Diferencijalna jednad?ba je matemati?ka jednad?ba koja povezuje neku funkciju s njenim derivacijama . U primjenama, funkcije obi?no predstavljaju fizikalne veli?ine, derivacije predstavljaju njihove stope promjena, a jednad?ba definira odnos između funkcije i derivacije. Jer su takvi odnosi iznimno ?esti, diferencijalne jednad?be igraju veliku ulogu u mnogim disciplinama, kao ?to su in?enjerstvo, fizika, ekonomija i biologija.

U ?istoj matematici , diferencijalne jednad?be se prou?avaju iz nekoliko razli?itih perspektiva, najvi?e prema svojim rje?enjima - skupa funkcija koje zadovoljavaju jednad?bu. Samo su najjednostavnije diferencijalne jednad?be rje?ive eksplicitnim formulama; međutim, neka svojstva rje?enja dane diferencijalne jednad?be mogu biti određena bez nala?enja njihovog egzaktnog oblika. Ako eksplicitna formula za rje?enje nije dostupna, rje?enje se mo?e numeri?ki aproksimirati upotrebom ra?unala. Teorija dinami?kih sustava stavlja naglasak na kvalitativnu analizu sustava opisanih diferencijalnim jednad?bama, dok su mnoge numeri?ke metode razvijene da se odrede rje?enja s danim stupnjem to?nosti.

Diferencijalna jednad?ba veli?ina x i y ona je jednad?ba u kojoj su te dvije veli?ine povezane jednad?bom u kojoj se pojavljuju njihovi diferencijali dx i dy, tako raspoređeni da se iz diferencijalnog oblika mo?e prije?i u derivacijski. ^[1]

Red diferencijalnoj jednad?bi određujue diferencijal (odnosno derivacija) najvi?eg reda u doti?noj diferencijalnoj jednad?bi. ^[1]

Rje?enje diferencijalne jednad?be je svaka funkcijska veza koja ju prevodi u identitet odnosno neku poznatu jednakost . Nakon diferenciranja i uvr?tavanja u diferencijalnu jedna?dbu se iz te funkcijske veze mo?e dobiti trivijalan identitet 0 = 0. ^[1]

Povijest [ uredi | uredi kod ]

Diferencijalne jednad?be su se pojavile Newton-Leibnizovim izumom diferencijalnog ra?una . U drugom poglavlju djela iz 1671. Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum , Isaac Newton je izlistao tri vrste diferencijalnih jednad?bi:

• ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$
• ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x,y)}$
• ${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y}$

On rje?ava te primjere i druge upotrebom beskona?nih redova i raspravlja o nejedinstvenosti rje?enja.

Jacob Bernoulli predlo?io je Bernoullijevu diferencijalnu jednad?bu u 1695. To je obi?na diferencijalna jednad?ba oblika:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}}$

za koju je sljede?e godine Leibniz na?ao rje?enja pojednostavljivanjem.

Povijesno, problem vibriraju?e ?ice, npr. od glazbenog instrumenta, prou?avali su Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Benoulli i Joseph-Louis Lagrange . 1746. d'Alembert je otkrio jednodimenzionalnu valnu jednad?bu, i unutar deset godina Euler je otkrio trodimenzionalnu valnu jednad?bu.

U 1750-ima Euler i Lagrange razvijaju Euler-Lagrange jednad?bu u vezi s njihovim studijima o problemu određivanja krivulje na koju ?e ?estica s te?inom pasti na određenu to?ku u određenom vremenu, neovisno o prvotnoj poziciji.

Lagrange je rije?io taj problem 1755. i poslao rje?enje Euleru. Oboje su dalje razradili Lagrangeovu metodu i primijenili je na mehaniku , ?to je dovelo do formulacije Lagrangeove mehanike.

Fourier je objavio svoje djelo o raspodjeli topline u Theorie analytique de la chaleur , u kojem je osnivao svoja razmi?ljanja na Newtonovom zakonu hlađenja, naime, da je raspodjela topline između dviju molekula proporcionalna iznimno malom razlikom u njihovim temperaturama. U toj knjizi bio je sadr?an Fourierov prijedlog te jednad?be topline za difuziju topline. Ta parcijalna diferencijalna jednad?ba se u dana?nje vrijeme podu?ava svakom studentu matemati?ke fizike.

Programska podr?ka [ uredi | uredi kod ]

• ExpressionsinBar
• Maple : ^[2] dsolve
• SageMath ^[3]
• Xcas : ^[4] desolve(y'=k*y,y)

Izvori [ uredi | uredi kod ]

Literatura [ uredi | uredi kod ]

U djelu Svetozar Kurepa : Matemati?ka analiza 2 funkcije jedne varijable , Tehni?ka knjiga, Zagreb, 1990. (na str. 272 do 294) nalazi se uvod u diferencijalne jednad?be.

‍

Ovo je osnova ili po?etak budu?eg ?lanka. Pomozite Wikipediji i dopunite ga .