Integral tentu dari fungsi positif satu variabel yang mewakili
luas
daerah antara grafik fungsi dan sumbu-
x
. Mirip dengan sebelumnya,
integral lipat dua
dari fungsi positif dua variabel mewakili
volume
daerah antara permukaan yang didefinisikan melalui fungsi (di
bidang Kartesius
berdimensi tiga, dengan
z
=
f
(
x
,
y
)
) dan bidang yang memuat
domain
fungsinya.
[1]
Integral lipat akan memberikan
hipervolume
dari fungsi multidimensi jika ada banyaknya variabel.
Pengintegralan banyak dari fungsi dalam variabel
n
:
f
(
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
)
pada domain
D
biasanya diwakili oleh simbol integral bersarang yang dihitung dalam urutan yang terbalik (integral paling sebelah kiri dihitung terakhir), ditunjukkan oleh fungsi dan argumen integran dalam urutan wajar (integral pada argumen paling sebelah kanan dihitung terakhir). Domain pengintegralannya mewakili secara simbolis untuk setiap argumen pada simbol integral, atau disingkat oleh variabel di simbol integral paling sebelah kanan:
[2]
-
Karena konsep
antiturunan
hanya didefinisikan untuk fungsi satu variabel real, definisi
integral taktentu
biasanya tidak langsung memperluas ke integral lipat.
Untuk
n
> 1
, misalkan
T
adalah domain
hyperrectangle
berdimensi
n
, dengan interval "setengah terbuka". Maka, secara matematis didefinisikan sebagai
-
Partisi
masing-masing interval
[
a
j
,
bj
)
dengan keluarga hingga
I
j
dari subinterval tak-bertindih
i
j
α
, dengan masing-masing subinterval tertutup di sebelah kiri dan terbuka di sebelah kanan. Maka, keluarga hingga dari
subrectangle
C
yang dinyatakan sebagai
-
merupakan
partitisi
dari
T
. Dalam artian,
subrectangle
C
k
tak bertindih dan gabungan dari interval tersebut adalah
T
. Agar dapat menjelaskan lebih lanjut, misalkan
f
?:
T
→
R
adalah fungsi yang didefinisikan oleh
T
. Misalkan pula partisi
C
dari
T
seperti yang didefinsikan sebelumnya, sehingga
C
adalah keluarga dari
subrectangle
m
, dinyatakan sebagai
C
m
. Secara matematis, ditulis sebagai
-
Kita dapat menghitung hampiran dari total volume berdimensi
(
n
+ 1)
dengan batas bawahnya adalah
hyperrectangle
T
berdimensi
n
dan batas atasnya adalah grafik
f
berdimensi
n
. Hal ini dapat ditunjukkan melalui
jumlah Riemann
:
-
dengan
P
k
adalah titik di
C
k
dan
m(
C
k
)
merupakan hasilkali dari panjang interval yang hasilkali Kartesius adalah
C
k
, juga dikenal sebagai ukuran dari
C
k
.
Diameter
suatu
subrectangle
C
k
merupakan panjang interval paling terbesar, dengan
hasilkali Cartesiusnya
adalah
C
k
. Diameter dari partisi
T
yang diberikan dinyatakan sebagai diameter terpanjang dari
subrectangle
dalam partisi. Secara intuitif, ketika diameter dari partisi
C
dibatasi lebih kecil dan lebih kecil lagi, jumlah
subrectangle
m
semakin besar, dan ukuran
m(
C
k
)
dari masing-masing
subrectangle
semakin kecil. Fungsi
f
dikatakan
terintegralkan Riemann
jika
limit
-
ada, dengan limitnya mengambil semua partisi
T
yang mungkin dari diameter setidaknya
δ
.
[3]
Jika
f
adalah terintegralkan Riemann, maka
S
disebut
integral Riemann
dari
f
pada
T
dan dinyatakan sebagai
-
atau bentuk integral di atas seringkali disingkat sebagai
-
dengan
x
mewakili
(
x
1
, …,
x
n
)
kelipatan
n
dan
d
n
x
merupakan
diferensial
volume berdimensi
n
.
Integral Riemann suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi
n
dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.
Integral Riemann berdimensi
n
disebut
integral lipat
.
Ada banyak sifat integral lipat yang sama dengan sifat integral dari fungsi satu variabel seperti linearitas, komutitativitas, kemonotonan, dan sebagainya. Sifat yang penting mengenai integral lipat adalah bahwa nilai suatu integral adalah bebas dari urutan integran terhadap syarat-syarat tertentu. Sifat populer ini dikenal sebagai
teorema Fubini
.
[4]
Ada berbagai kasus istimewa terkait dengan integral lipat.
Integral lipat dua
dari
f
di
T
ditulis
-
untuk kasus
,
sedangkan
integral lipat tiga
dari
f
di
T
ditulis
-
untuk kasus
.
Perhatikan bahwa menurut konvensi, integral lipat ganda mempunyai dua tanda integral, sedangkan integral lipat tiga mempunyai tiga tanda integral.
Metode-metode pengintegralan
sunting
Pada beberapa kasus, penyelesaian masalah terkait dengan integral lipat melibatkan sebuah pencarian mengenai cara untuk mereduksi integral lipat menjadi
integral teriterasi
, sebuah deret dari integral satu variabel, yang masing-masing integral dapat diselesaikan langsung. Namun, hal ini dibenarkan melalui
teorema Fubini
, asalkan fungsinya
kontinu
. Terkadang metode ini dapat memperoleh hasil pengintegralan dengan menguji langsung tanpa melakukan perhitungan apapun.
Berikut adalah beberapa contoh-contoh terkait metode-metode pengintegralan:
[1]
Ketika integrannya adalah
fungsi konstan
c
, integral dari fungsi tersebut sama dengan hasil kali dari
c
dan ukuran domain pengintegralan. Jika
c
= 1
dan domainnya merupakan subdaerah dari
R
2
, maka integral memberikan luas daerah. Namun jika domainnya merupakan subdaerah dari
R
3
, maka integral memberikan volume daerah.
Contoh.
Misalkan
f
(
x
,
y
) = 2
dan
-
maka integral darinya adalah
-
karena menurut definisi, diperoleh:
-
Ketika domain pengintegralan adalah simetri terhadap asalnya, yang terhadap salah satu variabel pengintegralan, dan integran adalah
fungsi ganjil
terhadap variabel tersebut, maka integralnya sama dengan nol, ketika integral pada dua bagian domain memiliki nilai mutlak yang sama, namun dengan tanda yang berlawanan. Ketika integran adalah
fungsi genap
terhadap variabel tersebut, maka integralnya dua kali integral pada satu bagian domain, ketika integral pada dua bagian domain adalah sama.
Contoh 1.
Tinjau fungsi
f
(
x
,
y
) = 2 sin(
x
) ? 3
y
3
+ 5
diintegralkan pada domain
-
sebuah cakram
berjari-jari
1 yang berpusat di titik asalnya dengan batas yang ditentukan.
Dengan menggunakan sifat linearitas, integral dari fungsi tersebut dapat diurai menjadi tiga bagian integral:
-
Fungsi
2 sin(
x
)
adalah fungsi ganjil di variabel
x
dan cakram
T
simetri terhadap sumbu-
y
, sehingga nilai dari integral pertama adalah 0. Mirip contoh sebelumnya, fungsi
3
y
3
adalah fungsi ganjil dari
y
, dan
T
simetri terhadap sumbu-
x
, dan seterusnya hingga mencapai hasil akhir, yaitu nilai dari integral ketiga. Jadi, integral aslinya sama dengan 5 kalinya dari luas cakram, yaitu 5
π
.
Contoh 2.
Tinjau fungsi
f
(
x
,
y
,
z
) =
x
exp(
y
2
+
z
2
)
dan ketika mengintegralkan daerah
bola
berjari-jari 2, yang berpusat di titik asli,
-
maka "bola" tersebut simetri dengan tiga sumbu. Namun, hal ini cukup mengintegralkannya terhadap sumbu-
x
untuk memperlihatkan bahwa hasilnya adalah 0, karena fungsinya adalah ganjil dari variabel tersebut.
Integral ganda di atas persegi panjang
sunting
Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel
f
di suatu wilayah
A
:
-
Dari sini kami merumuskan integral iterasi
-
Integral bagian dalam dilakukan terlebih dahulu, berintegrasi dengan
x
dan mengambil
y
sebagai konstanta, karena ini bukan
variabel integrasi
. Hasil integral ini, yang merupakan fungsi yang hanya bergantung pada
y
, kemudian diintegrasikan sehubungan dengan
y
.
-
Kami kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan
y
.
-
Dalam kasus di mana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan integrasi dapat dipertukarkan, yaitu,
x
pertama dan mengintegrasikan sehubungan dengan
y
pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah
Teorema Fubini
. Misalnya, melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasil yang sama:
-
Integral ganda di atas domain normal
sunting
Example: double integral over the normal region
D
Pertimbangkan wilayahnya (lihat grafik di contoh):
-
Hitung
-
Domain ini normal dalam kaitannya dengan
x
dan
y
sumbu. Untuk menerapkan rumus, diperlukan untuk menemukan fungsi yang menentukan
D
dan interval di mana fungsi ini didefinisikan. Dalam hal ini kedua fungsi tersebut adalah:
-
sedangkan interval diberikan oleh perpotongan fungsi dengan
x
?=?0, jadi interval dari [
a
,?
b
] = [0,?1] (normalitas telah dipilih sehubungan dengan sumbu
x
untuk pemahaman visual yang lebih baik).
Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan rumus:
-
(pada awalnya integral kedua dihitung dengan mempertimbangkan
x
sebagai konstanta). Operasi yang tersisa terdiri dari penerapan teknik dasar integral:
-
Bila kita memilih normalitas sehubungan dengan sumbu
y
- kita dapat menghitung
-
dan mendapatkan nilai yang sama.
Example of domain in
R
3
that is normal with respect to the
xy
-plane.
Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.
- Tabung
: Volume tabung dengan tinggi
h
dan dasar lingkaran jari-jari
R
dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta
h
di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.
-
Ini sesuai dengan rumus volume sebuah
prisma
-
- Bola
: Volume bola dengan jari-jari
R
dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas bola, menggunakan koordinat bola.
-
- Tetrahedron
(segitiga
piramida
atau 3 -
simpleks
): Volume tetrahedron dengan puncaknya pada titik asal dan tepi panjang
ℓ
sepanjang
x
-,
y
- dan
z
-sumbu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas tetrahedron.
-
- Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah
piramida
-
Example of an improper domain.
Beberapa integral tak wajar
sunting
Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan
integral tidak tepat
rangkap dua
atau
integral tidak tepat rangkap tiga
.
- Teorema
analisis
utama yang menghubungkan beberapa integral: