Aljabar linear
adalah bidang studi
matematika
yang mempelajari sistem
persamaan linear
seperti
pemetaan linear
seperti
dan representasinya dalam
ruang vektor
maupun dengan
matriks
.
[1]
[2]
[3]
Aljabar linear berperan penting di hampir semua bidang matematika. Sebagai contoh, aljabar linear menjadi dasar dalam menjelaskan
geometri
secara modern, termasuk dalam mendefinisikan objek-objek dasar seperti
garis
,
bidang
, dan
rotasi
.
Analisis fungsional
, salah satu cabang matematika analisis, dapat dianggap sebagai penerapan aljabar linear dalam
ruang fungsi
.
Aljabar linear juga dipakai dalam banyak bidang ilmu dan bidang
teknik
, karena kemampuannya
memodelkan
banyak fenomena alam dan mencari solusi model tersebut dengan efisien. Pada
sistem nonlinear
, aljabar linear sering digunakan sebagai hampiran linear (
linear approximation
), didasarkan pada fakta
turunan
dari
fungsi multivariabel
di suatu titik adalah pemetaan linear yang terbaik dalam menghampiri nilai fungsi disekitar
titik
tersebut.
Menyelesaikan beberapa persamaan linear secara bersamaan menjadi bagian penting dalam aljabar linear. Prosedur dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang sekarang dikenal sebagai
eliminasi Gauss
, pertama kali muncul dalam
Bab Delapan: Array Persegi Panjang
di buku matematika Cina kuno
Sembilan Bab dalam Seni Matematika
. Buku ini mengilustrasikan delapan belas masalah, masing-masing melibatkan dua sampai lima persamaan.
[4]
Sistem persamaan linear
berkembang di Eropa bersamaan dengan dikenalkannya konsep
koordinat
dalam
geometri
, oleh
Rene Descartes
pada tahun 1637. Faktanya, pada geometri yang sekarang dikenal sebagai
geometri Kartesius
ini, garis-garis dan bidang-bidang diwakilkan oleh
persamaan
linear, dan mendapatkan hasil perpotongan mereka sama dengan menyelesaikan sistem persamaan linear.
Pada perkembangan selanjutnya,
determinan
digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear
secara sistematis. Metode ini pertama kali dipertimbangkan oleh
Leibniz
pada tahun 1693. Pada tahun 1750,
Gabriel Cramer
menggunakan determinan untuk menghasilkan solusi sistem linear secara eksplisit, menggunakan metode yang saat ini dikenal dengan
aturan Cramer
.
Gauss
nantinya juga menjelaskan lebih lanjut tentang metode eliminasi, yang awalnya dicatat sebagai sebuah kemajuan (
advancement
) dalam
geodesi
.
[5]
Pada tahun 1844,
Hermann Grassmann
mempublikasikan "
Theory of Extension
" yang didalamnya meyertakan topik fundamental yang baru, saat ini dikenal sebagai aljabar linear. Pada tahun 1848,
James Joseph Sylvester
memperkenalkan istilah
matrix
. Aljabar linear tumbuh dengan konsep-konsep dari
bidang kompleks
. Sebagai contoh, dua
bilangan kompleks
dan
memiliki selisih
dan segmen garis
dan
memiliki panjang dan arah yang sama. Istilah
vektor
diperkenalkan untuk mewakili suatu titik
dalam ruang.
Arthur Cayley
memperkenalkan
perkalian matriks
dan
invers matriks
pada tahun 1856. Cayley juga menggunakan satu huruf untuk menandai satu matriks, sehingga mengganggap matriks sebagai suatu gabungan dari banyak objek. Ia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Akan ada banyak hal untuk disampaikan tentang teori matriks ini yang, menurut saya, seharusnya mendahului teori determinan."
[5]
Publikasi
A Treatise on Electricity and Magnetism
pada tahun 1873 memulai ilmu
teori medan
tentang elektromagnetik, dan memerlukan
geometri diferensial
untuk mengekspresikan konsep-konsepnya. Aljabar linear merupakan geometri diferensial untuk bidang datar dan berperan pada ruang tangen
manifold
. Simetri elektromagnetik dari ruang waktu diekspresikan lewat
transformasi Lorentz
, dan banyak dari sejarah aljabar linear selanjutnya juga merupakan sejarah dari transformasi Lorentz.
Definisi yang lebih pasti dan modern mengenai
ruang vektor
diperkenalkan oleh
Peano
pada tahun 1888.
[5]
Teori tentang transformasi linear ruang vektor dimensi hingga berkembang pada tahun 1900. Aljabar linear mendapatkan bentuk modernnya pada awal abad ke-20, ketika banyak ide dan konsep dari abad-abad sebelumnya berhasil diperumum menjadi
aljabar abstrak
. Perkembangan komputer memulai riset yang pesat dalam
algoritme
efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks; dan aljabar linear menjadi alat penting untuk permodelan dan simulasi.
[5]
Sampai pada abad ke-19, aljabar linear diperkenalkan lewat
sistem persamaan linear
dan
matriks
. Dalam matematika modern, perkenalan lewat
ruang vektor
lebih disukai karena sifatnya yang lebih umum (tidak terbatas pada kasus dimensi yang berhingga) dan lebih mudah secara konseptual, walaupun lebih abstrak.
Suatu ruang vektor atas
medan
F
(umumnya berupa medan
bilangan real
) adalah suatu
himpunan
V
yang dilengkapi oleh dua
operasi biner
yang memenuhi
aksioma-aksioma
pada daftar berikut.
Elemen
dari
V
disebut
vektor
, dan elemen dari
F
disebut
skalar
. Opersi yang pertama,
penjumlahan vektor
, menggunakan sembarang dua vektor
v
dan
w
dan menghasilkan vektor
v
+
w
. Operasi yang kedua,
perkalian skalar
, menggunakan sembarang skalar
a
dan sembarang vektor
v
dan menghasilkan vektor
a
v
. Dalam daftar berikut,
u
,
v
, dan
w
adalah sembarang vektor di
V
, dan
a
dan
b
adalah sembarang skalar di medan
F
.
[6]
Aksioma
|
Hal yang terjadi
|
Penjumlahan bersifat
asosiasif
|
u
+ (
v
+
w
) = (
u
+
v
) +
w
|
Penjumlahan bersifat
komutatif
|
u
+
v
=
v
+
u
|
Penjumlahan memiliki
elemen identitas
|
Ada suatu elemen
0
di
V
, disebut dengan
vektor nol
(terkadang cukup disebut
nol
), yang memenuhi
v
+
0
=
v
untuk setiap
v
di
V
.
|
Penjumlahan memiliki
elemen invers
|
Untuk setiap
v
di
V
, ada elemen
?
v
di
V
, disebut invers penjumlahan dari
v
, yang memenuhi
v
+ (?
v
) =
0
|
Perkalian skalar bersifat
distributif
terhadap penjumlahan vektor
|
a
(
u
+
v
) =
a
u
+
a
v
|
Perkalian skalar bersifat distributif terhadap penjumlahan pada medan
|
(
a
+
b
)
v
=
a
v
+
b
v
|
Perkalian skalar bersifat distributif terhadap perkalian pada medan
|
a
(
b
v
) = (
ab
)
v
[a]
|
Perkalian skalar memiliki elemen invers
|
Untuk setiap
v
di
V
, berlaku hubungan
1
v
=
v
, dengan
1
menandakan
identitas perkalian
di
F
.
|
Empat aksioma yang pertama mengartikan bahwa
V
adalah suatu
grup Abelian
dalam penjumlahan.
Elemen dari suatu ruang vektor yang spesifik dapat berupa objek yang beragam. Sebagai contoh, elemen ini dapat berupa
deret
,
fungsi
,
polinomial
, atau
matriks
. Aljabar linear berfokus pada sifat-sifat objek tersebut yang sama dengan semua ruang vektor lainnya.
Peta linear adalah
pemetaan
antara dua ruang vektor yang mengawetkan struktur dari ruang vektor. Diberikan dua ruang vektor
V
dan
W
atas medan
F
, suatu pet linear adalah
pemetaan
yang memenuhi perkalian dan penjumlahan skalar, dengan kata lain, memenuhi
Untuk sembarang vektor
u
,
v
di
V
dan skalar
a
di
F
. Hal ini mengakibatkan untuk sembarang vektor
u
,
v
di
V
dan skalar
a
,
b
di
F
, berlaku hubungan
Ketika
V
=
W
, pemetaan linear
juga disebut sebagai
operator linear
di
V
. Peta linear yang
bijektif
antara dua ruang vektor, yakni yang memetakan setiap elemen di satu ruang vektor dengan tepat satu elemen di ruang vektor yang lain, disebut sebagai suatu
isomorfisme
. Karena isomorfisme mengawetkan struktur linear, dua ruang vektor yang isomorfik "pada dasarnya sama" dalam sudut pandang aljabar linear, dalam artian mereka berdua tidak dapat dibedakan dengan menggunakan sifat-sifat ruang vektor. Satu masalah penting dalam aljabar linear adalah menentukan apakah suatu peta linear bersifat isomorfik; dan jika tidak isomorfik, menentukan
citra
dan himpunan dari elemen-elemen yang dipetakan ke vektor nol, yang disebut sebagai
kernel
dari peta tersebut. Masalah-masalah ini dapat diselesaikan dengan
eliminasi Gauss
, atau variasinya.
Seperti banyak struktur matematika lainnya, mempelajari
subset
dari ruang vektor yang juga berupa ruang vektor akibat suatu operasi adalah hal yang penting. Subset ini disebut dengan
subruang linear
. Secara formal, suatu subruang linear dari ruang vektor
V
atas lapangan
F
adalah suatu
subset
W
dari
V
yang memenuhi
u
+
v
dan
a
u
berada di dalam
W
, untuk setiap
u
,
v
di
W
, dan setiap
a
di
F
. (Definisi tersebut cukup untuk menyimpulkan bahwa
W
adalah suatu ruang vektor.) Sebagai contoh, untuk pemetaan linear
,
citra
T
(
V
)
dari
V
, dan invers dari citra
T
?1
(
0
)
dari
0
(dikenal sebagai
kernel
atau ruang nol), masing-masing adalah subruang linear dari
W
dan
V
.
Cara penting yang lain untuk membentuk suatu subruang adalah dengan menggunakan
kombinasi linear
vektor-vektor dari himpunan
S
. Cara ini menghasilkan himpunan berisi vektor-vektor dengan bentuk
dengan
v
1
,
v
2
, ...,
v
k
berada di
S
, dan
a
1
,
a
2
, ...,
a
k
berada di
F
. Himpunan tersebut membentuk subruang linear yang disebut
span
dari
S
. Span dari
S
juga merupakan irisan dari semua subruang linear yang mengandung
S
. Dengan kata lain, span ini adalah subruang linear terkecil (pada relasi subset) yang mengandung
S
.
Suatu himpunan vektor dikatakan saling
bebas linear
jika tidak ada vektor yang berada di span vektor-vektor yang lain. Secara ekuivalen, suatu himpunan vektor-vektor
S
saling bebas linear jika satu-satunya cara menyatakan vektor nol sebagai kombinasi linear vektor-vektor di
S
adalah dengan memilih 0 untuk setiap koefien
Suatu himpunan vektor yang menjadi merentang (
span
) suatu ruang vektor disebut
himpunan span
. Jika himpunan span
S
bergantung linear
(yakni tidak bebas linear), maka ada vektor
w
di
S
yang berada di span vektor-vektor
S
yang lain, dan span dari
S
tidak akan berubah walau
w
dibuang. Langkah membuang vektor ini dapat diulangi sampai semua elemen
S
bebas linear. Himpunan span yang saling bebas linear yang merentang suatu ruang vektor
V
disebut sebagai suatu
basis
bagi
V
. Basis memiliki keunikan karena ia adalah himpunan span dari
V
yang terkecil sekaligus himpunan terbesar yang mengandung vektor-vektor di
V
. Secara lebih formal, jika
S
adalah himpunan yang bebas linear, dan
T
adalah himpunan span dengan
maka ada suatu basis
B
sedemikian sehingga
Ruang vektor
V
dapat memiliki beberapa basis berbeda. Sembarang dua basis dari
V
memiliki
kardinalitas
yang sama, yang disebut sebagai
dimensi
dari
V
. Lebih lanjut, dua ruang vektor atas medan
F
yang sama saling
isomorfik
jika dan hanya jika kedua raung vektor tersebut memiliki dimensi yang sama.
[7]
Jika salah satu basis bagi
V
(dan akibatnya semua basis) memiliki banyak elemen yang berhingga,
V
disebut
ruang vektor dimensi hingga
. Jika
U
adalah subruang dari
V
, maka
dim
U
≤ dim
V
. Pada kasus ketika
V
berdimensi hingga, persamaan dari pernyataan tersebut terjadi ketika
U
=
V
.
Jika
U
1
dan
U
2
adalah subruang dari
V
, maka
dengan
menyatakan span dari
[8]
Matriks memungkinkan manipulasi
ruang vektor
berdimensi hingga dan
peta linear
secara eksplisit. Teori tentang matriks selanjutnya menjadi bagian penting dalam aljabar linear.
Misalkan
V
adalah ruang vektor berdimensi hingga atas medan
F
, dan
(
v
1
,
v
2
, ...,
v
m
)
menjadi basis bagi
V
(sehingga
m
adalah dimensi dari
V
). Dengan menggunakan definisi basis, pemetaan
adalah suatu
bijeksi
dari
yakni himpunan berisi
barisan
m
elemen yang diambil dari
F
, ke
V
. Ini adalah suatu
isomorfisme
ruang vektor, jika
dilengkapi oleh struktur ruang vektor yang standarnya, yakni dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar dilakukan komponen demi komponen. Isomorfisme ini memungkinan untuk merepresentasikan suatu vektor di
V
dengan menggunakan
vektor koordinat
atau dengan vektor
Selanjutnya, jika
W
adalah ruang vektor dimensi hingga yang lain (atau mungkin yang sama), dengan basis
suatu peta linear
f
dari
W
ke
V
terdefinisi pasti (
well defined
) lewat nilai-nilai fungsi pada elemen-elemen basisnya, yakni
Sehingga, jika
untuk
j
= 1, ...,
n
, maka
f
dapat dinyatakan sebagai matriks dengan
m
baris dan
n
kolom
Perkalian matriks
didefinisikan sedemikian sehingga hasil perkalian yang didapat merepresentasikan
komposisi
peta-peta linear dari matriks-matriks yang bersesuaian. Sedangkan perkalian matriks dengan vektor (matriks kolom) merepresentasikan hasil dari melakukan pemetaan linear kepada vektor tersebut. Dari diskusi ini disimpulkan bahwa teori ruang vektor berdimensi hingga dan teori matriks adalah dua bahasa berbeda untuk mengekspresikan satu konsep yang sama.
Dua matriks yang mewakili pemetaan linear yang sama tapi dalam basis yang berbeda disebut
matriks yang serupa
. Dapat ditunjukkan bahwa dua matriks serupa jika dan hanya jika satu matriks dapat diubah menjadi matriks yang lainnya hanya dengan melakukan
operasi-operasi matriks elementer
. Untuk suatu matriks yang mewakili pemetaan linear dari
W
ke
V
, operasi baris elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di
V
sedangkan operasi kolom elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di
W
. Setiap matriks serupa dengan
matriks identitas
dengan mungkin tambahan beberapa kolom nol dan/atau baris nol. Dalam bahasa ruang vektor, ini mengartikan untuk semua pemetaan linear dari
W
ke
V
, ada basis sehingga sebagian basis di
W
dipetakan secara bijektif menjadi bagian dari basis
V
, sedangkan sisa basis
W
yang lain, jika ada, akan dipetakan ke vektor nol.
Eliminasi Gauss
adalah algoritme dasar untuk menentukan operasi-operasi elementer yang diperlukan, dan membuktikan hasil-hasil pada diskusi ini.
Sebuah
himpunan hingga
berisi persamaan-persamaan linear, masing-masing dengan terhingga banyaknya variabel, contohnya
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
atau
x
,
y
, ...,
z
, disebut sebagai
sistem persamaan linear
atau
sistem linear
.
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
Sistem linear membentuk bagian penting dalam aljabar linear. Dari sisi sejarah, aljabar linear dan teori matriks dikembangkan untuk menyelesaikan sistem tersebut. Dalam perkembangan modern saat ini, dimana aljabar linear dinyatakan lewat ruang vektor dan matriks, banyak masalah dinyatakan dalam bentuk sistem linear. Sebagai contoh, misalkan
-
|
|
(
S
)
|
adalah sistem linear yang menyatakan suatu masalah. Sistem linear tersebut dapat diasosiasikan dengan matriks
yang berisi semua koefisien di ruas kiri, dan vektor
yang berisi semua nilai di ruas kanan. Misalkan juga
T
adalah transformasi linear yang berasosiasi dengan matriks
M
. Sebuah solusi dari sistem (
S
) adalah vektor
yang memenuhi
yakni sebuah elemen yang menjadi
pracitra
dari
v
oleh pemetaan
T
.
Misalkan (
S′
) adalah sistem homogen yang berasosiasi dengan (
S
), yakni sistem persamaan linear dengan semua nilai pada ruas kanan sama dengan nol:
-
|
|
(
S′
)
|
Himpunan solusi dari (
S′
) adalah elemen-elemen dari
kernel
T
, atau secara ekuivalen, kernel dari
M
.
Solusi dari sistem linear dapat ditemukan dengan melakukan proses
eliminasi Gauss-Jordan
pada matriks gabungan
Pross eliminasi ini adalah serangkaian
operasi baris dasar
yang mengubah matriks ke dalam
bentuk eselon baris tereduksi
. Pada contoh ini, bentuk eselon baris tereduksi-nya adalah
menunjukkan bahwa sistem (
S
) memiliki solusi unik
Interpretasi matriks dari sistem linear juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan operasi-operasi matriks dan transformasi linear lainnya, seperti menghitung
rank
,
kernel
, dan
invers matriks
.
Sebuah
endomorfisme
linear adalah
peta linear
yang memetakan suatu ruang vektor
V
ke dirinya sendiri. Jika
V
memiliki basis berisi
n
elemen, endomorfisme tersebut dapat dinyatakan oleh sebuah matriks persegi berukuran
. Berhubungan dengan pemetaan linear secara umum, endomorfisme linear dan matriks persegi memiliki beberapa sifat khusus yang membuat mereka memainkan peran penting dalam aljabar linear.
Determinan
dari suatu matriks persegi
A
didefinisikan sebagai
[14]
dengan
S
n
adalah
grup dari semua permutasi
n
elemen,
σ
adalah sebuah permutasi, dan
(?1)
σ
adalah
paritas
dari permutasi. Sebuah matriks disebut
terbalikkan
(
invertible
) jika dan hanya jika nilai determinannya dapat dibalik (diinvers), dengan kata lain, nilainya tidak sama dengan nol.
Kaidah Cramer
adalah rumus yang dinyatakan dalam bentuk determinan, dan dapat digunakan untuk mencari solusi sistem linear dengan
n
persamaan dan
n
variabel. Kaidah Cramer berguna untuk menjelaskan solusi yang ditemukan, namun kecuali untuk
n
= 2
atau
3
, kaidah tersebut jarang digunakan untuk mencari solusi. Algoritma yang lebih cepat untuk mencari solusi adalah
eliminasi Gauss
.
Jika
f
adalah endomorfisme linear dari suatu ruang vektor
V
atas suatu
medan
F
,
vektor eigen
dari
f
adalah vektor tak-nol
v
di
V
sedemikian sehingga
f
(
v
) =
av
untuk suatu skalar
a
di
F
. Skalar
a
ini disebut sebagai nilai eigen dari
f
.
Jika dimensi dari
V
hingga, dan sebuah basis telah dipilih,
f
dan
v
dapat direpresentasikan masing-masing oleh sebuah matriks persegi
M
dan sebuah matriks kolom
z
; Persamaan yang mendefinisikan vektor eigen dan nilai eigen selanjutnya dapat ditulis ulang sebagai
Menggunakan
matriks identitas
I
, matriks dengan semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan semua elemen lainnya bernilai 0, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai
Karena
z
bukan vektor nol, ekspresi
M
?
aI
menyatakan suatu
matriks singular
yang nilai determinannya,
det (
M
?
aI
)
, sama dengan nol.
- ^
Aksioma ini tidak mengartikan sifat asosiatif dari suatu operasi, karena ada dua operasi yang terjadi: perkalian skalar
bv
; dan perkalian pada medan
ab
.
- ^
Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014),
Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics
, Texts in Statistical Science (edisi ke-1st), Chapman and Hall/CRC,
ISBN
978-1420095388
- ^
Strang, Gilbert (July 19, 2005),
Linear Algebra and Its Applications
(edisi ke-4th), Brooks Cole,
ISBN
978-0-03-010567-8
- ^
Weisstein, Eric.
"Linear Algebra"
.
From MathWorld--A Wolfram Web Resource
. Wolfram
. Diakses tanggal
16 April
2012
.
- ^
Hart, Roger (2010).
The Chinese Roots of Linear Algebra
.
JHU Press
.
ISBN
9780801899584
.
- ^
a
b
c
d
Vitulli, Marie
.
"A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory"
.
Department of Mathematics
. University of Oregon. Diarsipkan dari
versi asli
tanggal 2012-09-10
. Diakses tanggal
2014-07-08
.
- ^
(
Roman 2005
, ch. 1, p. 27)
- ^
Axler (2015)
p. 82, §3.59
- ^
Axler (2015)
p. 23, §1.45
- ^
(
Anton 1987
, hlm. 2)
- ^
(
Beauregard & Fraleigh 1973
, hlm. 65)
- ^
(
Burden & Faires 1993
, hlm. 324)
- ^
(
Golub & Van Loan 1996
, hlm. 87)
- ^
(
Harper 1976
, hlm. 57)
- ^
(
Katznelson & Katznelson 2008
) pp. 76–77, § 4.4.1–4.4.6
- Anton, Howard (1987),
Elementary Linear Algebra
(edisi ke-5th), New York:
Wiley
,
ISBN
0-471-84819-0
- Axler, Sheldon
(2015),
Linear Algebra Done Right
,
Undergraduate Texts in Mathematics
(edisi ke-3rd),
Springer Publishing
,
ISBN
978-3-319-11079-0
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973),
A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields
, Boston:
Houghton Mifflin Company
,
ISBN
0-395-14017-X
- Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993),
Numerical Analysis
(edisi ke-5th), Boston:
Prindle, Weber and Schmidt
,
ISBN
0-534-93219-3
- Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996),
Matrix Computations
, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (edisi ke-3rd), Baltimore:
Johns Hopkins University Press
,
ISBN
978-0-8018-5414-9
- Halmos, Paul Richard
(1974),
Finite-Dimensional Vector Spaces
,
Undergraduate Texts in Mathematics
(edisi ke-1958 2nd),
Springer Publishing
,
ISBN
0-387-90093-4
,
OCLC
1251216
- Harper, Charlie (1976),
Introduction to Mathematical Physics
, New Jersey:
Prentice-Hall
,
ISBN
0-13-487538-9
- Katznelson, Yitzhak
; Katznelson, Yonatan R. (2008),
A (Terse) Introduction to Linear Algebra
,
American Mathematical Society
,
ISBN
978-0-8218-4419-9
- Roman, Steven
(March 22, 2005),
Advanced Linear Algebra
,
Graduate Texts in Mathematics
(edisi ke-2nd), Springer,
ISBN
978-0-387-24766-3
|
---|
Umum
| |
---|
Perpustakaan nasional
| |
---|
Lain-lain
| |
---|