Csillagsokszoget olyan zart torottvonal alkot a sikban , ami metszi sajat magat. Emiatt a tulajdonsaga miatt sokszor nem is tekintik sokszognek . Vannak szabalyos csillagsokszogek is; sokszor ezeket nevezik csillagsokszognek, mert csak ezeket tanulmanyoztak reszletesebben.

Szabalyos csillagsokszog [ szerkesztes ]

A sik veges sok egymashoz csatlakozo szakasza szabalyos csillagsokszoget alkot, ha barmelyik szakasz alkalmas egybevagosaggal barmelyik szakaszba atvihet? ugy, hogy kozben az egesz alakzat onmagaba megy at. A szabalyos sokszogeket ? bar e feltetelt kielegitik ? nem nevezzuk csillagsokszogeknek. Ilyen csillagsokszoget alkot egy szabalyos sokszog azon atloinak osszessege, amelyek a kozepponttol (zerustol kulonboz?) egyenl? tavolsagra vannak. Altalanosabb csillagsokszoget kapunk akkor, ha egy szabalyos sokszog csucsait ? egyesek bizonyos szabaly szerinti elhagyasaval ? az osszes nem szomszedos tobbi csuccsal osszekotjuk.

Tulajdonsagok [ szerkesztes ]

• Egy adott oldalszamhoz tobb szabalyos csillagsokszog is lehet; peldaul kilencoldalu szabalyos sokszog minden masodik, vagy minden negyedik csucsat osszekotve szinten szabalyos csillagkilencszoget kapunk. A csucsok tavolsaganak es az oldalszamnak relativ primeknek kell lenniuk. Ekkor a csillagsokszog Schlafli-szimboluma a csucsszam/csucsok tavolsaga .
• Az { n/k } szimbolumu szabalyos csillagsokszog szimmetria csoportja a 2 n rend? D _n , k -tol fuggetlenul.
• Egyes matematikusok teruletet tulajdonitanak a csillagsokszogeknek. Ehhez a haromszogeleses modszert hasznaljak. Kijelolnek egy pontot a sokszogben , es osszekotik a sokszog csucsaival; ezzel kesz a haromszogeles . Az igy kapott haromszogek teruletet osszeadjak, ugyelve arra, hogy a sokszoggel ellentetes iranyitasu haromszogek teruletet negativnak vegyek.
• Az el?bbi teruletszamitas multiplicitassal tekinti a csillagsokszog belsejet. Ezen kivul lehet a bels?t paritasi alapon tekinteni. Ekkor a csillagotszog ketszer szamolt bels? otszoge a sokszog kulsejehez tartozik, es igy a terulet is kisebb lesz.
• Azok, akik poliedereket modelleznek, a bels? elek nelkul epitik meg a csillagsokszog alaku lapokat.
• A szabalyos csillagsokszogek a ${\displaystyle x\mathbb {Z} _{n}}$ veges csoportok mellekosztalyainak diagramjanak tekinthet?k a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ csoportban.

Peldak [ szerkesztes ]

{5/2} {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3}

Nem szabalyos csillagsokszogek [ szerkesztes ]

Nem minden csillagsokszog szabalyos. Nem szabalyos, de korbe irhato csillagsokszogek peldaul egyes felig szabalyos testek csucsalakzatai . Ezt az egy csucs koruli lapok sorrendje hatarozza meg, amiben lehetseges mind a visszafele haladas, mind a tobbszoros koruljaras. ^[1]

Egy masik pelda egy olyan hatszog? alakzat, amiben ket konkav deltoid fonodik ossze.

Altalanositas [ szerkesztes ]

Ha a sokszog csucsszama es a csucsok tavolsaga nem feltetlenul relativ prim, akkor a csillagsokszogek altalanositasakent csillagalakzatokhoz jutunk. Ha a legnagyobb kozos oszto egynel nagyobb, akkor tobb, egymashoz kepest elforgatott kisebb oldalszamu csillagsokszoghoz jutunk. Ezekre ugyanugy az { n / m } jelolest hasznaljak, mint a csillagsokszogekre. Grunbaum (1994) javasolta az m { n } jelolest. Ezzel k csillagsokszog egyuttese k { n / m }. Ennek el?nye, hogy peldaul ket csillagotszog egyutt 2{5/2} irhato, amib?l azonnal latszik, hogy mir?l van szo, mig ez a {10/4} jeloles eseten rejtve marad.

Az Izrael zaszlajan megjelen? hexagramma a szabalyos hatszoghoz hasonloan szerkeszthet?.

Ha az alakzatban a szemben fekv? csucsokat kotjuk ossze, akkor elfajult csillagsokszoghoz jutunk. Ez az alakzat n /2 egyenesszakaszbol all.

A kulturaban es a m?veszetben [ szerkesztes ]

A csillagalakzatok fontos szerephez jutnak a kulturaban es a m?veszetben . Lehetnek szabalyosak, vagy szabalytalanok, de ezek az alakzatok mind nagy szimmetriaval birnak.

• A csillagotszog {5/2} pentagrammakent ismert. Sok vallasi vagy magikus kultusz, az okkultizmus jelkepe.
• A {6/2} alakzat a David-csillag .
• A {7/3} es a {7/2} heptagrammak szinten az okkultizmushoz kapcsolodnak. A kabbala es a wicca hagyomany is hasznalja.
• A {8/2} alakzat hindu jelkep.
• A {8/3} csillagsokszog es a {16/6} osszetett csillagalakzat a mogul m?veszet kedvelt motivumai.
• Egy osszetett enneagramma titkos tarsasagok jelkepe volt. Gurdjieff az alapvet? univerzalis kozmikus torvenyekr?l szolo tanitasaiban hasznalta.
• Egy tizenegy pontu csillag jelenik meg Nemat Ollah Vali sah sirkoven.

Egyes szimbolumok onmagaba fonodva abrazoljak az alakzatot, esetleg tobb szint hasznalnak.

Jegyzetek [ szerkesztes ]

Forrasok [ szerkesztes ]

• Matematikai kislexikon, M?szaki konyvkiado
• Bizonyitasok es cafolatok
• A Kozepiskolai Matematikai es Fizikai Lapok cikke a csillagsokszogekr?l
• Cromwell, P.; Polyhedra , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 .
• Grunbaum, B. and G. C. Shephard; Tilings and Patterns , New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
• Grunbaum, B. ; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993) , ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43?70.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)
• Csillagsokszogek es altalanositasaik a MathWorldnel
• Csillagsokszogek - java applet