendo dallo spazio di Banach
R
n
(o
C
n
) con norma ||
x
|| = max |
x
i
| e definendo la moltiplicazione componente per componente: (
x
1
,...,
x
n
)(
y
1
,...,
y
n
) = (
x
1
y
1
,...,
x
n
y
n
).
- I
quaternioni
formano un'algebra di Banach reale 4-dimensionale, con la norma data dal valore assoluto del quaternione.
- L'algebra di tutte le funzioni limitate (a valori reali o complessi) definite su un qualsiasi insieme (con la moltiplicazione puntuale e la norma dell'
estremo superiore
) e un'algebra di Banach unitaria.
- L'algebra di tutte le funzioni continue limitate a valori reali o complessi su uno
spazio localmente compatto
(con l'operazione di moltiplicazione definita puntualmente e la norma dell'estremo superiore) e un'algebra di Banach.
- Ogni
C*-algebra
e un'algebra di Banach.
- L'algebra di tutti gli
operatori lineari
continui su uno spazio di Banach E (con la composizione di funzioni come moltiplicazione e l'usuale norma degli operatori come norma) e un'algebra di Banach unitaria. L'insieme di tutti gli operatori compatti su E e un ideale chiuso in questa algebra.
- Gli operatori lineari continui su uno
spazio di Hilbert
formano una C*-algebra e quindi un'algebra di Banach.
- Se
G
e un
gruppo topologico
su uno
spazio di Hausdorff
localmente compatto
e μ la sua
misura di Haar
, allora lo spazio di Banach L
1
(
G
) di tutte le funzioni μ-integrabili su
G
diventa un'algebra di Banach rispetto alla
convoluzione
xy
(
g
) = ∫
x
(
h
)
y
(
h
?1
g
) dμ(
h
) per
x
,
y
in L
1
(
G
).
Molte
funzioni elementari
che sono definite attraverso
serie di potenze
possono essere definite in ogni algebra di Banach unitaria; esempi ne sono la
funzione esponenziale
e le
funzioni trigonometriche
. La formula per le
serie geometriche
e il
teorema binomiale
sono validi in ogni algebra di Banach unitaria.
L'insieme degli
elementi invertibili
in ogni algebra di Banach unitaria e un
insieme aperto
, e l'operazione di inversione e continua su questo insieme, cosicche forma un
gruppo topologico
rispetto alla moltiplicazione.
Le algebre di Banach unitarie forniscono uno strumento ideale per lo studio della
teoria spettrale
generale. Lo
spettro
di un elemento
x
e formato da tutti quegli
scalari
λ tali che
x
-λ1 non e invertibile. (Nell'algebra di Banach di tutte le matrici
n
x
n
su menzionate, lo spettro di una matrice coincide con l'insieme di tutti i suoi
autovalori
.) Lo spettro di ogni elemento e uno
spazio compatto
. Se il campo sul quale e definita l'algebra e il campo dei
numeri complessi
, allora lo spettro di ogni elemento e non vuoto.
Le varie algebre di funzioni considerate negli esempi precedenti hanno proprieta molto diverse dagli esempi standard di algebre come quella formata dai reali. Ad esempio:
- Ogni algebra di Banach reale che e un'
algebra con divisione
e isomorfa ai reali, ai complessi, o ai quaternioni. Ne segue che la sola algebra di Banach complessa che e un'algebra con divisione e l'algebra dei complessi.
- Ogni algebra di Banach reale unitaria senza
divisori dello zero
e nella quale ogni
ideale principale
e
chiuso
, e isomorfa ai reali, ai complessi, o ai quaternioni.
- Ogni algebra di Banach reale commutativa
noetheriana
senza divisori dello zero e isomorfa ai reali o ai complessi.
- Ogni algebra di Banach reale commutativa noetheriana unitaria (eventualmente con divisori dello zero) ha dimensione finita.