Sykloidi on vierintakayra , jonka muodostavat pyoran pinnalla olevan pisteen sijainnit eri ajanhetkina, kun pyora vierii suoraan tasaisella alustalla.

Sykloidi on samalla brakistokroni eli kayra, jota pitkin kappale nopeimmin vierii huipulta alas painovoiman vaikutuksesta. Samalla se on tautokroni , mika merkitsee, etta aika, jossa sen sisapintaa pitkin vieriva, alkutilassa lepotilassa jossakin sen pisteessa oleva pallo saavuttaa kayran alimman kohdan, ei riipu sen alkuperaisesta paikasta.

Historia [ muokkaa | muokkaa wikitekstia ]

Sykloidia tutki ensimmaisena Nicolaus Cusanus ja myohemmin Marin Mersenne . Nimen sille antoi Galileo Galilei vuonna 1599 . Vuonna 1634 G. P. de Roberval todisti, etta sykloidin alle jaavan alueen pinta-ala on kolme kertaa niin suuri kuin sen ympyran, jonka vieriessa se muodostuu. Vuonna 1658 Christopher Wren osoitti, etta sykloidin pituus on nelja kertaa niin suuri kuin sen muodostavan ympyran lapimitta. Sykloidia on sanottu "Geometrian Helenaksi", ja 1600-luvun matemaatikot kavivat paljon siihen liittyvia kiistoja.

Yhtalot [ muokkaa | muokkaa wikitekstia ]

Origon kautta kulkeva sykloidi, jonka r - sateinen ympyra muodostaa vieriessaan, muodostuu pisteista ( x , y ), jotka toteuttavat ehdot:

${\displaystyle x=r(t-\sin t)\,}$

${\displaystyle y=r(1-\cos t)\,}$

missa parametri t on reaaliluku. Parametrin t arvolla ympyran keskipiste on pisteessa rt .

Edella trigonometriset funktiot on maaritelty kayttamalla kulmayksikkona radiaania . Jos kulmayksikkona kaytetaan astetta , yhtalot voidaan kirjoittaa muotoon

x = r(cos(270°-t)) + 2πrt/360°

y = r(sin(270°-t)) + r

Kayra on derivoituva muualla paitsi erikoispisteissa, joissa se kohtaa x -akselin. Niissa sykloidilla on terava karki, ja niita lahestyttaessa derivaatta kasvaa rajatta ${\displaystyle \infty }$:aan tai ${\displaystyle -\infty }$:aan riippuen siita, kummasta suunnasta erikoispistetta lahestytaan. Sykloidi toteuttaa myos differentiaaliyhtalon

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}.}$

Pinta-ala [ muokkaa | muokkaa wikitekstia ]

r -sateisen ympyran generoiman sykloidin kaari voidaan parametroida nain:

${\displaystyle x=r(t-\sin t),\,}$

${\displaystyle y=r(1-\cos t),\,}$

missa

${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi .\,}$

Koska

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t),}$

on sykloidin kaaren alla olevan alueen pinta-ala

${\displaystyle A=\int _{t=0}^{t=2\pi }y\,dx=\int _{t=0}^{t=2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}\,dt=\left.r^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\sin t+{\frac {1}{2}}\cos t\sin t\right)\right|_{t=0}^{t=2\pi }=3\pi r^{2}.}$

Kaaren pituus [ muokkaa | muokkaa wikitekstia ]

Sykloidin kaaren pituus S voidaan laskea seuraavasti:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right)^{1/2}\,dt=\int _{0}^{2\pi }2r\sin(t/2)\,dt=8r.}$

Sykloidia muistuttavia kayria [ muokkaa | muokkaa wikitekstia ]

Episykloidi on kayra, joka muodostuu ympyran vieriessa toisen ympyran kehaa pitkin sen ulkopuolella. Hyposykloidi taas muodostuu ympyran vieriessa toisen ympyran kehaa pitkin sen sisapuolella. Vastaavasti voidaan muodostaa kayria ympyran vieriessa minka tahansa muutakin kayraa pitkin.

Syklodilla, episykloidilla ja hyposykloidilla on se yhteinen ominausuus, etta kukin niista on yhdenmuotoinen evoluuttansa kanssa.

Lahteet [ muokkaa | muokkaa wikitekstia ]

• An application from physics : Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507

• D. Wells:  The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , s. pp. 445?47. New York: Penguin Books, 1991. 0-14-011813-6. (englanniksi)

Aiheesta muualla [ muokkaa | muokkaa wikitekstia ]

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Sykloidi .

• Cycloids at cut-the-knot
• Richard A. Proctorin sivusto sykloidista ja sita muistuttavista kayrista
• Cornell University Library .
• Sykloidit ja trokoidit ( Arkistoitu ? Internet Archive)
• Cycloid Curves by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, The Wolfram Demonstrations Project.