Filosofia

• Filosofi
• Luettelo filosofeista
• Luettelo filosofian osa-alueista, koulukunnista ja opeista
• Filosofian teemasivu
• Filosofian tietosanakirja

Matematiikan filosofia on filosofian osa-alue, joka tutkii matematiikan filosofisia perusteita, oletuksia ja seurauksia.

Matematiikan filosofian teemoja ovat muun muassa:

• Mika on matemaattisten olioiden ontologinen luonne?
• Mita matemaattiseen olioon viittaaminen tarkoittaa?
• Mika on matemaattisen vaittaman luonne?
• Mika on matemaattisen totuuden luonne?
• Minkalaista tutkimusta matematiikassa tulisi suorittaa?
• Mika on matematiikan ja logiikan suhde?
• Miksi ja milla tavalla matematiikka on hyodyllista tieteelle ?
• Mita on matemaattinen kauneus ?

Termit matematiikan filosofia ja matemaattinen filosofia voidaan nahda joko samoina tai erillisina. Viimeksi mainittu voidaan kasittaa kolmella tavalla. Ensinnakin se voidaan ymmartaa pyrkimyksena maaritella jokin filosofinen aihealue, kuten estetiikka , etiikka , logiikka , metafysiikka tai teologia tasmallisemmassa ja tiukemmin maaritellyssa muodossa. Tallainen oli tyypillista skolastisille filosofeille seka Gottfried Leibnizin ja Baruch Spinozan jarjestelmille. Toiseksi se voidaan kasittaa jonkin matemaatikon tai matemaatikkoyhteison tyofilosofiana. Kolmanneksi sen voidaan katsoa viittaavan matemaattisen filosofian lahestymistapaan, jota Bertrand Russell sovelsi teoksessaan Introduction to Mathematical Philosophy ("Johdanto matemaattiseen filosofiaan").

Matematiikan filosofia on osittain paallekkaista metafysiikan kanssa sikali, etta jotkut siihen kuuluvat nakemykset ovat realistisia matemaattisten olioiden suhteen, ja katsovat naiden olioiden olevan olemassa joko transsendentaalisesti, fysikaalisesti tai mentaalisesti. Platonisen realismin mukaan matemaattiset oliot ovat olemassa transsendentaalisessa ei-fysikaalisten olioiden todellisuudessa. Matemaattisen empirismin mukaan matemaattiset oliot ovat tavallisia fysikaalisia olioita. Tama tarkoittaa, etta esimerkiksi kolmiot ovat olemassa fysikaalisesti. Intuitionismin mukaan kaikki matemaattiset totuudet ovat kokemuksellisia ja matematiikka on ihmisten suorittamaa konstruktiivista mentaalista toimintaa. Muut matematiikanfilosofiset nakokannat, kuten formalismi ja fiktionalismi , eivat myonna matemaattisten olioiden olemassaoloa ja ovat nain antirealistisia .

Lansimaisen matematiikan filosofian juuret ovat Platonissa , joka tutki matemaattisten olioiden ontologista asemaa, ja Aristoteleessa , joka tutki logiikkaa ja aarettomyyteen liittyvia ongelmia. Antiikin kreikkalainen matematiikan filosofia sai paljon vaikutteita geometriasta . Esimerkiksi tiettyna aikana kreikkalaiset olivat sita mielta, ettei 1 (yksi) ole luku, vaan ennemminkin pituuden yksikko. Varhaiset kreikkalaiset ajatukset luvuista kuitenkin joutuivat vaistymaan, kun irrationaaliluvut keksittiin luvun 2 neliojuuren loytamisen myota. Tama johti koko kreikkalaisen matemaattisen ajattelun uudistamiseen.

Monet kreikkalaisen matematiikan ajatukset sailyivat 1600-luvulle saakka. Tuolloin huomio alkoi kiinnittya yha enemman matematiikan ja logiikan valiseen suhteeseen. Tama nakokulma oli keskiossa ennen kaikkea Gottlob Fregen ja Bertrand Russellin matematiikan filosofiassa, mutta se joutui myohemmin kyseenalaistetuksi matematiikan kehityksen myota. 1900-luvun matematiikan filosofiaa hallitsivat kiinnostus formaaliin logiikkaan , joukko-oppiin ja matematiikan perustaan . Vuosisadan aikana matematiikan ontologiaa ja tietoteoriaa koskevat nakemykset jakaantuivat eri koulukuntiin. Tama on johtunut erilaisista reaktioista joihinkin uusiin yllattaviin ja intuition vastaisiin loytoihin formaalin logiikan ja joukko-opin alueilla. Tama on johtanut epailyksiin, jonka mukaan matematiikka sellaisena kuin se on tunnettu, ja matemaattinen analyysi erityisesti, eivat ole niin varmalla ja tasmallisella pohjalla kuin on luultu. Jotkin suuntaukset ovat pyrkineet ratkaisemaan uudet ongelmat, jotkin puolestaan ovat katsoneet, ettei matematiikka ole oikeutettu asemaansa kaikkein luotettavimman tiedon lahteena.

Matemaattinen realismi, kuten ontologinen realismi yleensa, katsoo, etta matemaattiset entiteetit ovat olemassa ihmismielesta riippumatta. Nain ihmiset eivat tee matematiikassa keksintoja, vaan ennemminkin loytoja, ja jos kaikkeudessa olisi muita alykkaita olentoja, ne tekisivat samoja matemaattisia loytoja. Seurauksena on olemassa vain yhdenlaista mahdollista matematiikkaa. Esimerkiksi kolmiot ovat todellisia entiteetteja, eivat ihmismielen luomuksia.

Monet tunnetut matemaatikot, kuten Kurt Godel ja Paul Erd?s , ovat kannattaneet matemaattista realismia ja nahneet itsensa luonnollisina esiintyvien matemaattisten entiteettien loytajina. Godel katsoi, etta on olemassa objektiivinen matemaattinen todellisuus, joka voidaan havaita tavalla joka vastaa aistihavaintoja. Matemaattisen realismin sisalla on kuitenkin erilaisia nakemyksia siita, millainen olemassaolo matemaattisilla entiteeteilla on ja kuinka niista tiedetaan.

Paaartikkeli: Platoninen realismi

Platoninen realismi on realismin muoto, jonka mukaan matemaattiset entiteetit ovat abstrakteja , eli niilla ei ole aika-avaruudellisia tai kausaalisia ominaisuuksia. Taman nakemyksen sanotaan usein olevan ihmisten arkijarjen mukainen nakemys esimerkiksi luvuista . Nakemysta kutsutaan platoniseksi siksi, koska se vastaa Platonin ideaopissaan esittamaa nakemysta tosiolevaisten ideoiden maailmasta. Platon sai ajatuksiinsa vaikutteita pythagoralaisilta , joiden mukaan koko todellisuus koostui kirjaimellisesti luvuista.

Platonismin ongelmana on se, missa ja milla tavalla matemaattiset oliot tarkkaan ottaen ovat olemassa, ja kuinka saamme tietoa niista? Onko jossain olemassa fysikaalisesta maailmastamme taysin erillinen maailma, jossa matemaattiset entiteetit sijaitsevat? Kuinka meilla on paasy tahan maailmaan, ja teemme loytoja naita entiteetteja koskevista totuuksista?

Paaartikkeli: Logisismi

Logisismi on nakemys, jonka mukaan matematiikka on palautettavissa logiikkaan, ja siksi vain logiikan osa-alue. ^[1] Logisistien mukaan matematiikka on tunnettavissa a priori ja analyyttisesti . Nain logiikka on matematiikan oikea perusta, ja kaikki matemaattiset totuudet ovat valttamatta loogisia totuuksia.

Logisismin perustaja oli Gottlob Frege . Rudolf Carnap esitti logisistisen teesin kahdessa osassa: ^[1]

1. Matemaattiset kasitteet voidaan johtaa logiikan kasitteista eksplisiittisten maaritelmien kautta.
2. Matemaattiset lauseet voidaan johtaa logiikan aksioomista puhtaalla loogisella deduktiolla .

Paaartikkeli: Matemaattinen empirismi

Matemaattisen empirismin mukaan matematiikkaa ei voida tuntea a priori lainkaan. Sen mukaan loydamme matemaattisia tosiasioita empiirisen tutkimuksen avulla, aivan kuten muillakin tieteenaloilla. Eras nakemyksen varhaisia kannattajia oli John Stuart Mill . Hanen nakemyksiaan kuitenkin kritisoitiin paljon, koska nakemyksen mukaan sellaiset lauseet kuten ”2 + 2 = 4” ovat epavarmoja, kontingentteja totuuksia, jotka voidaan oppia vain niin, etta naemme kahden olioparin tulevan yhteen ja muodostavan neljan olion joukon.

Nykyaikaista matemaattista empirismia ovat kannattaneet muun muassa W. V. O. Quine ja Hilary Putnam . Sen mukaan matematiikka on korvaamatonta empiirisille tieteille, ja jos haluamme uskoa tieteiden kuvaamien ilmioiden olevan todellisia, meidan on uskottava myos naiden tieteiden kayttamien kuvausten vaatimiin matemaattisiin entiteetteihin. Esimerkiksi koska fysiikan taytyy puhua elektroneista selittaakseen, kuinka sahkolamppu toimii, elektronien taytyy olla olemassa ; vastaavasti, koska fysiikan taytyy kayttaa lukuja elektroneja koskevissa selityksissa, lukujen taytyy olla olemassa. Tallainen nakemys on naturalistinen , ja katsoo matemaattisten entiteettien olemassaolon olevan paras selitys havaintokokemuksille. Tama kaventaa matematiikan ja muiden tieteiden valista kuilua.

Paaartikkeli: Intuitionismi

Intuitionismi on metodologia, jonka motto on ”ei ole olemassa kokemuksesta riippumattomia matemaattisia totuuksia”. Intuitionismin perustaja on L. E. J. Brouwer . Hanen mukaansa matemaattiset oliot saavat alkunsa apriorisista muodoista, jotka antavat tietoa empiirisia olioita koskevista havainnoista. ^[2] Brouwerin lisaksi intuitionismia on kannattanut muun muassa Michael Dummett .

Intuitionismin mukaan matematiikka on ihmismielen konstruktiivista toimintaa. Se ei koostu analyyttisesta toiminnasta, jossa olemassaolon monisyisia syvaominaisuuksia paljastetaan ja sovelletaan. Sen sijaan logiikassa ja matematiikassa on kyse sisaisesti yhdenmukaisten menetelmien soveltamisesta viela monisyisempien mentaalisten rakenteiden ymmartamiseksi.

Paaartikkeli: Konstruktivismi

Konstruktivismin mukaan matemaattisen entiteetin olemassaolon todistamiseksi se on valttamatta ensin loydettava (tai ”konstruoitava”). Kuten intuitionismi, konstruktivismi katsoo, etta matematiikkaan tulee hyvaksya vain sellaiset matemaattiset entiteetit, jotka voidaan eksplisiittisesti konstruoida tietyssa mielessa. Matematiikka ei ole merkityksettomilla symboleilla pelattua pelia, vaan koskee entiteetteja, jotka voimme luoda suoraan mentaalisen toiminnan kautta.

Paaartikkeli: Formalismi

Formalismin mukaan matemaattisia vaittamia voidaan pitaa vaittamina, jotka koskevat tiettyjen merkkijonojen kasittelysaantojen seuraamuksia. Esimerkiksi ”pelissa” nimelta Euklidinen geometria (joka koostuu ”aksioomiksi” kutsutuista merkkijonoista seka ”paattelysaannoista”, joiden avulla annetuista merkkijonoista voidaan tuottaa uusia merkkijonoja) voidaan todistaa, etta Pythagoraan lause patee (eli voidaan tuottaa merkkijono, joka vastaa Pythagoraan lausetta). Matemaattiset totuudet eivat koske lukuja, joukkoja, kolmioita ja niin edelleen — eivatka oikeastaan mitaan todella olemassa olevaa.

Formalismin ei kuitenkaan tarvitse tarkoittaa, etta matematiikassa on kyse vain merkityksettomasta symbolisesta pelista. Formalisti voi toivoa, etta on olemassa joku tulkinta, jolla ”pelin” saannot pitavat.

Paaartikkeli: Fiktionalismi

Fiktionalismin mukaan luvut ja muut matemaattiset entiteetit eivat ole todellisuudessa olemassa, vaan ne ovat enemman hyodyllista fiktiota. Tama sama ajatus tunnetaan myos yleisemmin filosofiassa fiktionalismina .

Matemaattinen fiktionalismi sai alkunsa kun Hartry Field osoitti teoksessaan Science Without Numbers (1980), kuinka tiedetta tehdaan ilman matematiikkaa. Han esitti Newtonin mekaniikan taydellisen aksiomatisoinnin, joka ei viitannut lukuihin tai funktioihin lainkaan. Han esimerkiksi hyodynsi Hilbertin aksioomien ”valillisyyden” ( betweenness ) kasitetta luonnehtiessaan avaruutta ilman avaruudellisia koordinaatteja. Hilbertin geometria oli matemaattista, koska se puhuu abstrakteista pisteista , mutta Fieldin teoriassa nama pisteet ovat konkreettisia fysikaalisen avaruuden pisteita, joten erillisia matemaattisia olioita ei tarvita.

• Logiikan filosofia
• Metamatematiikka

• Barker, Stephen F.:  Philosophy of Mathematics . Toimittaneet Janne Hiipakka ja Risto Vilkko. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 1964.

• Benacerraf, Paul & Hilary Putnam (editors):  Philosophy of Mathematics: Selected Readings . Second edition (First edition 1964). Cambridge: Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-29648-X .

• Bueno, Otavio: Nominalism in the Philosophy of Mathematics The Stanford Encyclopedia of Philosophy . The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
• Colyvan, Mark: Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics The Stanford Encyclopedia of Philosophy . The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
• Horsten, Leon: Philosophy of Mathematics The Stanford Encyclopedia of Philosophy . The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
• Jones, R. B.: Philosophy of mathematics page (englanniksi)
• Mancosu, Paolo: Explanation in Mathematics The Stanford Encyclopedia of Philosophy . The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
• Mancosu, Paolo: Mathematical Style The Stanford Encyclopedia of Philosophy . The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
• Philosophy of Mathematics ( Arkistoitu ? Internet Archive), Open Directory Project (englanniksi)

Tama artikkeli tai sen osa on kaannetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperainen artikkeli: en:Philosophy of mathematics