In
geometria
, il
257-gono
e un
poligono
con 257 lati, altrettanti angoli e vertici.
Un 257-gono si dice
regolare
se ha tutti gli
angoli
e tutti i
lati
congruenti.
Angolo al centro:
![{\displaystyle {\frac {2\pi }{257}}={\frac {360^{\circ }}{257}}\simeq 1{,}4^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d579d3e9e61887fb87adaa9c7d02c22d9fbae595)
Angolo interno:
![{\displaystyle \pi -{\frac {2\pi }{257}}=180^{\circ }-{\frac {360^{\circ }}{257}}\simeq 178{,}6^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b23aa654b1224c79afcb608812710904381876)
Il lato, calcolato in funzione del raggio
del cerchio circoscritto, e dato da:
![{\displaystyle l=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2\pi }{257}}\right)\simeq 0{,}024447583}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909d0bb3878d48902c34899651785d8e3491408a)
Il perimetro e:
![{\displaystyle P=257\cdot l\simeq r\cdot 6{,}28302883}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93048b17589727e568d884c786edd7c80e24ad5b)
con una differenza di circa 24
ppm
rispetto alla
circonferenza
di raggio
.
![{\displaystyle A=257\cdot r^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{257}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{257}}\right)\simeq 3{,}1405756\cdot r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7503581b4489d665df7d53dffc54b43d3eab3b77)
Il 257-gono regolare e un poligono
costruibile con riga e compasso
: nel
1796
Carl Friedrich Gauss
dimostro che la costruzione di un poligono regolare puo essere fatta per via geometrica solo se il suo numero
di lati e del tipo
dove
e un
numero intero
non negativo e i fattori
sono
numeri primi di Fermat
distinti (in questo caso
).
Gli unici numeri primi di Fermat noti a oggi sono 3, 5, 17, 257 e 65537. Per quanto riguarda la costruzione del triangolo (equilatero) e del pentagono (regolare), la soluzione era stata gia trovata nel mondo antico (vedi Elementi di
Euclide
). Gauss dimostro che la ricerca di uno qualunque dei parametri caratteristici di questi poligoni regolari (angolo al centro, lunghezza del lato o proiezione di un vertice su uno degli assi) puo essere ricondotta alla risoluzione di una serie di
equazioni di secondo grado
; e questo e un compito che effettivamente puo essere eseguito con l'uso di soli riga e compasso.
Gauss si limito a dimostrare questa fattibilita, senza pero indicare metodi costruttivi specifici. Nel
1832
Friedrich Julius Richelot
pubblico uno studio di 194 pagine in cui dimostrava l'effettiva costruibilita del 257-gono.
Costruzione geometrica del 257-gono regolare. In blu sono mostrate le linee di costruzione; in verde le operazioni di bisezione; infine in rosso i cerchi di Carlyle, con l'indicazione dei loro parametri geometrici (centro e raggio, oppure diametro) e dei risultati intermedi.
In questa sezione viene messa in pratica la costruzione descritta da Duane W. DeTemple nel suo articolo "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions".
In sintesi il procedimento scoperto da Gauss e messo in pratica in vari modi da Richelot, DeTemple e altri, si basa sul fatto che i vertici del 257-gono regolare inscritto in un cerchio di raggio unitario possono essere determinati risolvendo l'
equazione ciclotomica
![{\displaystyle z^{257}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3c05f6940ab5478680b948af52601ccfea89b9)
le cui radici sono date dall'espressione
![{\displaystyle r^{n}=e^{2\pi i{\frac {n}{257}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe76fdaef3349462e2d6da2d2f54750d00dc2b3f)
per
compreso fra
e
. Dato che la somma di tutte le radici e uguale a
, se dal totale togliamo
, la somma delle rimanenti radici e uguale a
.
Le radici diverse da
vengono opportunamente separate in due gruppi disgiunti di 128 radici ciascuno. Indicando con
e
le somma delle radici nel primo e secondo gruppo rispettivamente, e chiaro che
. La determinazione dei valori
e
richiede una relazione aggiuntiva, che puo essere trovata moltiplicando i due gruppi di radici. Ora, proprio per il modo in cui sono stati scelti i membri di ciascun gruppo, si ha che moltiplicando i membri di
con quelli di
si ottiene una somma di
termini, che possono essere raggruppati in
serie complete delle radici comprese fra
e
; come abbiamo visto, ciascuna di queste serie di radici ha come somma il valore
, quindi il prodotto calcolato risulta valere
.
Conosciuti somma (
) e prodotto (
) dei valori
e
, i valori stessi possono essere trovati per via algebrica (grazie alla
risoluzione di un'equazione
di secondo grado) oppure, come nel caso in esame, per via geometrica tramite un
cerchio di Carlyle
.
Ciascuna delle due serie di 128 radici viene a sua volta suddivisa in due serie da 64: si avra
e
. Anche in questo caso si possono calcolare i prodotti di queste coppie
e
di somme di 64 radici: con lo stesso procedimento descritto sopra si ottengono quindi i valori numerici di questi
. Si procede allo stesso modo per ottenere i valori della somma di gruppi di 32, 16, 8, 4 e 2 radici ciascuno.
Per la costruzione del 257-gono non occorre trovare pero tutte le radici: e sufficiente infatti trovare una delle somme di due radici, per esempio la somma di r
1
e r
256
, che sono simmetriche rispetto all'asse delle ascisse. Grazie alla
formula di Eulero
risulta subito che
o, equivalentemente, la meta di questa somma coincide con l'ascissa di
. Di conseguenza, una volta nota questa somma si possono determinare facilmente tutti i vertici del 257-gono.
L'animazione mostra la ricerca dei valori somma dei primi 2 gruppi di 128 radici (
), poi dei 4 gruppi di 64 (
), degli 8 di 32 (
) e dei 16 gruppi di 16 radici (
). Per trovare una singola coppia di radici a questo punto non occorre procedere con la ricerca di tutti e 32 i gruppi di 8 radici: ne bastano solo 6, che forniscono i valori (
) necessari alla ricerca dei valori somma di due gruppi di 4 radici (
) e infine di due radici doppie (
). Nell'animazione, quest'ultima operazione fornisce il doppio del
coseno
degli angoli
e
; per il disegno del 257-gono viene utilizzato il secondo dei due valori, in quanto e molto piu facile da visualizzare.
Per ogni passaggio si eseguono le seguenti operazioni:
- si trovano i valori somma e prodotto di due gruppi di radici;
- si traccia il
Cerchio di Carlyle
;
- si interseca tale cerchio con l'asse delle
. Le intersezioni ottenute sono i valori somma di ciascun gruppo di radici.
L'intero procedimento richiede di tracciare un totale di 24 cerchi di Carlyle.
E notevole che, nonostante gran parte dei poligoni regolari
non
possano essere costruiti con riga e compasso, lo siano invece quelli che hanno come numero di lati i seguenti numeri consecutivi:
- 255, poiche 255 = 3×5×17 (l'angolo al centro del 255-gono puo essere trovato sovrapponendo un
pentadecagono
e un
eptadecagono
)
- 256, in quanto 256 = 2
8
e dunque il 256-gono e ottenibile per bisezioni successive.
- 257, in quanto 257 e un primo di Fermat.