Persamaan diferensial
adalah
persamaan
matematika
untuk
fungsi
satu
variabel
atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan
turunannya
dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam
rekayasa
,
fisika
, ilmu
ekonomi
dan berbagai macam disiplin ilmu lain.
Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang
sains
dan
teknologi
, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh
fungsi matematika
) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada
mekanika klasik
, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu.
Hukum Newton
memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi,
kecepatan
,
percepatan
dan berbagai
gaya
yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan
gravitasi
dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan diferensial. Contoh lain adalah untuk simulasi gerak dinamis atau
simulasi dinamis
.
Persamaan diferensial pertama kali eksis dengan penemuan
kalkulus
oleh
Newton
dan
Leibniz
. Pada bab 2 hasil karyanya tahun 1671 berjudul
"Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum"
,
[1]
Isaac Newton menuliskan 3 macam persamaan diferensial:
Jacob Bernoulli
mengusulkan
persamaan diferensial Bernoulli
tahun 1695.
[2]
Hasilnya berupa
persamaan diferensial biasa
dalam bentuk
dimana pada tahun berikutnya Leibniz mendapatkan penyelesaian dengan menyederhanakannya.
[3]
Secara historis, masalah senar bergetar seperti
instrumen musik
dipelajari oleh
Jean le Rond d'Alembert
,
Leonhard Euler
,
Daniel Bernoulli
, dan
Joseph-Louis Lagrange
.
[4]
[5]
[6]
[7]
Tahun 1746, d’Alembert menemukan persamaan gelombang satu dimensi, dan 10 tahun kemudian Euler menemukan persamaan gelombang 3 dimensi.
[8]
Persamaan Euler?Lagrange
dikembangkan tahun 1750-an oleh Euler dan Lagrange sehubungan dengan studi mereka mengenai masalah
tautokron
. masalah ini adalah menentukan kurva dimana partikel berbobot akan jatuh pada titik tertentu pada waktu tertentu, tidak tergantung dari titik awal. Lagrange menyelesaikan masalah ini tahun 1755 dan mengirim penyelesaiannya ke Euler. Keduanya kemudian mengembangkan metode Lagrange dan mengaplikasikannya ke
mekanika
, yang akhirnya membentuk perumusan
mekanika Lagrangian
.
Fourier
mempublikasikan kerjanya mengenai
aliran panas
dalam
Theorie analytique de la chaleur
(Teori Analisis Panas),
[9]
yang dimana didasarkan pemikirannya pada
hukum pendinginan Newton
, yaitu aliran panas antara 2 molekul berdekatan berbanding lurus dengan perbedaan temperatur. Termasuk di dalam buku ini adalah proposal Fourier mengenai
persamaan panas
untuk
difusi
panas konduktif. Persamaan diferensial parsial ini sekarang dipelajari oleh siswa
fisika matematika
.
Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan yaitu:
- Persamaan diferensial biasa
(PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (
variabel terikat
) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah
fungsi riil
atau
fungsi kompleks
, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan
orde
tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.
- Persamaan diferensial parsial
(PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan
turunan parsial
. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran.
Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai
linier
atau
nonlinier
. Sebuah persamaan diferensial disebut
linier
apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasil kali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah
nonlinier
.
Ada
perangkat lunak
yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial:
- ^
Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
- ^
Bernoulli, Jacob
(1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis",
Acta Eruditorum
- ^
Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993),
Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems
, Berlin, New York:
Springer-Verlag
,
ISBN
978-3-540-56670-0
- ^
Cannon, John T.; Dostrovsky, Sigalia (1981). "The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742". Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences.
6
. New York: Springer-Verlag: ix + 184 pp.
ISBN
0-3879-0626-6
.
GRAY, JW (July 1983). "BOOK REVIEWS".
BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
.
9
(1).
(retrieved 13 Nov 2012).
- ^
Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). "The Vibrating String Controversy".
Am. J. Phys.
55
(1): 33?37.
Bibcode
:
1987AmJPh..55...33W
.
doi
:
10.1119/1.15311
.
- ^
For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see
First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings
Diarsipkan
2020-02-09 di
Wayback Machine
. (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
- ^
For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult
Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications
Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
- ^
Speiser, David.
Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800
, p. 191 (Basel: Birkhauser, 2008).
- ^
Fourier, Joseph (1822).
Theorie analytique de la chaleur
(dalam bahasa French). Paris: Firmin Didot Pere et Fils.
OCLC
2688081
.
- ^
"dsolve - Maple Programming Help"
.
www.maplesoft.com
. Diakses tanggal
2020-05-12
.
- ^
"Basic Algebra and Calculus ? Sage Tutorial v9.0"
.
doc.sagemath.org
. Diakses tanggal
2020-05-12
.
- ^
"Symbolic algebra and Mathematics with Xcas"
(PDF)
.
- D. Zwillinger,
Handbook of Differential Equations (3rd edition)
, Academic Press, Boston, 1997.
- A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev,
Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)
, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003.
ISBN 1-58488-297-2
.
- W. Johnson,
A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations
, John Wiley and Sons, 1913, in
University of Michigan Historical Math Collection
- E.L. Ince,
Ordinary Differential Equations
, Dover Publications, 1956
- E.A. Coddington and N. Levinson,
Theory of Ordinary Differential Equations
, McGraw-Hill, 1955
- P. Blanchard, R.L. Devaney, G.R. Hall,
Differential Equations
, Thompson, 2006