| Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari
Proof that 22/7 exceeds π
di en.wikipedia.org.
Isinya masih belum akurat
, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada
ProyekWiki Perbaikan Terjemahan
.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula:
panduan penerjemahan artikel
)
|
Hasil
pembuktian matematis
mengenai nilai
bilangan rasional
lebih dari
(pi) telah ada sejak dahulu. Salah satu pembuktiannya, baru-baru ini dikembangkan namun hanya memerlukan teknik dasar dari kalkulus, berhasil menarik perhatian matematika modern karena
keindahan
dan koneksinya dengan teori
Hampiran Diophantus
. Stephen Lucas menyebut bukti ini sebagai "salah satu hasil menawan yang berkaitan dengan hampiran
".
[1]
Julian Havil mengakhiri diskusi mengenai penghampiran
pecahan berlanjut
dari
dengan hasil ini, menyebutnya sebagai "hal yang mustahil untuk tidak disinggung" pada konteks tersebut.
[2]
Tujuan dari pembuktian ini bukanlah untuk meyakinkan pembaca kalau nilai
(atau
) lebih dari
; terdapat berbagai metode sistematis untuk menghitung nilai dari
. Jika seseorang mengetahui kalau
memiliki nilai sekitar
, maka secara
trivial
, dapat disimpulkan kalau
, yakni sekitar
. Dengan menggunakan metode pada pembuktian ini, menunjukkan
jauh lebih mudah dibandingkan menunjukkan nilai
itu sekitar
.
Nilai
adalah
hampiran Diophantus
dari
yang banyak digunakan. Bilangan tersebut bernilai lebih dari
, yang dapat dilihat dari
representasi desimal
dari kedua nilai tersebut:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}}\\\pi &=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3612ebb6d9a1d460a08dfffe86ad7983283d8d)
Nilai hampiran tersebut telah diketahui sejak lama.
Archimedes
menjadi orang pertama yang menulis bukti mengenai nilai bilangan
melebihi
pada abad ke-3 SM, walaupun mungkin saja
Archimedes
bukanlah yang pertama menggunakan hampiran tersebut. Alur pembuktiannya adalah dengan menunjukkan bahwa
lebih dari rasio dari
keliling
segi-96 beraturan
terhadap diameter lingkaran yang dilingkupinya.
[note 1]
Pembuktiannya dapat dijabarkan secara singkat sebagai berikut:
![{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x={\frac {22}{7}}-\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9107bcecb8287c29b158949990f665ed6d2f0f3f)
Sehingga, diperoleh
atau
.
Integral ini merupakan soal pertama pada
Kompetisi Putnam
tahun 1968.
[4]
Soal ini lebih mudah daripada soal kompetisi Putnam pada umumnya; kompetisi ini seringkali memberikan soal yang terlihat rumit, yang ternyata merujuk kepada sesuatu yang sangat akrab. Integral ini juga telah digunakan dalam ujian masuk
Institut Teknologi India
.
[5]
Hasil
integral
yang positif datang dari nilai
integran
yang
non-negatif
; bagian penyebutnya positif dan pembilangnya adalah hasil kali bilangan non-negatif. Dapat dengan mudah ditunjukkan kalau terdapat setidaknya satu titik pada interval integrasi yang nilai integrannya positif, misalnya
. Oleh karena integrannya kontinuu pada titik tersebut dan nilai integrannya non-negatif pada titik lainnya, maka hasil integral dari 0 sampai 1 haruslah positif.
Yang tersisa adalah menunjukkan nilai integralnya sama dengan
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x&{\text{Hasil penjabaran suku-suku pada pembilang}}\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,{\text{d}}x&{\text{Pembagian polinomial dengan cara bersusun}}&\\[8pt]&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}&{\text{Teorema dasar kalkulus}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi &{\text{Ingat bahwa }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ dan }}\arctan(0)=0\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi &{\text{Penjumlahan}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3237e2dab4d8882dff536bb0f35b65c27cd4e6)
(lihat
Pembagian polinomial dengan cara bersusun
dan
Teorema dasar kalkulus
)
Estimasi Batas Atas dan Batas Bawah
[
sunting
|
sunting sumber
]
Mengacu pada (
Dalzell 1944
), jika nilai
pada penyebut diganti dengan
, maka akan diperoleh batas bawah dari integral tersebut, dan jika nilai
pada penyebut diganti dengan
, maka akan diperoleh batas atas dari integralnya.
[6]
Perhatikan bahwa
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{4}\left(1-x\right)^{4}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{630}}\qquad {\text{dan}}\qquad \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{1260}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53152343f3d042e88663ee33637149a64a98c39)
Sehingga,
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x}&<&{\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x}&<&{\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1}}\,{\text{d}}x}\\{\dfrac {1}{1260}}&<&{\dfrac {22}{7}}-\pi &<&{\dfrac {1}{630}}\\-{\dfrac {1}{630}}&<&\pi -{\dfrac {22}{7}}&<&-{\dfrac {1}{1260}}\\{\dfrac {22}{7}}-{\dfrac {1}{630}}&<&\pi &<&{\dfrac {22}{7}}-{\dfrac {1}{1260}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654fa8c1689ae0d1dcb2aa9d115680bdbaa9ab31)
yang berarti
dalam
representasi desimal
. Batas tersebut menyimpang kurang dari
from
. Lihat juga (
Dalzell 1971
).
[7]
Bukti kalau 355/113 melebihi
[
sunting
|
sunting sumber
]
Seperti yang telah dibahas pada (
Lucas 2005
),
hampiran Diophantus
yang terkenal dan estimasi atas yang lebih baik untuk
dapat diperoleh dari
![{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f19e2396c6e03e0ec0e0925a826158318005d2)
![{\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28136e1420209b1ac4ed40e28051ea1013a8e00c)
dimana enam digit pertama setelah tanda koma serasi dengan enam digit pertama dari
. Jika nilai
pada penyebut diganti dengan
, maka akan diperoleh batas atas dari integral tersebut, yaitu
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164}}\,dx={\frac {911}{2\,630\,555\,928}}\approx 0.000\,000\,173\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d2a6327c8b687b6ed93c4428f5436bac02f359)
Substitusikan nilai
pada variabel
di bagian penyebut, maka diperoleh setengah dari nilai ini sebagai batas bawahnya, sehingga
![{\displaystyle {\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da48215940599663c95ddfdbdd07c6b1cd38879a)
Dalam
representasi desimal
, ini artinya
, dengan digit yang digarisbawahi pada batas bawah dan batas atas adalah digit yang serasi dengan bilangan
.
- ^
Proposisi 3: Rasio keliling lingkaran apapun terhadap diameternya itu kurang dari
namun lebih dari
.
[3]
- ^
Lucas, Stephen (2005),
"Integral proofs that 355/113 >
π
"
[Bukti integral mengenai
]
(PDF)
,
Australian Mathematical Society Gazette
(dalam bahasa Inggris),
32
(4): 263?266,
MR
2176249
,
Zbl
1181.11077
- ^
Havil, Julian (2003),
Gamma. Exploring Euler's Constant
[
Gamma. Menjelajahi Konstanta Euler
] (dalam bahasa Inggris), Princeton, NJ: Princeton University Press, hlm. 96,
ISBN
0-691-09983-9
,
MR
1968276
,
Zbl
1023.11001
- ^
Archimedes (2002) [1897], "Measurement of a circle", dalam
Heath, T.L.
,
The Works of Archimedes
[
Karya dari Archimedes
], Dover Publications, hlm. 93?96,
ISBN
0-486-42084-1
- ^
Alexanderson, Gerald L.
; Klosinski, Leonard F.; Larson, Loren C., ed. (1985),
The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965?1984
[
Kompetisi Matematika William Lowell Putnam: Soal dan Jawaban: 1965-1984
] (dalam bahasa Inggris), Washington, DC: The Mathematical Association of America,
ISBN
0-88385-463-5
,
Zbl
0584.00003
- ^
Ujian Masuk ITI 2010
, soal nomor 41 pada halaman 12, bagian matematika.
- ^
Dalzell, D. P. (1944), "On 22/7",
Journal of the London Mathematical Society
,
19
(75 Part 3): 133?134,
doi
:
10.1112/jlms/19.75_part_3.133
,
MR
0013425
,
Zbl
0060.15306
.
- ^
Dalzell, D. P. (1971), "On 22/7 and 355/113",
Eureka; the Archimedeans' Journal
,
34
: 10?13,
ISSN
0071-2248
.