Osa artikkelisarjaa Geometria

Tasogeometria Piste Suora Kayra Taso Pinta Pinta-ala Pituus Kulma Trigonometria Ympyra Ellipsi Monikulmio Kolmio Nelikulmio Suorakulmio Nelio Suunnikas Neljakas Puolisuunnikas Avaruusgeometria Tilavuus Avaruuskappale Pallo Kartio Lierio Sarmio Suuntaissarmio Suorakulmainen sarmio Saannollinen monitahokas Platonin kappale Tetraedri Heksaedri eli kuutio Oktaedri Dodekaedri Ikosaedri Keplerin?Poinsot'n kappale Euklidinen geometria Paralleeliaksiooma Epaeuklidinen geometria Hyperbolinen geometria Elliptinen geometria Analyyttinen geometria

Pallo on taysin symmetrinen geometrinen muoto. Geometrisesti se on niiden pisteiden joukko, joiden etaisyys kolmiulotteisen avaruuden pisteesta on vakio. Siten pallo on ympyran kolmiulotteinen yleistys. ^[1]

Pallo on geometriassa kaikkien niiden 3-ulotteisen avaruuden pisteiden joukko, joiden etaisyys annetusta pisteesta on tietty vakio . Tata vakiota kutsutaan pallon sateeksi .

Origokeskisen pallon, jonka sade on ${\displaystyle r\,}$, yhtalo suorakulmaisessa eli karteesisessa koordinaatistossa on

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$.

Pallo voi tarkoittaa myos pallopinnan rajoittamaa kappaletta, josta nykyaan kaytetaan myos nimitysta kuula .

Tason ja pallon leikkauskuvio on ympyra ja erikoistapauksessa piste. Tason kulkiessa pallon keskipisteen kautta muodostuu isoympyra . Muita leikkausympyroita, joiden sade on pallon sadetta lyhyempi, nimitetaan pikkuympyroiksi . Lyhin reitti kahden pallon pinnalla olevan pisteen kautta kulkee pitkin ko. pisteiden kautta kulkevaa isoympyraa. ^[2]

Pallon pinta-ala ${\displaystyle A\,}$ saadaan kaavasta

${\displaystyle \displaystyle A=4\pi r^{2}}$, missa ${\displaystyle r}$ on pallon sade.

Pallon tilavuus ${\displaystyle V\,}$ saadaan kaavasta

${\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$.

Jos pallon tilavuus tunnetaan, pallon sade ${\displaystyle r\,}$ saadaan kaavasta

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$.

Jos pallon halkaisija ${\displaystyle d}$ ja ymparysmitta ${\displaystyle p}$ tunnetaan, saadaan sen pinta-ala (ilman lukua ${\displaystyle \pi }$) kaavasta:

${\displaystyle A=pd}$

ja tilavuus kaavasta

${\displaystyle V={\frac {pd^{2}}{6}}}$.

Pallo on kaikista suljetuista pinnoista se, joka tiettyyn pinta-alaan nahden sulkee sisaansa suurimman mahdollisen tilavuuden.

Jos ${\displaystyle A}$ on suljetun pinnan pinta-ala ja ${\displaystyle V}$ sen sisaansa sulkema tilavuus, niin:

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{V^{2}}}\geq 36\pi }$.

Yhtasuuruus patee silloin ja vain silloin, kun em. suljettu pinta on pallon muotoinen. Pallolle:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ ja

${\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$, joten

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{V^{2}}}={\frac {(4\pi r^{2})^{3}}{({\frac {4\pi r^{3}}{3}})^{2}}}={\frac {4^{3}\pi ^{3}r^{6}}{\frac {4^{2}\pi ^{2}r^{6}}{3^{2}}}}={\frac {3^{2}\cdot 4^{3}\pi ^{3}r^{6}}{4^{2}\pi ^{2}r^{6}}}=3^{2}\cdot 4\pi =36\pi }$.

Vertailun vuoksi esimerkiksi kuutio, jonka sarman pituus on ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle A=6a^{2}}$ ja

${\displaystyle V=a^{3}}$, joten

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{V^{2}}}={\frac {(6a^{2})^{3}}{(a^{3})^{2}}}={\frac {6^{3}a^{6}}{a^{6}}}=6^{3}=6^{2}\cdot 6=36\cdot 6>36\pi }$.

Suljettu pallo (x-keskinen ja r-sateinen) on joukko
${\displaystyle {\bar {B}}(a;r)={\bar {B}}^{n}(x;r):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:||x-y||\leq r\}}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ja ${\displaystyle r>0\,\!}$.

Avoin pallo (x-keskinen ja r-sateinen) on joukko
${\displaystyle B(x;r)=B^{n}(x;r):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:||x-y||<r\}}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ja ${\displaystyle r>0\,\!}$.

• Kivela, Simo K.:  Algebra ja geometria . Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6 .

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pallo (geometria) .

• Opetus TV: Pallo
• Pallon tilavuuslaskuri