Op?enito, niz mo?emo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).

Uzmimo za primjer razred od dvadeset u?enika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od u?enika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To mo?emo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa ${\displaystyle \lbrace 1,2,3,...,20\rbrace }$ pridru?ili po jednog u?enika.

Sli?an primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridru?eni su prvi dan, drugi dan,...).

Matemati?ka definicija niza [ uredi | uredi kod ]

Takvi primjeri motiviraju matemati?ku definiciju niza: funkciju ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow S}$ zovemo niz u skupu S.

Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom na?em primjeru, skup S bi mogao biti {"U?enici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.

Niz se, umjesto uobi?ajene notacije ${\displaystyle f(n)=...}$, ozna?ava sa ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ili samo ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ ili ${\displaystyle (a_{n})}$.

Primjeri [ uredi | uredi kod ]

?lanovi niza zadanog sa ${\displaystyle f(n)={\frac {1}{n}}}$ izgledaju ovako: ${\displaystyle (a_{n})_{1}=1,\ (a_{n})_{2}={\frac {1}{2}},\ (a_{n})_{3}={\frac {1}{3}},\ (a_{n})_{4}={\frac {1}{4}},...}$

Primje?ujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridru?en 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato ka?emo da je npr. 1/16 ?esnaesti ?lan niza. Oznaka troto?je ozna?ava da je niz beskona?an.

Sama funkcija mo?e biti definirana s vi?e od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:

${\displaystyle g(n):\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle g(n):={\begin{cases}n,&{\mbox{ako je }}n{\mbox{ neparan}}\\0,&{\mbox{ako je }}n{\mbox{ paran}}\end{cases}}}$

Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (kodomena je skup ${\displaystyle S=\mathbb {N} _{0}}$).

?lanovi ovog niza izgledaju ovako: ${\displaystyle 1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,...}$

Posebni nizovi [ uredi | uredi kod ]

Posebno se ?esto prou?avaju aritmeti?ki niz i geometrijski niz .

Konvergentni nizovi realnih brojeva [ uredi | uredi kod ]

Niz ${\displaystyle a_{n}}$ realnih brojeva konvergira realnom broju ${\displaystyle a_{0}}$, ako za svako ${\displaystyle \epsilon >0}$ postoji prirodni broj ${\displaystyle n_{0}}$ takav da ^{[1] :str. 67.}

${\displaystyle (n>n_{0})\implies (|a_{n}-a_{0}|<\epsilon )}$

Broj ${\displaystyle a_{0}}$ se naziva limes niza ${\displaystyle a_{n}}$. Kao primjer niz

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}$

konvergira i limes niza je 0. Rastu?i i padaju?i nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matemati?koj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograni?en i monoton niz realnih brojeva je konvergentan . ^{[1] :69}

Izvori [ uredi | uredi kod ]