Taman artikkelin tai sen osan kieliasua on pyydetty parannettavaksi. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin kieliasua.

Osa artikkelisarjaa Geometria

Tasogeometria Piste Suora Kayra Taso Pinta Pinta-ala Pituus Kulma Trigonometria Ympyra Ellipsi Monikulmio Kolmio Nelikulmio Suorakulmio Nelio Suunnikas Neljakas Puolisuunnikas Avaruusgeometria Tilavuus Avaruuskappale Pallo Kartio Lierio Sarmio Suuntaissarmio Suorakulmainen sarmio Saannollinen monitahokas Platonin kappale Tetraedri Heksaedri eli kuutio Oktaedri Dodekaedri Ikosaedri Keplerin?Poinsot'n kappale Euklidinen geometria Paralleeliaksiooma Epaeuklidinen geometria Hyperbolinen geometria Elliptinen geometria Analyyttinen geometria

Hyperbolinen geometria kasittelee kaksiulotteista , negatiivisesti kaarevaa pintaa . Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa , ja joskus puhutaankin tassa yhteydessa satulapinnasta . Toinen esimerkkipinta on torvi. Monien ominaisuuksien puolesta hyperbolisen geometrian "vastakohtana" voidaan pitaa pallo- eli elliptista geometriaa , joilloin euklidinen geometria on naiden kahden valiin jaava rajatapaus.

Hyperbolinen geometria eroaa monin tavoin perinteisesta euklidisesta geometriasta , joka kasittelee aaretonta tasaista tasoa . Hyperbolisella pinnalla kolmion kulmien summa on esimerkiksi aina vahemman kuin 180 astetta , ja suoralle voidaan yksittaisen pisteen lapi piirtaa aareton maara sille yhdensuuntaisia suoria.

Hyperbolinen pinnan voi yleistaa myos kahta useampaan ulottuvuuteen. ^[1]

Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtaa useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. Tasta seuraa, etta monet euklidisen geometrian lauseet yhdensuuntaisille suorille eivat pade hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien m ja n ei taydy olla yhdensuuntaisia keskenaan, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Lisaksi suorasta l vakioetaisyydella olevat pisteet eivat muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa.

Euklidisessa geometriassa kaikki yhdensuuntaisten suorien valiset etaisyysjanat ${\displaystyle \lVert BP\rVert }$ ovat kohtisuorassa eli suoran ja etaisyysjanan valinen kulma on 90°. Hyberbolisessa geometriassa kulmien suuruus vaihtelee.

Tahan artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lahteita, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolahteista. Voit auttaa Wikipediaa lisaamalla artikkeliin tarkistettavissa olevia lahteita ja merkitsemalla ne ohjeen mukaan. Tarkennus: Koko kappale lahteeton. Missaan ei myoskaan sanota, vaitetaanko naita yleispateviksi missa tahansa hyperbolisessa geometriassa, vai jossakin tietyssa.

Jos suorakulmaisessa kolmiossa a ja b ovat kateetteja ja c hypotenuusa, niin hyperbolisessa geometriassa patee yhtalo:

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b\,.}$

missa funktio cosh on hyperbolinen funktio , jonka vastine trigonometriassa on cos -funktio. Kaikilla trigonometrisilla funktioilla on vastaavat funktiot hyperbolisessa geometriassa.

Euklidisen geometrian tuloksille on olemassa vastineet hyperbolisessa geometriassa. Olkoon hyperbolisen kolmion sivut "a", "b" ja "c" ja niita vastaavat kulmat "A", "B" ja "C". Silloin on voimassa Sinilause :

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}.}$

seka Kosinilause :

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,\,}$

tai

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c.}$

Erikoistapauksessa kun C on suorakulma, niin kosinilauseesta seuraavat yhtalot:

${\displaystyle \sin A={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,}$

${\displaystyle \cos A={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,}$

${\displaystyle \tan A={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}.\,}$

Euklidisella tasolla kolmion kulmien summa on aina 180° ( radiaaneissa ${\displaystyle \pi }$), mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle 180°. Hyperbolisessa geometriassa ideaalikolmioksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.

Hyperbolisessa geometriassa ympyran piiri on suurempi kuin ${\displaystyle 2\pi r}$, missa ${\displaystyle r}$ on kyseisen ympyran sade.

Olkoon ${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$, missa ${\displaystyle K}$ on pinnan Gaussin kaarevuus. Talloin ympyran piiri saadaan kaavasta:

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}.}$

Suljetun kiekon pinta-ala on taas:

${\displaystyle 2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)\,.}$

Pallon pinta-ala:

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.}$

Suljetun kuulan tilavuus:

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.}$

(n-1) -ulotteinen pallon mitta:

${\displaystyle \Omega _{n}R^{n-1}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}},\,}$

missa

${\displaystyle \Omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,}$

ja ${\displaystyle \Gamma \,}$ on gammafunktio .

Suljetun n -ulotteisen kuulan mitta:

${\displaystyle \Omega _{n}R^{n-1}\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}dr\,.}$

Kahdentuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos , Ibn al-Haitham , Omar Khaijam , Nasir al-Din Tusi , Witelo , Gersonides , Alfons , ja myohemmin Saccheri , John Wallis , Lambert ja Legendre yrittivat todistaa paralleeliaksioomaa . Koska heidan yrityksensa epaonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkia tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss , Bolyai ja Lobat?evski kehittivat epaeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisia malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler , Monge ja Gauss , ja vuonna 1837 Lobat?evski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.

Hyperbolisen geometrian keksimisella oli huomattavia filosofisia vaikutuksia. Aikaisemmin monet filosofit, muun muassa Hobbes ja Spinoza , olivat pitaneet euklidista geometriaa ehdottoman varmana ja samalla valttamattomana totuutena, joka ei voisikaan olla toisin. Niinpa Spinoza kirjoitti Etiikka -teoksensa Eukleideen antaman esikuvan mukaisesti yrittaen todistaa kaikki vaittamansa "geometrisella menetelmalla" muutamien maaritelmien ja aksioomien avulla. ^{[2] [3]} Myos Hobbes piti geometriaa ainoana toistaiseksi luotuna varsinaisena tieteena. ^[4] Jo ennen heita oli Tuomas Akvinolainen suorastaan vaittanyt, ettei edes Jumala voi esimerkiksi tehda kolmion kulmien summaa muuksi kuin kaksi suoraa kulmaa . ^[5] Tosin Hume ei pitanyt geometriaa yhta varmana kuin aritmetiikkaa ja algebraa , koska hanen mukaansa emme voi olla varmoja sen aksioomien totuudesta. ^[6]

Kant paatyi teoksessaan Puhtaan jarjen kritiikki siihen kasitykseen, etta avaruus, euklidisen geometrian mukaisena, ovat valttamattomia mielteita ja ettemme voi kuvitellakaan, ettei niita olisi, ja etta taman vuoksi euklidinen geometria, vaikka onkin synteettinen , on kuitenkin a priori ja soveltuu valttamattomasti kaikkiin havaitsemiimme ilmiohin. Kuitenkaan hanen mukaansa ei ole mitaan patevaa syyta olettaa, etta se soveltuisi myos tosiolevaiseen, olioihin sinansa . ^[7]

On vaitetty, etta Gauss ei pitkaan aikaan julkaissut ajatuksiaan hyperbolisesta geometriasta, koska han pelkasi "boiotialaisten kapinaa", joka olisi tuhonnut hanen maineensa "matemaatikkojen ruhtinaana" ( lat. princeps mathematicorum ). ^[8] Ajoittain han epaili itsekin, olivatko hanen ajatuksensa lainkaan terveella pohjalla. ^[9] Vahitellen, erityisesti Bolyain , Lobat?evskin ja Riemannin ansiosta hanen ajatuksensa tulivat kuitenkin hyvaksytyiksi ^[9] , ja niilla oli suuri vaikutus kasityksiin matemaattisesta varmuudesta, analyyttiseen filosofiaan ja logiikkaan . Voitiin osoittaa, etta hyperbolinen geometria on sisaisesti yhta ristiriidaton kuin euklidinenkin, ja lisaksi on viela muitakin taysin ristiriidattomia mahdollisuuksia. Nain ollen kysymys todellisen fysikaalisen avaruuden geometrian luonteesta jai fysiikan ratkaistavaksi.

Esimerkiksi Bertrand Russell paatyi kasitykseen, etta "geometria" on yhteisnimitys kahdelle taysin erilaiselle tutkimuskohteelle. Toisaalta on deduktiivinen geometria, joka paattelee loogisten paattelysaantojen mukaan, mita annetuista aksioomeista seuraa, kysymatta ovatko nama aksioomat sinansa "tosia". Siina eivat geometrian oppikirjoissa kaytetyt kuviotkaan ole valttamattomia, joskin niita voidaan kayttaa asian havainnollistamiseksi. Toisaalta on geometria fysiikan osana, esimerkiksi yleisessa suhteellisuusteoriassa . Sellaisena se on mittauksiin perustuva empiirinen tiede . Toisin kuin Kant vaitti, naista edellinen on siis a priori mutta ei synteettinen, kun taas jalkimmainen on synteettinen mutta ei a priori . ^[7]

David Hilbert todisti vuonna 1901, etta hyperbolista tasoa ei voida isometrisesti upottaa kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$, toisin sanoen avaruudessa avaruudessa ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ei ole sellaista pintaa, jolle hyperbolinen taso kokonaisuudessaan voitaisiin isometrisesti kuvata. ^[10] On kuitenkin olemassa pseudopalloiksi sanottuja pintoja, joilla on vakio negatiivinen Gaussin kaarevuus ja jotka sen vuoksi ovat lokaalisti isometrisia hyperbolisen tason kanssa. Tunnetuin sellainen on traktroidi , joka syntyy traktrix -nimisen kayran pyorahtaessa asymptoottinsa ympari. ^{[11] [12]}

Koko hyperboliselle tasolle voidaan kuitenkin muodostaa malleja maarittelemalla jollekin euklidisen tason osalle tavanomaisesta poikkeava metriikka . Tallaisia malleja ovat Kleinin malli , Poincaren kiekkomalli , Poincaren puolitasomalli ja hyperboloidimalli , joista kolme ensimmaista ovat Beltramin kehittamia, eivatka Kleinin ja Poincaren , joiden mukaan mallit on nimetty.

• http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf ( Arkistoitu ? Internet Archive)
• http://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/73885/graduGlader2011.pdf?sequence=1 ( Arkistoitu ? Internet Archive)
• https://jyx.jyu.fi/dspace/bitstream/handle/123456789/26824/URN%3aNBN%3afi%3ajyu-2011042710685.pdf?sequence=1

• "The Hyperbolic Geometry Song" Lyhyt video Youtubessa, joka kertoo hyperbolisesta geometriasta
• Universal Hyperbolic Geometry III: First Steps in Projective Triangle Geometry