A Wikipediabol, a szabad enciklopediabol
A
Galois-elmelet
az
absztrakt algebra
egy meghatarozo elmelete. Megalkotoja
Evariste Galois
francia matematikus volt. Az elmelet kapcsolatot nyujt a
testelmelet
es a
csoportelmelet
kozott. Galois vivmanyaval a testelmelet bonyolult problemait csoportelmeleti problemakra lehet visszavezetni: ez nagy segitseg, hiszen a csoportelmeletet melyebben ertjuk, mint a testelmeletet.
Galois eredetileg
polinomegyenletek
gyokeinek
egymassal valo kapcsolatat vizsgalta, ezt probalta
permutaciocsoportokkal
leirni.
Richard Dedekind
,
Leopold Kronecker
es
Emil Artin
modern felfogasban fejlesztettek tovabb ezt a modszert, mellyel jobban megertettek a
testek
automorfizmusait.
A Galois-elmelet tovabbi absztrakciojat a
Galois-kapcsolatok
elmelete adja.
- Egy
L
|
K
testb?vites
normalis
, hogy, ha
f
K
folotti irreducibilis polinom, akkor
f
vagy irreducibilis marad
L
folott is, vagy els?foku tenyez?k szorzatara bomlik. Ezek pontosan a felbontasi testek.
- Egy testb?vites
szeparabilis
, ha megkaphato olyan elemmel vett b?viteskent, aminek f?polinomjanak nincs tobbszoros gyoke egy b?vebb test folott sem. Ezek az elemek szeparabilisek.
- Egy testb?vites Galois-b?vites, ha veges foku, normalis es szeparabilis. Ekvivalensen, a tobbszoros gyok nelkuli polinomok felbontasi testei Galois-b?vitesek.
- Egy
test
tokeletes
, ha minden b?vitese szeparabilis. A veges testek es a nulla karakterisztikaju testek mind tokeletes testek.
- Egy
L
|
K
testb?vites relativ automorfizmusai
L
-nek azok az
automorfizmusai
, amik fixen hagyjak
K
-t. Ezek az automorfizmusok csoportot alkotnak; ezt a csoportot a tovabbiakban Gal(
L
|
K
) jeloli.
- Relativ automorfizmusok egy
H
csoportja altal fixen hagyott testet Fix(
H
)-val jeloljuk.
Rogzitsuk az
L
|
K
Galois-b?vitest, es legyen egy kozbuls? test
M
!
Ekkor:
- az
M
→Gal(
L
|
M
) es a
H
→Fix(H) lekepezesek egymas inverzei, es kolcsonosen egyertelm? megfeleltetest adnak
- Ha
M
1
es
M
2
kozbuls? testek, amikre
M
1
⊆
M
2
, akkor Gal(
L
|
M
1
)≥Gal(
L
|
M
2
)
- Hasonloan, ha
H
1
es
H
2
kozbuls? testekhez tartozo Galois-csoportok, amikre
H
1
≤
H
2
akkor Fix(
H
1
)≥Fix(
H
2
)
- Osszefoglalva, ezek a megfeleltetesek dualis haloizomorfizmusok
- |Gal(
L
|
M
)|=|
L
:
M
|, |
L
:Fix(
H
)|=|
H
|, vagyis ezek a lekepezesek megtartjak a b?vites indexet
- Ha α∈Gal(
L
|
K
), es
M
kozbuls? test, akkor α(
M
) is kozbuls? test, es Gal(
L
|α(
M
))=αGal(
L
|
M
)α
-1
- Az
M
|
K
testb?vites akkor es csak akkor normalis, ha Gal(
M
|
K
)
normalis reszcsoport
Gal(
L
|
M
)-ben. Ekkor Gal(
M
|
K
) izomorf Gal(
L
|
K
)/Gal(
L
|
M
)-mel.
A Galois-elmelet legfontosabb alkalmazasai a geometriai szerkeszthet?seg elmelete es a polinomok gyokkeplettel valo megoldhatosaganak vizsgalata. Innen adodik, hogy egy
polinom
akkor es csak akkor oldhato meg gyokjelekkel, ha a polinom b?vitesi testenek Galois-csoportja
feloldhato
. Ebb?l kovetkezik, hogy negynel magasabb foku polinomokra nincs kozos gyokkeplet.
Tovabbi informaciok
[
szerkesztes
]
