La
diffrazione
, nella
fisica
, e un
fenomeno
associato alla deviazione della traiettoria di propagazione delle
onde
quando queste incontrano un ostacolo sul loro cammino. E tipica di ogni genere di onda, come il
suono
, le onde sulla superficie dell'
acqua
o le
onde elettromagnetiche
come la
luce
o le
onde radio
; il fenomeno si verifica anche nelle particolari situazioni in cui la
materia
mostra proprieta ondulatorie, in accordo con il
dualismo onda-particella
.
Gli effetti di diffrazione sono rilevanti quando la
lunghezza d'onda
e comparabile con la dimensione dell'ostacolo: in particolare per la
luce visibile
(lunghezza d'onda attorno a 0,5
μm
) si hanno fenomeni di diffrazione quando essa interagisce con oggetti di dimensione sub-
millimetrica
.
Qualunque deviazione di un raggio di luce non imputabile a riflessione o rifrazione e chiamato
diffrazione
. Questa e la classica definizione riscontrata nel trattato classico di Ottica di
Arnold Sommerfeld
[1]
. E sorprendente notare che questa definizione ricalca quanto descritto per la prima volta dal Gesuita
Francesco Maria Grimaldi
(si veda l'originale definizione nella seconda figura che riproduce l'originale paragrafo nel trattato di F. M. Grimaldi), coniandone il termine che significa "frazionamento in piu parti" nel 1665
[2]
.
Isaac Newton
attribui la causa del fenomeno a un
incurvamento
dei raggi luminosi (non osservando, come tutti gli ottici newtoniani, le frange all'interno dell'ombra di un capello)
[3]
.
Il termine newtoniano che designa la diffrazione e
inflexion
.
Thomas Young
studio la diffrazione come sovrapposizione tra la luce direttamente trasmessa oltre un'apertura in uno schermo (o un ostacolo) e un'onda avente origine dal bordo dell'apertura o dell'ostacolo. Lo stesso
Augustin-Jean Fresnel
adotto inizialmente il modello di Thomas Young, ma alcune esperienze atte ad evidenziare variazioni della figura di diffrazione dai parametri caratteristici del bordo (natura, geometria del bordo) e una inversione rispetto alla posizione prevista delle frange scure nella regione esterna all'ombra di un capello, lo indussero ad un abbandono della teoria dell'onda di bordo (stabilita da A. Fresnel in modo del tutto indipendente da Thomas Young), a favore della teoria basata sul
principio di Huygens
, riuscendo soprattutto a fornire una descrizione del fenomeno dal punto di vista matematico.
E da notare che la teoria dell'onda di bordo di Thomas Young ha precursori "newtoniani" antecedenti a Thomas Young, la cui teoria e in alcuni punti non chiara e priva di supporto matematico. In genere la posizione di Thomas Young, cui si attribuisce il merito di avere per primo stabilito la natura
periodica
della luce, e in realta incerta (il termine "lunghezza d'onda" non e
mai
usato) mentre e una costante delle sue ricerche l'analogia tra "suono" e "luce". Tuttavia, almeno all'epoca dei pionieri (T. Young e A. Fresnel) ne la teoria dell'onda di bordo, ne il principio di Huygens hanno un supporto teorico
[4]
[5]
che giunge solo nel 1883 ad opera di G. Kirchhoff
[6]
e, anche se inosservato, da G. A. Maggi
[7]
nel 1886 per la teoria dell'onda di bordo.
Caratteristiche qualitative della diffrazione
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Di fronte ad un fenomeno di diffrazione, nel caso ottico, si possono compiere alcune osservazioni preliminari.
Il caso generale del fenomeno e la
diffrazione di Fresnel
(o da
campo vicino
), dove la sorgente di luce e il piano di osservazione sono posti a distanza finita dalla fessura.
La
diffrazione di Fraunhofer
(o da
campo lontano
), invece, e un caso particolare della precedente, ma molto piu semplice da analizzare: essa si ha infatti quando la sorgente e il piano sono posti a distanza infinita dal diaframma, cosi che i raggi incidenti possano essere considerati paralleli fra loro.
Un esempio di questo caso e quello di una sorgente di luce puntiforme (o rettilinea), come il tratto diritto del filamento di una lampadina o un fascio laser, vista da una distanza di un paio di metri attraverso due lamette distanti tra loro mezzo decimo di millimetro.
Le caratteristiche della diffrazione sono quindi che:
- la larghezza del massimo centrale della figura di diffrazione della fenditura singola e il doppio delle frange laterali.
- la larghezza e inversamente proporzionale all'ampiezza della fenditura: a fessure molto piccole corrispondono frange di diffrazione molto larghe e viceversa.
- gli angoli sotto cui le frange sono viste, non dipendono dalla scala dell'esperimento, ma solo dal rapporto tra la lunghezza d'onda e l'ampiezza della fenditura.
- in qualunque fenomeno di Fresnel, un ostacolo simmetrico presenta
sempre
luce al centro dell'ombra (e il tipico caso della "
macchia di Poisson
").
Esempi di diffrazione
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Fenomeni di diffrazione possono essere osservati quotidianamente, in particolare quelli che interessano la luce visibile: per esempio, le tracce incise sulla superficie di un CD o di un DVD agiscono come un
reticolo di diffrazione
, creando il familiare effetto
arcobaleno
; anche i piccoli
ologrammi
, ad esempio delle carte di credito, si basano sulla diffrazione. In natura, si possono osservare colori cangianti dovuti a diffrazioni
interferenziali
, come quelli delle piume del pavone, o della corazza di alcuni coleotteri, o delle ali di molte farfalle, che sono colorate grazie all'interferenza delle onde diffratte da parte di microscopiche scaglie disposte regolarmente.
La
diffrazione atmosferica
causata da microscopiche gocce d'acqua in sospensione e la responsabile degli anelli luminosi visibili attorno alle sorgenti di luce; la stessa ombra di un oggetto puo mostrare deboli effetti di diffrazione sui bordi.
Una figura
policromatica
analoga alla farfalla nella foto si osserva tra le trame di un ombrello quando si guarda una luce lontana attraverso di esse. La diffrazione costituisce un limite nella risposta di qualunque strumento ottico e pertanto riguarda varie tecnologie: essa infatti pone un limite alla risoluzione di fotocamere, videocamere, telescopi e microscopi.
A causa della diffrazione le
onde marine
formano figure intricate quando incrociano un piccolo ostacolo, come un
faro
in mare, o attraversano una apertura stretta (figura a destra), come un canale o l'ingresso di un porto.
Spiegazione del fenomeno
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La diffrazione puo venire
intuitivamente
"letta" come una richiesta di continuita da parte del fronte d'onda che subisce una discontinuita dal bordo (o dai bordi) di un ostacolo. La figura a fianco, che simula la diffrazione di un'onda piana attraverso la fenditura, ricorda quanto osservato in un'onda alla superficie dell'acqua quando passa attraverso una fenditura. Oltre la fenditura il fronte d'onda incidente e "tagliato" dai due bordi. La parte di fronte d'onda contigua a ciascun bordo piega attorno al bordo stesso fornendo cosi una perturbazione continua.
Secondo la chiave di lettura della teoria dell'onda di bordo e come se l'ostacolo diventasse una sorgente (fittizia) di un'onda a simmetria cilindrica che si sovrappone tanto all'onda trasmessa secondo le leggi dell'ottica geometrica e, ovviamente, all'altra onda di bordo.
Secondo la chiave di lettura del
principio di Huygens
, il fronte d'onda incidente e l'inviluppo di
onde elementari sferiche
. Qui, le sorgenti (
fittizie
) di tali onde sono nei punti della fenditura. L'inviluppo di tali onde sferiche in prossimita del bordo si propaga dando luogo a nuovi fronti d'onda successivi.
Nonostante la diversita nella descrizione del fenomeno, sia il modello dell'onda di bordo che il modello basato sul principio di Huygens sono pienamente equivalenti visto che la "matematizzazione" della teoria dell'onda di bordo discende dalla matematizzazione della teoria della propagazione secondo il principio di Huygens.
[6]
[7]
Descrizione matematica della diffrazione
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Per determinare gli effetti della diffrazione bisogna trovare innanzitutto la fase e l'intensita di ciascuna sorgente di Huygens in ogni punto dello spazio; cio significa calcolare per ogni punto la sua distanza dal fronte d'onda: se la distanza di ciascun punto differisce a meno di un numero intero di lunghezze d'onda, tutte le sorgenti sono in fase e daranno luogo ad una
interferenza costruttiva
; se, al contrario, la distanza differisce di un numero intero piu mezza lunghezza d'onda, l'interferenza sara
distruttiva
. In generale, e sufficiente determinare le posizioni di questi
massimi
e
minimi
per ottenere una completa descrizione del fenomeno.
La descrizione piu semplice di diffrazione si ha nel caso di un problema in due dimensioni, come nel caso delle onde nell'acqua che si propagano solo sulla superficie del liquido; per quanto riguarda i raggi luminosi, si puo trascurare una dimensione solo se la fenditura si estende in quella direzione per una distanza molto piu grande della lunghezza d'onda della luce; nel caso di fenditure circolari, invece, si devono considerare tutte e tre le dimensioni.
Analisi quantitativa della diffrazione da una singola fenditura
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Come esempio, si puo ricavare un'equazione piu precisa che leghi l'intensita delle bande di diffrazione all'angolo a cui si considerano, nel caso di una singola fenditura: partendo dalla rappresentazione matematica del
principio di Huygens
si considera un'onda monocromatica
sul piano complesso di lunghezza d'onda λ incidente su una fenditura di ampiezza
a
; se questa fenditura giace lungo il piano individuato dagli assi x′-y′ (con centro nell'origine), si puo ipotizzare che la diffrazione generi un'onda complessa
che viaggia lungo una direzione radiale
r
rispetto alla fenditura e la cui equazione e:
-
Sia ora (x′,y′,0) un punto interno alla fenditura: se (x,0,z) sono le coordinate alle quali corrisponde l'intensita da misurare della figura di diffrazione, la fenditura si estendera da
a
in un verso e da
a
nell'altro.
La distanza
r
dalla fenditura e:
-
-
Considerando il caso della
diffrazione di Fraunhofer
, risultera che:
-
In altre parole, la distanza dello schermo e molto piu grande dell'ampiezza della fenditura; con l'aiuto del
teorema binomiale
, questa distanza puo essere ben approssimata come:
-
-
Sostituendo questo valore di
r
nella prima equazione si trova:
|
|
|
|
|
|
Per semplificare si possono raccogliere i termini costanti e chiamarli
C
(
C
puo contenere numeri immaginari, anche se al termine ψ si potra semplificare eliminando queste componenti). Ora, nella diffrazione di Fraunhofer
e molto piccolo, in modo da poter scrivere
. Quindi, essendo
, risultera:
|
|
|
|
Si puo notare con l'aiuto della
formula di Eulero
che
e
:
con la posizione:
.
Infine, sostituendo in
, l'intensita
delle onde diffratte a un dato angolo θ e data da:
|
|
|
Analisi quantitativa della diffrazione da N fenditure
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Ripartendo dal
principio di Huygens
-
si considerano ora
N
fenditure di uguale ampiezza (
a
,
, 0) distanti l'una dall'altra di una lunghezza
d
lungo l'asse x′. Come precedentemente trovato, la distanza
r
dalla prima fenditura sara:
-
Per generalizzare questa situazione nel caso di
N
fenditure, si puo innanzitutto osservare che mentre
z
e
y
restano costanti, x′ varia in questo modo:
-
Dunque si ha che:
-
e la somma di tutti gli
N
contributi all'onda e:
-
Di nuovo si puo notare che
e trascurabile,
in modo che
; quindi risulta:
|
|
|
|
|
|
|
|
Ora si puo usare la seguente identita
per sostituire nell'equazione e ottenere:
|
|
|
|
|
|
|
|
Di nuovo, sostituendo
k
e introducendo la variabile
al posto delle costanti non oscillanti, come nella diffrazione da una fenditura, si puo semplificare il risultato; ricordandosi che:
-
si possono scartare gli esponenziali e ottenere:
-
Diffrazione da un'apertura circolare
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La diffrazione di un'onda piana incidente su un'apertura circolare da come risultato il cosiddetto
disco di Airy
. La variazione dell'intensita dell'onda in funzione dell'angolo e data dall'espressione:
-
dove
a
e il raggio dell'apertura,
k
e pari a 2π/λ e J
1
e una
funzione di Bessel
. Piu piccola e l'apertura, piu grande e la dispersione delle onde, a pari distanza.
Altri casi di diffrazione
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Limite di diffrazione per i telescopi
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Nel caso della diffrazione da un'apertura circolare, si rilevano una serie di anelli concentrici attorno al
disco di Airy
. L'analisi matematica di questo specifico caso e simile alla versione utilizzata per la diffrazione da una singola fenditura vista precedentemente.
Un'onda non deve necessariamente attraversare una fenditura per andare incontro a diffrazione: per esempio, anche un raggio di luce di ampiezza finita subisce un processo di diffrazione e aumenta la propria ampiezza. Questo fenomeno limita l'ampiezza
d
dei dispositivi dove si raccoglie la luce, nel fuoco di una
lente
; cio e conosciuto come
limite di diffrazione
:
-
dove λ e la lunghezza d'onda della luce,
f
e la distanza focale della lente e
a
e il diametro del raggio di luce o (se il raggio di luce e piu ampio della lente) il diametro della lente. L'ampiezza risultante contiene circa il 70% dell'energia della luce e corrisponde al raggio del primo minimo del
disco di Airy
, approssimato con il
criterio di Rayleigh
; il diametro del primo minimo, che contiene l'83.8% dell'energia della luce, e spesso utilizzato come "diametro di diffrazione".
Utilizzando il
principio di Huygens
, e possibile ricavare la superficie di diffrazione di un'onda che attraversa una fenditura di qualsiasi forma: se questa superficie viene osservata ad una certa distanza dall'apertura, risultera essere la
trasformata di Fourier
in due dimensioni della funzione che rappresenta l'apertura.
Diffrazione di Bragg
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La diffrazione da numerose fenditure descritta precedentemente e un fenomeno simile a cio che si verifica quando un'onda viene diffusa da una struttura periodica, come il reticolo di atomi in un
cristallo
o le grate di un
reticolo di diffrazione
Ogni punto di diffusione, ad esempio ogni atomo del cristallo, agisce come una sorgente puntiforme di
onde sferiche
, le quali daranno luogo a fenomeni di
interferenza
costruttiva per formare un certo numero di onde diffratte. La direzione di queste onde e descritta dalla
Legge di Bragg
:
-
dove λ e la
lunghezza d'onda
,
d
e la distanza tra ogni punto di diffusione, θ e l'angolo di diffrazione e
m
e un numero intero che indica l'
ordine
di ciascun onda diffratta.
La diffrazione di Bragg viene usata nella
cristallografia a raggi X
per ricavare la struttura di un qualsiasi
cristallo
analizzando gli angoli ai quali i
raggi X
vengono diffratti dal cristallo stesso: poiche l'angolo θ di diffrazione dipende dalla lunghezza d'onda λ, un reticolo di diffrazione causa una
dispersione
angolare di un raggio di luce.
L'esempio piu semplice di diffrazione di Bragg e lo
spettro
di
colori
che si puo vedere riflesso da un
Compact disc
: la breve distanza tra le tracce sulla superficie del disco costituisce un reticolo di diffrazione e ogni componente della luce bianca viene diffratta con differenti angoli, in accordo con la legge di Bragg.
Diffrazione di particelle
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La diffrazione di particelle materiali come gli elettroni e uno dei maggiori punti di forza della
meccanica quantistica
: osservare la diffrazione di un
elettrone
o di un
neutrone
consente di verificare l'esistenza della
dualita onda-particella
; questa diffrazione e anche un utile strumento scientifico: la lunghezza d'onda di queste particelle e sufficientemente piccola da essere usata nella scansione della struttura atomica dei cristalli.
La lunghezza d'onda associata ad una particella e la cosiddetta
lunghezza d'onda di De Broglie
:
-
dove
h
e la
costante di Planck
e
v
e
m
sono rispettivamente la velocita e la massa della particella; λ e caratteristica di qualsiasi oggetto materiale, anche se e rilevabile solo per entita con piccola massa, come gli atomi e altre particelle.
Recentemente, e stata osservata la diffrazione di particelle chiamate
barioni
e di un particolare tipo di
fullereni
chiamato
buckyball
?; il prossimo obiettivo della ricerca sara quello di osservare la diffrazione dei
virus
, i quali, avendo molta piu massa delle particelle elementari, hanno una lunghezza d'onda inferiore, cosicche devono attraversare molto lentamente una fenditura estremamente sottile affinche manifestino caratteri ondulatori.
Persino la
Terra
ha una sua lunghezza d'onda (in effetti, qualunque oggetto dotato di una
quantita di moto
la possiede): avendo una massa di circa 6×10
24
kg e una
velocita
orbitale media di circa 30000 ms
?1
, essa ha una
lunghezza d'onda di De Broglie
pari a 3.68×10
?63
m.
La descrizione della diffrazione poggia, come detto in precedenza, sulla descrizione dell'interferenza tra onde generate dalla stessa sorgente che percorrono direzioni differenti, partendo dal medesimo punto; in questo modello, la differenza di fase tra le onde dipende solo dall'effettiva lunghezza del tragitto; puo accadere pero che due onde emesse in tempi diversi dalla sorgente arrivino sullo schermo in due punti diversi ma
allo stesso istante
; la fase iniziale con cui la sorgente genera le onde puo anche cambiare nel tempo: onde emesse a intervalli di tempo sufficientemente lunghi non potranno quindi formare una stabile figura d'interferenza, dal momento che la loro differenza di fase non sara piu indipendente dal tempo.
La lunghezza correlata alla fase di un'onda elettromagnetica come la luce e detta
lunghezza di coerenza
: affinche si verifichi un'interferenza, la differenza dei tragitti di due onde deve essere inferiore alla lunghezza di coerenza.
Se le onde sono emesse da una sorgente estesa, cio puo produrre un'incoerenza lungo la direzione trasversale: osservando perpendicolarmente un raggio di luce, la lunghezza per la quale le fasi sono correlate e chiamata
lunghezza di coerenza trasversale
; nel caso della diffrazione dalla doppia fenditura, solo se questa lunghezza e minore della distanza tra le due aperture si osservera il fenomeno della diffrazione.
Nel caso della diffrazione di particelle, la lunghezza di coerenza e legata all'estensione nello spazio della
funzione d'onda
che descrive tali particelle.
- ^
A. Sommerfeld,
Optics
(Academic press, New York, 1954) p.179.
- ^
Physico-mathesis de lumine, coloribus et iride (Bonomiae, 1665).
- ^
I. Newton,
Opticks
, (London, 1704) Book 3.
- ^
G. N. Cantor, "Was Thomas Young a wave theorist?", Am. J. Phys.
52
, 305 - 308 (1984).
- ^
S. Ganci, "Historical notes on the first viewpoint about light diffraction", Quaderni di Storia della Fisica,
13
, 59 - 65 (2005).
- ^
a
b
G. Kirchhoff, "Zur Theorie der Lichtstrahlen", Wied. Ann.
18
, 663 - 695 (1883).
- ^
a
b
G. A. Maggi, "Sulla Propagazione Libera e Perturbata delle Onde Luminose in um Mezzo Isotropo", Ann. Matematica,
16
, 21 - 47 (1888).
Collegamenti esterni
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