Positiivisen kokonaisluvun ${\displaystyle n}$ kertoma on luvun ${\displaystyle n}$ ja kaikkien sita pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo , ja se merkitaan ${\displaystyle n!}$. Esimerkiksi

${\displaystyle 4!=4\times 3\times 2\times 1=24\ }$

Kertoma kuvaa aarellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumaaraa: esimerkiksi 4 ihmista voivat olla jonossa 24 eri tavalla.

Kertoma voidaan yleistaa luonnollisilta luvuilta kompleksilukuihin saakka, tavallisin yleistys on gammafunktio .

Merkinnan ${\displaystyle n!}$ esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808 . ^[1]

Kertomaa kaytetaan yleensa pitkien kertolaskujen esittamiseen. Esimerkiksi

${\displaystyle 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=40320\ }$ voidaan esittaa muodossa ${\displaystyle 8!}$

Luvun ${\displaystyle n}$ kertoma maaritellaan seuraavasti: ^[2]

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n}$

kaikilla luonnollisilla luvuilla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Esimerkiksi

${\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120}$.

On lisaksi maaritelty, etta ${\displaystyle 0!=1}$, koska tyhja tulo on ${\displaystyle 1}$. Luvun ${\displaystyle n}$ kertomaa ei ole maaritelty negatiivisille luvuille tai desimaaliluvuille, ainoastaan luonnollisille luvuille.

Stirlingin approksimaatiolla voidaan arvioida kokonaisluvun kertomaa. Taman likimaaraismenetelman tarkkuus suurenee kun kasitellaan suuria kokonaislukuja. Arvioinnin menetelmaa pidetaan yleisesti skottilaisen matematiikon James Stirlingin kehittamana, ^[3] joskin samoihin aikoihin myos ranskalainen matematiikko Abraham de Moivre oli tutkinut aihetta. ^[4]

Tilastollisessa termodynamiikassa tarkastellaan hiukkasjoukkoa, jonka suuruus vastaa Avogadron vakiota . Entropiaa laskettaessa tarvitaan nain suuresta hiukkasjoukosta ottaa kertoma, jonka laskeminen ilman likimaaraismenetelmaa on tyolasta.

Stirlingin approksimaation johtamiseksi tarkastellaan kertoman logaritmia kun ${\displaystyle n}$ otetaan suurena lukuna:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln n!&\,=\,\ln {\Big [}n\cdot (n-1)\cdot (n-2)...(2)\cdot (1){\Big ]}\\&\,=\,\sum _{i=1}^{n}\ln(i)\simeq \int _{1}^{n}\ln(i)di\\&\,=\,{\Bigg |}_{i=1}^{n}n\ln n-n\,\simeq n\ln n-n\end{aligned}}}$

Euler-MacLaurin -yhtaloa kayttaen saadaan tarkempi approksimaatio: ^[5]

${\displaystyle \ln n!\,=\,n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \,n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-...}$

Tasta yhtalosta kaksi ensimmaista termia ovat taysin riittavia kertoman luonnollisen logaritmin approksimaation laskemiseksi kasiteltaessa hyvin suurta hiukkasjoukkoa. Oheisessa kuvassa on esitetty havainnollisuuden vuoksi yhtalon kahden ensimmaisen termin ja toisaalta kolmen ensimmaisen termin laskentatarkkuudella suhteellisen virheen pieneneminen tarkasteltavana olevan hiukkaslukumaaran kasvaessa.

Kertoman logaritmiton Stirlingin approksimaatio on ${\displaystyle n!\simeq \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}}$. Taman lisaksi kaikilla luonnollisilla luvuilla ${\displaystyle n}$ on voimassa arvio: ^[6]

${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n+{\frac {1}{12n+1}}}<n!<{\sqrt {2\pi }}n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n+{\frac {1}{12n}}}}$

Esimerkkeja approksimaation kaytosta:

${\displaystyle \left({\frac {10}{e}}\right)^{10}{\sqrt {2\pi \cdot 10}}}$	${\displaystyle \approx }$	${\displaystyle 3\,598\,696}$
${\displaystyle \left({\frac {100}{e}}\right)^{100}{\sqrt {2\pi \cdot 100}}}$	${\displaystyle \approx }$	${\displaystyle 9{,}325\cdot 10^{157}}$
${\displaystyle \left({\frac {10^{6}}{e}}\right)^{10^{6}}{\sqrt {2\pi \cdot 10^{6}}}}$	${\displaystyle \approx }$	${\displaystyle 8{,}265\cdot 10^{5\,565\,708}}$
${\displaystyle \left({\frac {10^{9}}{e}}\right)^{10^{9}}{\sqrt {2\pi \cdot 10^{9}}}}$	${\displaystyle \approx }$	${\displaystyle 9{,}905\cdot 10^{8\,565\,705\,522}}$

Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa . Erityisesti ${\displaystyle n!}$ on jaollinen kaikilla lukua ${\displaystyle n}$ pienemmilla ja yhtasuurilla alkuluvuilla . Siita seuraa, etta ${\displaystyle n>5}$ on yhdistetty luku , jos

${\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0\ ({\rm {mod}}\ n)}$.

Vahvempi tulos on Wilsonin lause , jonka mukaan

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\rm {mod}}\ p)}$,

jos ${\displaystyle p}$ on alkuluku. Ainoa kertoma, joka on myos alkuluku, on 2 . On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa ${\displaystyle \scriptstyle n!\pm 1}$. Naita alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi .

Kertomafunktio voidaan ilmaista kokonaislukuargumenttisen gammafunktion ${\displaystyle \Gamma (x),(x\in \mathbb {N} )}$ avulla:

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}$

.

Gammafunktion avulla kertoma voidaan maaritella myos muille kuin luonnollisille luvuille, mutta talloin kertoman sijasta yleensa viitataan suoraan gammafunktioon.

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta

${\displaystyle n!=\prod _{p\leq n}p^{\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor }}$,

missa luvut ${\displaystyle p}$ ovat alkulukuja .

• Todennakoisyyslaskenta
• Gammafunktio
• Binomikerroin
• Kertomafunktio
• Primorial
• Fibonaccin kertoma

• Mathworld: Factorial (englanniksi)
• Mathworld. Stirling's Approximation (englanniksi)
• http://factorielle.free.fr (englanniksi)
• Online laskimet kertoma