A kvantummechanikaban egy fizikai rendszer ismerete ekvivalens annak teljes allapotterenek ismeretevel. Ez altalaban egy vegtelen dimenzios linearis ter, nevezetesen a Hilbert-ter , aminek minden eleme a rendszer allapotanak megfeleltethet? allapotvektor. Az allapotok id?beli fejl?dese egy a Hilbert-teren hato, "id? parameter?" operatorral jellemezhet?. Amennyiben a rendszer id?ben eltolhato, ez az operator egy folytonos csoport eleme. Neve: Green-operator. A csoport infinitezimalis generatora, azaz az id?fejl?des generatora a Hamilton operator. A Schrodinger-egyenlet egy allapotegyenlet. Letezik id?fuggetlen es id?fugg? formaja is. Az id?fuggetlen formaja egy energiasajatertek-egyenlet.

Az id?fuggetlen Schrodinger-egyenlet [ szerkesztes ]

A kvantummechanikaban a fizikai mennyisegek matematikai leirasara operatorokat hasznalnak. Kvantumrendszerek meresekor a meresi eredmeny az ahhoz a megfigyelhet? mennyiseghez hozzarendelt operator valamelyik sajatertekevel egyezik meg. A kvantummechanikaban a fizikai, megfigyelhet? mennyisegekhez linearis, hermitikus operatorokat rendelnek.

Azon klasszikus mechanikai rendszerek eseteben, melyek rendelkeznek Hamilton-fuggvennyel , a Hamilton-fuggveny alakja Descartes-koordinatakban

${\displaystyle \ H=T+V,}$

ahol T a rendszer kinetikus energiaja es V a rendszer potencialis energiaja. A Hamilton-fuggveny egy klasszikus, tiszta allapot, azaz a rendszer fazisterenek pontjai a teljes energiajat adja meg.

A kvantummechanikaban a kvantumrendszer energiajat a Schrodinger-fele energiasajatertek-egyenlet hatarozza meg. A sajatertekegyenletben szerepl? operator (Hamilton-operator) a rendszer klasszikus fizikai analogonja (ha letezik ilyen) Hamilton-fuggvenyenek operatorositasaval tortenik (Ez az ugynevezett kanonikus kvantalas):

${\displaystyle H=T+V\longrightarrow {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$

a sajatertekegyenlet pedig:

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle \in {\mathcal {H}},\quad E\in \mathbb {R} ,}$

ahol ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$ a kvantumallapot , mely a ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, a rendszer modelljekent szolgalo Hilbert-ter eleme. Az energiasajatertekek megadjak a rendszer merese soran el?fordulo lehetseges energiaertekeket.

A mondottakat altalaban az egyetlen tomegpont kvantummechanikai leirasaval szemleltetik. Ha a tomegpont kenyszer nelkul mozog ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ban es letezik klasszikus mechanikai Hamilton-fuggvenye, akkor annak alakja:

${\displaystyle H(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathbf {x} ,t),}$

ahol ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ a tomegpont tomege, p a tomegpont impulzusa, V pedig a mozgast meghatarozo potencial. Koordinatareprezentacioban a kvantummechanikara valo atteres ugy tortenik, hogy az impulzus komponenseihez es a potencialhoz ${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$-on hato operatorokat rendelnek:

${\displaystyle p_{x}\longrightarrow {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\quad p_{y}\longrightarrow {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\quad p_{z}\longrightarrow {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}},}$

valamint

${\displaystyle V\longrightarrow {\hat {V}}=V{\hat {I}},}$

ahol ${\displaystyle {\hat {I}}}$ az identitasoperator. Mind a potencial, mind az impulzusoperatorok hermitikusak, igy megfigyelhet? mennyisegeket hataroznak meg. Behelyettesites utan a Schrodinger-egyenlet a kovetkez? alakot olti:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(x,y,z){\hat {I}}\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,}$

ahol ${\displaystyle \Delta }$ a Laplace-operator :

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$

Az id?fugg? Schrodinger-egyenlet [ szerkesztes ]

Az id?fugg? Schrodinger-egyenlet egy nemrelativisztikus kvantummechanikai rendszer allapotanak az id?beli valtozasat irja le, mas szoval ez a nemrelativisztikus kvantummechanikai rendszer mozgasegyenlete. Alakja a kovetkez?:

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}$

vagy b?vebben, ^[1]

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(x,y,z,t)\right)\Psi (x,y,z,t)=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (x,y,z,t)}$.

A Klein?Gordon-egyenlet [ szerkesztes ]

A Klein?Gordon-egyenlet az id?fugg? Schrodinger-egyenlet relativisztikus verzioja.

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

Lasd meg [ szerkesztes ]

• Schrodinger macskaja

Tovabbi informaciok [ szerkesztes ]

• Web-Schrodinger Egy program a 2D-s id?fugg? es stacionarius Schrodinger-egyenlet megoldasanak kiszamitasara ( KFKI MFA)

1. ↑