Dalam
matematika
,
fungsi trigonometri
merupakan
fungsi real
yang mengaitkan sudut dari
segitiga bersiku
dengan perbandingan antara dua sisi segitiga. Fungsi ini memiliki penerapan yang sangat luas dalam bidang sains terkait dengan
geometri
(misalnya navigasi,
geodesi
,
mekanika benda langit
,
mekanika zat padat
, dan cabang lainnya). Fungsi ini merupakan contoh
fungsi periodik
paling sederhana, dan juga memiliki penerapan yang sangat luas dalam mempelajari fenomena periodik melalui
analisis Fourier
.
Dasar trigonometri mengatakan bahwa jika dua
segitiga siku-siku
mempunyai
sudut lancip
yang sama, maka segitiga dikatakan
sebangun
sehingga panjang sisinya
sebanding
.
Fungsi trigonometri seperti
sinus
,
kosinus
, dan
tangen
merupakan fungsi yang paling sering dipakai dalam
matematika modern
; sedangkan fungsi
inversnya
seperti
kosekan
,
sekan
, dan
kotangen
jarang dipakai. Masing-masing keenam fungsi tersebut mempunyai
fungsi invers
yang sama dan sejalan di antara
fungsi hiperbolik
.
Definisi fungsi trigonometri terlama, yang berkaitan dengan segitiga bersudutkan siku-siku, hanya mendefinisikannya untuk
sudut lancip
. Secara geometris, fungsi sinus dan kosinus seringkali dapat diperluas menjadi fungsi yang mempunyai
domain
yang mengandung seluruh
garis bilangan real
, maka domain fungsi lainnya adalah garis bilangan real dengan setiap titik terpencilnya hilang. Definisi modern yang mengekspresikan fungsi trigonometri sebagai
deret takhingga
atau sebagai penyelesai dari
persamaan diferensial
, memungkinkan perluasan domain dari fungsi sinus dan kosinus menjadi domain yang mengandung seluruh
bidang kompleks
, dan domain dari fungsi trigonometri lain menjadi domain mengandung bidang kompleks dengan setiap titik terpencilnya hilang.
Fungsi trigonometri biasanya menyingkatkan namanya menggunakan tiga huruf, contohnya:
sinus
disingkat "sin",
kosinus
"cos",
tangen
disingkat "tan",
sekan
disingkat "sec",
kosekan
disingkat "csc",
[a]
dan
kotangen
disingkat "cot". Terlebih lagi, fungsi trigonometri juga menggunakan
notasi fungsional
, misalnya
sin(
x
)
. Tanda kurung wajib digunakan karena dapat menimbulkan kebingungan. Sebagai contohnya seperti fungsi
dapat dipandang sebagai
atau juga dapat dipandang sebagai
.
Tidak seperti notasi fungsi lainnya,
bilangan bulat positif
yang muncul sebagai superskrip setelah simbol fungsi, bukan dinyatakan sebagai perpangkatan terhadap
komposisi fungsi
, melainkan dinyatakan sebagai perkalian teriterasi. Sebagai contoh,
dan
berarti
, bukan
.
Eksponen
biasanya dipakai untuk menyatakan
fungsi invers
, bukan
invers perkalian
. Sebagai contoh,
dan
menyatakan
fungsi invers trigonometri
, dan notasi tersebut dapat ditulis pula sebagai
. Persamaan
menyiratkan
, bukan
. Pada kasus tersebut, superskrip
dapat
dipandang untuk menyatakan
fungsi yang berulang
, tetapi superskrip yang bernilai negatif selain
jarang dipakai.
Dalam segitiga siku-siku
BAC
, ketiga fungsi trigonometri dari sudut
A
dinyatakan sebagai:
sin
A
=
a
c
,
cos
A
=
b
c
, dan
tan
A
=
a
b
.
Plot dari enam fungsi trigonometri, lingkaran satuan, dan sebuah garis yang membentuk sudut dengan sumbu-
x
sebesar
θ
= 0,7 rad
.Pada plot tersebut, terdapat titik-titik yang dilabeli
1
,
Sec(
θ
)
,
Csc(
θ
)
mewakili panjang ruas garis yang ditarik dari titik asal ke titik tersebut. Titik-titik seperti
Sin(
θ
)
,
Tan(
θ
)
, dan
1
merupakan panjang garis yang ditarik dari sumbu-
x
, sedangkan titik seperti
Cos(
θ
)
,
1
, dan
Cot(
θ
)
merupakan panjang di sekitar sumbu-
x
yang ditarik dari titik asal.
Jika sudut lancip dinyatakan sebagai
θ
, maka setiap sudut siku-siku yang mempunyai sudut
θ
dikatakan
sebangun
terhadap satu sama lain; dalam artian, perbandingan dari setiap dua panjang sisinya hanya bergantung pada
θ
. Jadi, keenam perbandingan tersebut mendefinisikan enam fungsi trigonometri dari
θ
. Definisi berikut mengatakan bahwa
hipotenusa
(sisi miring) merupakan panjang dari sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku, sisi depan merupakan panjang sisi yang berhadap dari sudut
θ
, dan sisi samping merupakan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut
θ
dan sudut siku-siku.
[1]
[2]
- sinus
-
|
- kosekan
-
|
- kosinus
-
|
- sekan
-
|
- tangen
-
|
- kotangen
-
|
Dalam segitiga siku-siku, jumlah dari dua sudut lancip sama dengan sudut siku-siku, yaitu
90°
atau
π
2
radian
. Karena itu,
dan
mewakili perbandingan yang sama sehingga menjadi sama. Identitas dan kaitan antara fungsi trigonometri lainnya yang sejalan diringkas dalam tabel berikut.
Gambar atas:
Fungsi trigonometri
sin
θ
untuk sudut
θ
,
π
?
θ
,
π
+
θ
, dan
2
π
?
θ
dalam empat kuadran.
Gambar bawah:
Perbandingan grafik fungsi dengan sudut sinus. Sudut-sudut dari panel di atas diidentifikasi
Ringkasan mengenai kaitan antara fungsi trigonometri
[3]
Fungsi
|
Penjelasan
|
Kaitan
|
dalam bentuk
radian
|
dalam bentuk
derajat
|
sinus
|
depan
miring
|
|
|
kosinus
|
samping
miring
|
|
|
tangen
|
depan
samping
|
|
|
kotangen
|
samping
miring
|
|
|
sekan
|
miring
samping
|
|
|
kosekan
|
miring
depan
|
|
|
Perbandingan radian dengan derajat
sunting
Dalam penerapan geometri, argumen fungsi trigonometri umumnya merupakan ukuran
sudut
. Setiap
sudut
biasanya diukur dan satuan konvensional berupa
derajat
. Sebagai contoh, sudut siku-siku ditulis 90° dan putaran penuh ditulis 360°.
[b]
Namun dalam
kalkulus
dan
analisis matematika
, fungsi trigonometri umumnya dipandang lebih abstrak sebagai fungsi
real
ataupun
kompleks
, bukan sudut. Bahkan fungsi sepeti
sin
dan
cos
dapat didefinisikan untuk semua bilangan kompleks dalam bentuk
fungsi eksponensial
melalui deret pangkat,
[4]
atau dapat didefinisikan sebagai penyelesaian nilai awal khusus terhadap
persamaan diferensial
(lihat
dibawah
).
[5]
Definisi tersebut tidak mengacu pada gagasan dalam geometri. Adapun empat fungsi lainnya seperti
tan
,
cot
,
sec
, dan
csc
dapat didefinisikan sebagia hasil-bagi dan timbal balik dari
sin
dan
cos
, kecuali ketika nol muncul di penyebut. Untuk argumen real, hal ini dapat dibuktikan bahwa definisi tersebut sesuai dengan definisi geometri elementer
jika argumennya dipandang sebagai sudut yang dinyatakan dalam bentuk radian
.
[4]
Lebih lanjut, definisi tersebut memberikan hasil dalam bentuk yang sederhana untuk
turunan
dan
integral taktentu
dari fungsi trigonometri.
[6]
Jadi dalam cabang selain geometri elementer, radian dipandang sebagai satuan alami dalam matematika untuk menjelaskan ukuran setiap sudut.
Ketika satuan yang dipakai adalah
radian
, maka sudut dinyatakan sebagai panjang
busur
dari
lingkaran satuan
yang berhadapan dengannya. Sebagai contoh, sudut yang berhadapan dengan busur dengan panjang 1 di lingkaran satuan adalah 1 rad (? 57,3°), dan
putaran
penuh (360°) sama dengan 2
π
(? 6,28) rad. Untuk bilangan real
x
, notasi
sin
x
,
cos
x
, dst. mengacu pada nilai dari fungsi trigonometri yang dihitung pada sudut
x
rad. Jika satuan yang dimaksud adalah derajat, maka tanda derajat harus diperlihatkan secara eksplisit (sebagai contoh,
sin
x
°
,
cos
x
°
, dsb.). Dengan menggunakan notasi yang standar, argumen dari
x
untuk fungsi trigonometri memenuhi kaitan dari rumus
-
sehingga, sebagai contoh,
sin
π
= sin 180°
ketika
x
=
π
. Dalam cara ini, simbol derajat dapat dipandang sebagai sebuah konstanta matematika, sehingga
1° =
π
180
? 0,0175
.
Definisi fungsi trigonometri melalui lingkaran satuan
sunting
Pada gambar, ada enam fungsi trigonometri bersudutkan sembarang
θ
yang diwakili sebagai
koordinat Cartesius
dari titik yang dikaitkan dengan
lingkaran satuan
. Masing-masing ordinat
A
,
B
dan
D
merupakan nilai dari
sin
θ
,
tan
θ
dan
csc
θ
, sedangkan masing-masing absis dari
A
,
C
dan
E
merupakan nilai
cos
θ
,
cot
θ
dan
sec
θ
.
Enam fungsi trigonometri dapat didefinisikan sebagai
nilai dari titik koordinat
di
bidang Euklides
yang berkaitan dengan sebuah lingkaran berjari-jari satu yang berpusat di titik asal
O
dari koordinat sistem, yaitu
lingkaran satuan
. Sedangkan
definisi segitiga bersiku
yang memungkinkan definisi fungsi trigonometri untuk sudut di antara
0
dan
radian
(90°),
maka definisi lingkaran satuan memungkinkan bahwa domain dari fungsi trigonometri diperluas untuk semua bilangan real positif dan negatif.
Misalkan
adalah
sinar
yang didapatkan dengan memutarnya setengah sudut positif
θ
dari sumbu-
x
(putarannya berlawanan
arah jarum jam
untuk
dan searah jarum jam untuk
). Sinar ini memotong lingkaran satuan di titik
Sinar
jika perlu diperpanjang
garisnya
, memotong garis persamaan
di titik
dan garis persamaan
di titik
Garis yang menyinggung
lingkaran satuan di titik
A
dikatakan
tegaklurus
terhadap
serta memotong sumbu-
y
di titik
dan sumbu-
x
di titik
Koordinat
dari titik tersebut yang memberikan nilai dari semua fungsi trigonometri untuk setiap nilai real sebarang
θ
, dapat dicari sebagai berikut.
Fungsi trigonometri
cos
didefinisikan sebagai nilai koordinat-
x
dari titik
A
, sedangkan fungsi trigonometri
sin
didefinisikan sebagai nilai koordinat-
y
dari titik
A
.
-
and
[7]
Dengan kisaran (
bahasa Inggris
:
range
)
, maka definisi ini bertepatan dengan definisi segitiga sudut siku-siku dengan mengambil segitiga siku-siku agar mempunyai jari-jari lingkaran satuan
OA
sebagai
hipotenusa
. Karena persamaan
berlaku untuk semua titik
pada lingkran satuan, maka definisi kosinus dan sinus ini juga memenuhi
identitas Pythagoras
.
-
Selain kedua fungsi trigonometri di atas, fungsi lainnya dapat ditemukan di sepanjang lingkaran satuan
-
dan
-
dan
Dengan menerapkan identitas Pythagoras dan metode bukti geometri, maka dapat diperlihatkan bahwa definisi ini bertepatan dengan definisi fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan dalam bentuk fungsi sinus dan kosinus. Dengan kata lain,
-
Pada gambar, terdapat fungsi:
Sine
,
Cosine
,
Tangent
,
Cosecant (bergaris titik)
,
Secant (bergaris titik)
,
Cotangent (bergaris titik)
? Untuk animasinya, dapat dilihat di
sini
Karena putaran sudut dari
tidak mengubah posisi atau ukuran bentuk, titik-titik
A
,
B
,
C
,
D
, dan
E
adalah sama untuk dua sudut yang mempunyai selisihnya yang berupakan kelipatan bilangan bulat dari
. Jadi, fungsi trigonometri merupakan
fungsi berkala
dengan periode
. Artinya, persamaan
-
dan
berlaku untuk setiap sudut
θ
dan setiap
bilangan bulat
k
. Hal ini berlaku benar untuk keempat fungsi trigonometri lainnya. Dengan mengamati tanda dan kemonotonan dari fungsi sinus, kosekan, kotangen, dan sekan dalam yang ada di dalam keempat kuadran, maka untuk fungsi-fungsi yang dikatakan periodik dapat diperlihatkan bahwa
merupakan nilai yang paling terkecil (dengan kata lain,
merupakan
periode dasar
dari fungsi tersebut). Namun, saat putaran sudut
, titik
B
dan
C
telah kembali ke posisi awal sehingga fungsi tangen dan fungsi kotangen mempunyai periode dasar dari
. Dengan kata lain, persamaan
-
dan
berlaku untuk setiap sudut
θ
dan setiap bilangan bulat
k
.
Gambar menunjukkan titik-titik dilabeli dengan nilai dari fungsi sinus dan kosinus (sesuai urutannya) di sepanjang
lingkaran satuan
, dan sudut yang sama dalam radian dan derajat.
Bentuk aljabar
yang berupakan sudut yang sangat penting dinyatakan sebagai berikut:
-
(
sudut nol
)
-
-
-
-
(
sudut siku-siku
)
Dengan menulis pembilang sebagai
akar kuadrat
dari bilangan bulat taknegatif berurutan serta penyebutnya adalah 2, maka cara ini dengan mudah mengingat nilai-nilai fungsi trigonometri.
[8]
Namun, bentuk aljabar yang sederhana biasanya tidak ada untuk sudut lainnya yang merupakan kelipatan rasional sudut siku-siku.
- Untuk sudut yang diukur dalam satuan derajat merupakan kelipatan dari tiga,
nilai trigonometri eksak
dari fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk akar kuadrat. Jadi, nilai tersebut dapat dikonstruksi dengan menggunakan
penggaris dan jangka
.
- Untuk sudut berupa bilangan bulat dalam satuan derajat, nilai dari fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk akar kuadrat dan
akar kubik
dari
bilangan kompleks
takreal.
Teori Galois
membuktikan bahwa jika sudut bukan kelipatan dari 3°, maka akar kubik dari bilangan takreal tidak dapat dihindari.
- Untuk sudut yang dinyatakan dalam satuan derajat adalah
bilangan rasional
, nilai fungsi sinus dan kosinus merupakan
bilangan aljabar
yang dapat dinyatakan dalam bentuk
akar ke-
n
. Hasil ini berasal dari suatu pernyataan yang mengatakan bahwa
grup Galois
dari
polinomial siklotomik
dikatakan
siklik
.
- Untuk sudut yang dinyatakan dalam satuan derajat bukanlah bilangan rasional, maka nilai sudut dari fungsi sinus maupun kosinus merupakan
bilangan transendental
. Pernyataan ini merupakan korolari dari
teorema Baker
yang dibuktikan pada tahun 1966.
Berikut ada sebuah tabel yang memuat kumpulan-kumpulan nilai fungsi sinus, kosinus, dan tangen yang merupakan kelipatan dari 15 derajat, dimulai dari 0 derajat sampai dengan 90 derajat.
θ
dalam satuan radian
|
θ
dalam satuan derajat
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
takterdefinisikan
|
Grafik
fungsi sinus, kosinus, dan tangen.
Grafik fungsi sinus (yang berwarna biru) sangat dihampiri oleh grafik
polinomial Taylor
berderajat 7 (yang berwarna merah muda) untuk putaran siklus penuh pada titik asal.
Animasi terkait hampiran kosinus melalui polinomial Taylor.
Grafik dari
dengan polinomial Taylor
Fungsi trigonometri dikatakan
terdiferensialkan
dan
analitik
di setiap titik yang didefinisikannya. Artinya, titik-titik tersebut ada dimana-mana untuk fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus. Titik-titik tersebut ada dimana-mana di fungsi tangen, kecuali di
π
/2 +
k
π
untuk setiap bilangan bulat
k
.
Fungsi trignometri merupakan
fungsi berkala
, dan
periode primitif
nya bernilai
2
π
untuk fungsi sinus dan kosinus, dan
π
untuk fungsi tangen, yang
naik
di masing-masing
selang terbuka
(
π
/2 +
k
π
,
π
/2 + (
k
+ 1)
π
)
. Pada masing-masing titik akhir selang tersebut, fungsi tangen mempunyai
asimtot
yang mengarah vertikal.
Dalam kalkulus, fungsi trigonometri dapat didefinisikan dengan menggunakan
deret kuasa
ataupun
persamaan diferensial
. Namun, menggunakan persamaan diferensial terasa lebih alami saat mendefinisikan fungsi trigonometri, karena, sebagai contoh, pemilihan koefisien dari deret kuasa dapat muncul sebagai bilangan yang cukup sebarang, dan persamaan diferensial juga cukup mudah menyimpulkan identitas Pythagoras.
Definisi dengan menggunakan persamaan diferensial
sunting
Fungsi sinus dan kosinus dapat didefinisikan sebagai penyelesaian tunggal untuk
masalah nilai awal
:
-
Dengan menurunkannya lagi, maka diperoleh
dan
. Jadi, fungsi sinus dan kosinus merupakan penyelesaian untuk
persamaan diferensial biasa
-
Fungsi tangen
dapat diturunkan dengan menerapkan
aturan hasil bagi
dari, maka
-
Dengan menerapkan persamaan diferensial untuk
deret pangkat
dengan koefisien yang belum ditentukan, maka fungsi sinus dan kosinus dapat disimpulkan sebagai
relasi rekurensi
mengenai koefisien
deret Taylor
dari kedua fungsi tersebut. Relasi rekurensinya dapat diselesaikan dengan mudah serta memberikan perluasan deret
[9]
-
Ruji kekonvergenan
dari deret tersebut adalah takhingga. Jadi, fungsi sinus dan kosinus dapat diperluas menjadi
fungsi menyeluruh
, atau fungsi ini disebut "sinus" dan "kosinus"), karena (berdasarkan definisi) fungsi tersebut merupakan
fungsi bernilai kompleks
yang terdefinisi dan
holomorfik
di seluruh
bidang kompleks
.
Ketika kedua fungsi tersebut didefinisikan sebagai pecahan dari fungsi menyeluruh, fungsi trigonometri lainnya dapat diperluas menjadi
fungsi meromorfik
. Hal ini mengartikan bahwa fungsi adalah holomorfik di seluruh bidang kompleks, kecuali ada setiap titik terpencil yang disebut
kutub
. Disini, kutubnya merupakan bilangan-bilangan dari bentuk
untuk fungsi tangen dan fungsi sekan, atau
untuk fungsi kotangen dan fungsi kosekan, dengan
k
adalah bilangan bulat sebarang.
Relasi rekurensi juga dapat dihitung untuk koefisien
deret Taylor
dari fungsi trigonometri lain. Deret-deret ini mempunyai
ruji kekonvergenan
terhingga. Koefisiennya mempunyai pandangan
kombinatorial
, yang mengatakan bahwa koefisiennya menghitung
permutasi selang-seling
dari himpunan hingga.
[10]
Lebih tepatnya, dengan mendefinisikan
U
n
adalah
bilangan atas/bawah
ke-
n
,
B
n
adalah
bilangan Bernoulli
ke-
n
, dan
E
n
adalah
bilangan Euler
ke-
n
, maka ada empat perluasan deret berikut didapatkan.
[11]
-
-
-
-
Perluasan pecahan berlanjut
sunting
Perluasan pecahan berlanjut berikut valid di seluruh bidang kompleks:
-
-
-
Pecahan yang terakhir dipakai pertama kali menurut sejarah dalam
bukti bahwa π irasional
.
[12]
Darab takhingga untuk fungsi sinus sangat penting dalam
analisis kompleks
, yang dinyatakan sebagai:
-
Bukti perluasan darab ini dapat dilihat di
sin
i. Melalui rumus ini, dapat disimpulkan bahwa
-
and
are the real and imaginary part of
respectively.
Rumus Euler
mengaitkan fungsi sinus dan kosinus dengan
fungsi eksponensial
:
-
Rumus ini biasanya dipandang untuk bilangan real
x
, tetapi tetap benar untuk semua bilangan kompleks. Rumus ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Misalkan
dan
. Karena
untuk
j
= 1, 2
, maka menurut kaidah
hasil bagi
,
. Jadi,
adalah fungsi konstan, yang sama dengan
1
, ketika
Hal ini membuktikan rumus tersebut.
Selanjutnya, didapatkan persamaan
dan
. Dengan menyelesaikan
sistem linear
pada fungsi sinus dan kosinus, maka dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial:
-
Ketika
x
adalah bilangan real, kedua fungsi tersebut dapat ditulis ulang sebagai
-
Hampir
identitas trigonometri
dapat dibuktikan dengan memnyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk fungsi eksponensial kompleks melalui rumus di atas, dan kemudian menggunakan identitas
untuk menyederhanakan hasilnya.
Definisi yang menggunakan persamaan fungsional
sunting
Fungsi trigonometri juga dapat didefinisikan dengan menggunakan berbagai
persamaan fungsional
. Sebagai contoh,
[13]
fungsi sinus dan kosinus membentuk pasangan tunggal dari
fungsi kontinu
yang memenuhi rumus selisih.
-
dan ditambah dengan syarat
-
Fungsi sinus dan kosinus dari
bilangan kompleks
dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus, kosinus, dan
hiperbolik
sebagai berikut:
-
Grafik fungsi trigonometri sebagai fungsi bernilai kompleks dapat digambarkan dengan memanfaatkan
pewarnaan domain
. Berbagai tampilan fungsi yang unik hingga fungsi kompleks dapat dilhat dari grafik; contohnya dapat dilihat bahwa fungsi sinus dan kosinus menjadi tidak terbatas ketika bagian imajiner
semakin besar (dengan warna putih menyatakan takhingga), dan fungsi yang memuat
pole
sederhana rupanya merupakan warna yang berputar di sekitar nol atau kutub sekali. Grafik-grafik di bawah yang dibandingkan dengan fungsi hiperbolik yang berpadanan memperlihatkan kaitan antara kedua fungsi tersebut.
Ada banyak
identitas
yang saling berhubungan dengan fungsi trigonometri. Bagian ini memuat identitas yang paling dasar; identitas yang lebih banyak dapat lihat di
Daftar identitas trigonometri
. Identitas berikut dapat dibuktikan secara geometri mellaui definisi lingkaran satuan atau definisi bersudut siku-siku (walauapun definisi terakhir harus mengambil sudut yang bukan berada di dalam interval
[0,
π
/2]
, lihat
Bukti identitas trigonometri
). Bukti tanpa geometri, yakni hanya dengan menggunakan alat
kalkulus
, dapat dipakai menggunakan persamaan diferensial langsung, melalui cara yang mirip dengan
bukti sebelumnya
. Selain itu, buktinya dapat menggunakan identitas Euler pula untuk menyatakan semua fungsi trigonometri dalam benetuk eksponensial kompleks beserta menggunakan sifat-sifat fungsi eksponensial.
Fungsi kosinus dan sekan merupakan
fungsi genap
, sedangkan fungsi trigonometri lain merupakan
fungsi ganjil
. Paritas dari fungsi-fungsi ini ditulis sebagai berikut:
-
-
-
-
-
-
Semua fungsi trigonometri merupakan
fungsi periode
. Fungsi-fungsi tersebut mempunyai periode yang paling terkecil
2
π
, kecuali untuk fungsi tangen dan kotangen yang mempunyai
π
sebagai periode yang paling terkecil. Hal ini mengartikan bahwa untuk setiap bilangan bulat
k
, maka diperoleh:
-
-
-
-
-
-
Identitas Pythagoras merupakan ekspresi
teorema Pythagoras
yang berupa fungsi trigonometri. Identitasnya adalah
-
Rumus jumlah dan selisih dapat memperluas fungsi sinus, kosinus, dan tangen dari jumlah atau selisih dari dua sudut yang dipandang sebagai fungsi sinus dan kosinus dan tangen dari sudut tersendiri. Rumus-rumus ini dapat diturunkan melalui geometri, berdasarkan argumen
Ptolemaus
. Selain itu, rumus ini juga dapat diturunkan secara aljabar menggunakan
rumus Euler
.
- Penjumlahan
-
- Selisih
-
Ketika dua sudut adalah sama, maka rumus penjumlahan mereduksi ke persamaan yang lebih sederhana, yang dikenal sebagai
rumus rangkap dua
.
-
Identitas tersebut dapat dipakai untuk menurunkan
identitas darab-ke-jumlah
.
Dengan memisalkan
, maka semua fungsi trigonometri dari
dapat dinyatakan sebagai
pecahan rasional
dari
:
-
Fungsi yang terakhir merupakan
substitusi setengah sudut tangen
, yang dipakai untuk membantu perhitungan
integral
dari fungsi trigonometri lain menjadi
fungsi rasional
tersebut.
Turunan dan integral dari fungsi trigonometri
sunting
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Turunan
dari fungsi trigonometri dihasilkan dari fungsi sinus dan kosinus dengan menerapkan
kaidah hasil-bagi
. Pada tabel berikut, terdapat
antiturunan
dari fungsi trigonometri yang dapat dibenarkan dengan mendiferensialkannya. Catatan bahwa
C
merupakan
konstanta integrasi
.
Di sisi lain, turunan dari 'ko-fungsi' dapat diperoleh dengan menggunakan identitas trigonometri serta aturan rantai:
-
Fungsi
|
Definisi
fungsi
|
Domain
fungsi
|
Himpunan dari nilai prinsip
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik, karena itu fungsi trigonometri bukanlah
injektif
. Lebih tepatnya, fungdi trigonometri tidak mempunyai
kebalikannya
. Akan tetapi, karena adanya
kemonotonan
pada masing-masing interval dari fungsi trigonometri, maka dapat didefinisikan sebagai fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi invers trigonometri sebagai
fungsi bernilai banyak
. Fungsi ini dapat didefinisikan dengan membatasi domain ulang ke interval saat fungsi adalah monotonik, dan
bijektif
dari interval tersebut ke citra fungsi. Interval umum yang dipilih di tabel disebut himpunan dari
nilai prinsip
.
Notasi dari fungsi invers trigonometri seringkali dilambangkan sebagai perpangkatan dari ?1, sebagai contoh:
sin
?1
,
cos
?1
, dst. Namun perpangkatan tersebut dapat mengartikan invers perkalian. Jadi, untuk mencegah terjadinya keambiguan, notasi tersebut digantikan dengan prefiks "arc-", sebagai contoh:
arcsin
,
arccos
, dst.
Mirip dengan fungsi sinus dan kosinus, fungsi invers trigonometri juga dapat dinyatakan dalam bentuk deret takhingga dan
logaritma kompleks
.
Penerapan trigonometri ini dapat dipakai dalam hukum-hukum berikut.
- Hukum sinus
, hukum yang menjelaskan perbandingan sisi dan sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi pada segitiga sembarang. Hukum sinus dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan definisi dari fungsi sinus. Hukum sinus berguna dalam menghitung panjang dari sisi segitiga yang tidak diketahui jika ada dua sudut dan sisi yang diketahui. Hal ini muncul dalam sebuah teknik bernama
triangulasi
, teknik yang menentukan jarak yang tidak diketahui dengan mengukur dua sudut dan jarak yang diperoleh.
- Hukum kosinus
, hukum yang mengaitkan panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus sudut pada segitiga sembarang. Hukum ini dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan
teorema Pythagoras
. Hukum ini dipakai untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut, dan juga untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui.
- Hukum tangen
, hukum yang mengaitkan fungsi tangen dari dua sudut segitiga dan panjang dari sudut yang berhadapan. Mirip dengan hukum sinus, hukum ini dapat dipakai pada setiap kasus untuk dua sisi dan sudut yag diketahui, atau dua sudut dan satu sisi yang diketahui.
- Hukum kotangen
, hukum yang mempunyai kaitan antara panjang sisi segitiga dengan kotangen dari setengah sudut. Hukum ini dipakai untuk membuktikan rumus-rumus lain, seperti
rumus Heron
,
rumus pertama Mollweide
, dan
rumus kedua Mollweide
.
Sebuah animasi yang memperlihatkan besarnya jumlah harmonik pada
sintetis aditif
dari
gelombang persegi
.
Fungsi-fungsi trigonometri juga penting dalam ilmu fisika. Sebagai contoh, fungsi sinus dan kosinus digunakan untuk menjelaskan
gerak harmonis sederhana
seperti gerakan suatu benda bermassa yang terikat pada sebuah pegas, dan gerak pendulum sederhana pada sudut yang kecil dan dengan benda bermassa yang terikat pada sebuah tali, yang keduanya merupakan pemodelan dari banyak fenomena alam. Fungsi sinus dan kosinus adalah proyeksi satu dimensi dari
gerak melingkar yang seragam
. Fungsi-fungsi trigonometri juga terbukti berguna dalam kajian
fungsi periodik
umum. Pola-pola bergelombang karakteristik dari fungsi periodik berguna dalam menggambarkan fenomena yang berulang seperti
gelombang
suara atau cahaya.
[14]
Fungsi basis sinusoidal pada animasi di bawah dapat membentuk gelombang geriji seperti animasi di atas saat menambahkan beberapa suku.
Fungsi periodik
f
?(
x
)
umumnya dapat dinyatakan sebagai jumlah
gelombang sinus
atau gelombang kosinus dalam
deret Fourier
.
[15]
Dengan Melambangkan
fungsi basis
sinus atau kosinus sebagai
φ
k
, maka ekspansi dari fungsi periodik
f
?(
t
)
membentuk:
-
Sebagai contoh, fungsi dari
gelombang persegi
dapat ditulis sebagai
deret Fourier
-
Dalam animasi gelombang persegi, dapat diperlihatkan bahwa hanya beberapa suku sudah menghasilkan aproksimasi yang hampir baik. Pada gambar bawah memperlihatkan superposisi dari beberapa suku dalam ekspansi
gelombang geriji
.
- ^
Kosekan terkadang juga disingkat dengan lima huruf, yaitu "cosec".
- ^
Satuan konvensional ini khususnya dipakai dalam
matematika elementer
.
- ^
(
Protter & Morrey 1970
, hlm.?APP-2, APP-3)
- ^
"Sine, Cosine, Tangent"
.
www.mathsisfun.com
.
Diarsipkan
dari versi asli tanggal 2023-06-30
. Diakses tanggal
29 August
2020
.
- ^
(
Protter & Morrey 1970
, hlm.?APP-7)
- ^
a
b
Rudin, Walter, 1921?2010.
Principles of mathematical analysis
(edisi ke-Third). New York.
ISBN
0-07-054235-X
.
OCLC
1502474
.
Diarsipkan
dari versi asli tanggal 2020-01-23
. Diakses tanggal
2022-08-18
.
- ^
Diamond, Harvey (2014).
"Defining Exponential and Trigonometric Functions Using Differential Equations"
.
Mathematics Magazine
(dalam bahasa Inggris).
87
(1): 37?42.
doi
:
10.4169/math.mag.87.1.37
.
ISSN
0025-570X
.
- ^
Spivak, Michael (1967). "15".
Calculus
. Addison-Wesley. hlm.?256?257.
LCCN
67-20770
.
- ^
Bityutskov, V.I. (7 February 2011).
"Trigonometric Functions"
.
Encyclopedia of Mathematics
(dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari
versi asli
tanggal 29 December 2017
. Diakses tanggal
29 December
2017
.
- ^
Larson, Ron (2013).
Trigonometry
(edisi ke-9th). Cengage Learning. hlm.?153.
ISBN
978-1-285-60718-4
. Diarsipkan dari
versi asli
tanggal 15 February 2018.
Extract of page 153
Diarsipkan
15 February 2018 di
Wayback Machine
.
- ^
See Ahlfors, pp. 43?44.
- ^
Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol I., p. 149
- ^
Abramowitz; Weisstein.
- ^
Lambert, Johann Heinrich (2004) [1768], "Memoire sur quelques proprietes remarquables des quantites transcendantes circulaires et logarithmiques", dalam Berggren, Lennart;
Borwein, Jonathan M.
;
Borwein, Peter B.
,
Pi, a source book
(edisi ke-3rd), New York:
Springer-Verlag
, hlm.?129?140,
ISBN
0-387-20571-3
- ^
Kannappan, Palaniappan (2009).
Functional Equations and Inequalities with Applications
. Springer.
ISBN
978-0387894911
.
- ^
Farlow, Stanley J.
(1993).
Partial differential equations for scientists and engineers
(edisi ke-Reprint of Wiley 1982). Courier Dover Publications. hlm.?82.
ISBN
978-0-486-67620-3
. Diarsipkan dari
versi asli
tanggal 20 March 2015.
- ^
See for example,
Folland, Gerald B. (2009).
"Convergence and completeness"
.
Fourier Analysis and its Applications
(edisi ke-Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992). American Mathematical Society. hlm.?77ff.
ISBN
978-0-8218-4790-9
. Diarsipkan dari
versi asli
tanggal 19 March 2015.
- Templat:AS ref
- Lars Ahlfors
,
Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable
, second edition,
McGraw-Hill Book Company
, New York, 1966.
- Boyer, Carl B.
,
A History of Mathematics
, John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991).
ISBN
0-471-54397-7
.
- Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
- Joseph, George G.,
The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics
, 2nd ed.
Penguin Books
, London. (2000).
ISBN
0-691-00659-8
.
- Kantabutra, Vitit, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions,"
IEEE Trans. Computers
45
(3), 328?339 (1996).
- Maor, Eli,
Trigonometric Delights
, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (2002):
ISBN
0-691-09541-8
.
- Needham, Tristan,
"Preface"
" to
Visual Complex Analysis
. Oxford University Press, (1999).
ISBN
0-19-853446-9
.
- Nielsen, Kaj L. (1966),
Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places
(edisi ke-2nd), New York:
Barnes & Noble
,
LCCN
61-9103
- O'Connor, J. J., and E. F. Robertson,
"Trigonometric functions"
,
MacTutor History of Mathematics archive
. (1996).
- O'Connor, J. J., and E. F. Robertson,
"Madhava of Sangamagramma"
Diarsipkan
2006-02-26 di
Wayback Machine
.,
MacTutor History of Mathematics archive
. (2000).
- Pearce, Ian G.,
"Madhava of Sangamagramma"
Diarsipkan
2006-05-05 di
Wayback Machine
.,
MacTutor History of Mathematics archive
. (2002).
- Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970),
College Calculus with Analytic Geometry
(edisi ke-2nd), Reading:
Addison-Wesley
,
LCCN
76087042
- Weisstein, Eric W.,
"Tangent"
Diarsipkan
2006-07-19 di
Wayback Machine
. from
MathWorld
, diakses pada tanggal 21 Januari 2006.