Bernoulli torvenye azt mondja ki, hogy egy kozeg aramlasakor (a kozeg lehet peldaul viz, de leveg? is) a sebesseg novelese a nyomas csokkenesevel jar. Peldaul, ha valaki egy papirlapot tart vizszintesen tartott tenyere ala es ujjai koze fuj, a papirlap a tenyerehez tapad. Ennek oka, hogy a leveg? sebessege a papir es tenyere kozotti resben felgyorsul, nyomasa lecsokken, a lap alatti nyomas azt a tenyerehez szoritja. A Bernoulli-torveny pontosabban azt mondja ki, hogy aramlo kozegben egy aramvonal menten a kulonboz? energia -osszetev?k osszege allando. A torvenyt a holland - svajci matematikus es termeszettudos Daniel Bernoullirol neveztek el, noha ezt mar korabban felismerte a szinten bazeli Leonhard Euler es masok.

Bernoulli egyenletei [ szerkesztes ]

A Bernoulli-egyenleteknek ket kulonboz? formaja van, az egyik osszenyomhatatlan kozeg aramlasara, a masik osszenyomhato kozeg aramlasara alkalmazhato.

Osszenyomhatatlan kozeg [ szerkesztes ]

Allando foldi nehezsegi gyorsulas eseten (ezzel szamolhatunk a Foldon kis magassagkulonbsegek mellett) az eredeti alak:

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+gh+{p \over \rho }=\mathrm {konstans} }$

v = kozeg sebessege az aramvonal menten

g = foldi nehezsegi gyorsulas

h = magassag tetsz?leges ponttol a gravitacio iranyaban

p = nyomas az aramvonal menten

${\displaystyle \rho }$ = a kozeg s?r?sege

A fenti egyenlet ervenyessegenek feltetele:

• Viszkozitas (bels? surlodas) nelkuli kozeg
• Stacionarius, vagy id?ben allandosult aramlas
• Osszenyomhatatlan kozeg; ${\displaystyle \rho }$ = allando az aramvonal menten. Megengedett azonban, hogy a s?r?seg az egyes aramvonalak kozott valtozzek.
• Altalaban az egyenlet egy adott aramvonal menten ervenyes. Allando s?r?seg? potencialos aramlas eseten azonban igaz az aramlas minden pontjara.

A nyomas csokkeneset a sebesseg novekedesevel, ahogy az a fenti egyenletb?l kovetkezik, Bernoulli torvenyenek szokas hivni.

Az egyenletet ebben az alakjaban el?szor Leonhard Euler vezette le.

Osszenyomhato kozeg [ szerkesztes ]

Az egyenlet altalanosabb alakja osszenyomhato kozegekre irhato fel, amely esetben egy aramvonal menten:

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+\phi +w=\mathrm {konstans} }$

ahol

${\displaystyle \phi \,}$ = az egysegnyi tomegre es? helyzeti energia, ${\displaystyle \phi =gh\,}$ allando nehezsegi gyorsulas eseten

${\displaystyle w\,}$ = a kozeg egysegnyi tomegere es? entalpiaja

Megjegyezzuk, hogy

${\displaystyle w=\epsilon +{\frac {p}{\rho }}}$ ahol ${\displaystyle \epsilon \,}$ a kozeg egysegnyi tomegere es? termodinamikai energia, vagy fajlagos bels? energiaja .

A jobb oldalon szerepl? konstanst gyakran Bernoulli-allandonak hivjak es ${\displaystyle b}$-vel jelolik.

Allandosult surlodasmentes adiabatikus aramlas eseten (nincs energiaforras vagy nyel?) ${\displaystyle b}$ allando barmely adott aramvonal menten.

Amikor egy lokeshullam jelentkezik, a lokeshullamon athaladva a Bernoulli-egyenlet tobb parametere hirtelen valtozast szenved, de maga a Bernoulli-szam valtozatlan marad.

Levezetese [ szerkesztes ]

Osszenyomhatatlan kozegre [ szerkesztes ]

Osszenyomhatatlan kozegre a Bernoulli-egyenletet az Euler-egyenletek integralasaval vagy az energiamegmaradas torvenyeb?l lehet levezetni, amit egy aramvonal menten ket keresztmetszetre kell alkalmazni, elhanyagolva a viszkozitast es a h?hatasokat.

A legegyszer?bb levezetesnel el?szor a gravitaciot is figyelmen kivul hagyjuk es csak a sz?kul? es b?vul? szakaszok hatasat vizsgaljuk egy egyenes cs?ben. Legyen az x tengely a cs? tengelye is egyben.

Egy folyadekresz mozgasegyenlete a cs? tengelye menten:

${\displaystyle m{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=F}$

${\displaystyle \rho A\operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=-A\operatorname {d} p}$

${\displaystyle \rho {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dx}}}$

Allandosult aramlas eseten ${\displaystyle v=v(x)}$, igy

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {dv}{dx}}v={\frac {d}{dx}}{\frac {v^{2}}{2}}}$

Ha ${\displaystyle \rho }$ allando, a mozgasegyenletet igy lehet irni:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0}$

vagy

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C}$

ahol a ${\displaystyle C}$ allando, ezt neha Bernoulli-allandonak hivjak. Lathato, hogy ha a sebesseg n?, a nyomas csokken. A fenti levezetes folyaman nem hivatkoztunk az energiamegmaradas elvere. Az energiamegmaradast a mozgasmennyiseg egyenletenek egyszer? atalakitasabol kaptuk. Az alabbi levezetes tartalmazza a gravitacio figyelembevetelet es nem egyenesvonalu aramlas eseten is fennall, de fel kell teteleznunk, hogy az aramlas surlodasmentes, nincsenek energiaveszteseget okozo er?hatasok.

A munkatetelt, avagy a kinetikai energia elvet alkalmazva irhato:

a kozegre hato er?k ered?jenek munkaja = kinetikai energia megvaltozasa

A nyomaskulonbsegb?l szarmazo er?k munkaja:

${\displaystyle F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.\;}$

A nehezsegi er? munkaja:

${\displaystyle mgh_{1}-mgh_{2}=\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}\;}$

A kinetikai energia novekedese:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}.}$

A fentieket osszevetve:

${\displaystyle p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}$

vagy

${\displaystyle {\frac {\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}{2}}+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t={\frac {\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}}{2}}+\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.}$

Mindket oldalt elosztva ${\displaystyle \Delta t}$-vel, ${\displaystyle \rho }$-val es ${\displaystyle A_{1}v_{1}}$-val (= terfogataram = ${\displaystyle A_{2}v_{2}}$, mivel a kozeg osszenyomhatatlan):

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$

vagy, ahogy az els? pontban allitottuk:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\frac {p}{\rho }}=C}$

Leosztva g -vel:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}+h+{\frac {p}{\rho g}}=C}$

Egy h magassagbol szabadon es? test veg sebessege ( vakuum eseteben):

${\displaystyle v={\sqrt {{2g}{h}}}}$ vagy ${\displaystyle h={\frac {v^{2}}{2g}}}$.

A ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$ kifejezest sebesseg magassag nak hivjak.

A hidrosztatikai nyomas vagy statikus magassag definicioja:

${\displaystyle p=\rho gh\,}$, vagy ${\displaystyle h={\frac {p}{\rho g}}}$.

A ${\displaystyle {\frac {p}{\rho g}}}$ kifejezest nyomasmagassag nak is hivjak.

Osszenyomhato kozegekre [ szerkesztes ]

Osszenyomhato kozegre a levezetes hasonlo. A levezetesben ismet felhasznaljuk (1) a tomeg es (2) az energia megmaradasat. A tomeg megmaradasa azt jelenti, hogy a fenti abran az ${\displaystyle A_{1}}$ es az ${\displaystyle A_{2}}$ keresztmetszeten a ${\displaystyle \Delta t}$ id?intervallum alatt ataramlo kozeg tomege egyenl?:

${\displaystyle 0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$.

Az energia megmaradasat hasonlo modon alkalmazzuk: feltetelezzuk, hogy az aramcs? terfogataban az ${\displaystyle A_{1}}$ es ${\displaystyle A_{2}}$ keresztmetszet kozott az energia valtozasa kizarolag a ket hatarkeresztmetszeten bearamlo es eltavozo energiatol fugg. Egyszer?bben szolva feltetelezzuk, hogy bels? energiaforras (peldaul radioaktiv sugarzas, vagy kemiai reakcio) vagy energiaelnyeles nem all fenn. Az osszenergia valtozasa tehat nulla lesz:

${\displaystyle 0=\Delta E_{1}-\Delta E_{2}\,}$

ahol ${\displaystyle \Delta E_{1}}$ es ${\displaystyle \Delta E_{2}}$ az energia mennyisege, amely az ${\displaystyle A_{1}}$ keresztmetszeten bearamlik es a ${\displaystyle A_{2}}$ keresztmetszeten tavozik.

A bejov? energia a kozeg mozgasi energiaja, a kozeg gravitacios helyzeti energiajanak, a kozeg termodinamikai energiajanak es a ${\displaystyle p\,dV}$ mechanikai munka alakjaban jelentkez? energiajanak az osszege:

${\displaystyle \Delta E_{1}=\left[{\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\phi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right]A_{1}v_{1}\,\Delta t}$

Hasonlo osszefuggest lehet felirni a ${\displaystyle \Delta E_{2}}$-re is. Igy behelyettesitve a ${\displaystyle 0=\Delta E_{1}-\Delta E_{2}}$ ezt kapjuk:

${\displaystyle 0=\left[{\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\phi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right]A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left[{\frac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\phi _{2}\rho _{2}+\epsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right]A_{2}v_{2}\,\Delta t}$

amit igy at lehet alakitani:

${\displaystyle 0=\left[{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}+\phi _{1}+\epsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right]\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left[{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}+\phi _{2}+\epsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right]\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$

Felhasznalva a korabbi osszefuggest a tomeg megmaradasra, igy lehet egyszer?siteni:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+\phi +\epsilon +{\frac {p}{\rho }}={\rm {konstans}}\equiv b}$

Ez a Bernoulli-egyenlet osszenyomhato kozegre.

Irodalom [ szerkesztes ]

• Budo Agoston (1967): Kiserleti Fizika I. Tankonyvkiado, Budapest

Tovabbi informaciok [ szerkesztes ]

• Bernoulli-torvenye es a barackok ? YouTube video a torvenyt szemleltet? egyik kiserletr?l