Hadamardin matriisi tarkoittaa matematiikassa nelio matriisia , jonka komponentit ovat lukuja +1 ja −1 ja jonka rivit ovat pareittain ortogonaalisia. ^[1] Hadamardin matriiseja kaytetaan virheita korjaavien koodien teoriassa muun muassa Reed-Muller-koodien konstruoimiseen.

Matriisit on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jacques Hadamardin mukaan.

Maaritelmasta seuraa, etta kertalukua ${\displaystyle n}$ oleva Hadamardin matriisi ${\displaystyle H}$ toteuttaa ehdon

${\displaystyle HH^{\mathrm {T} }=nI_{n}}$

missa I _n on n × n yksikkomatriisi .

Olkoon M kertalukua n oleva kompleksinen matriisi, jonka alkiot toteuttavat ehdon | M _ij | ≤1. Talloin Hadamardin epayhtalon mukaan

${\displaystyle |\operatorname {det} (M)|\leq n^{n/2}.}$

Yhtasuuruus tassa rajassa saavutetaan reaalilukumatriisilla M silloin ja vain silloin, kun M on Hadamardin matriisi.

Hadamardin matriisin kertaluku voi olla vain 1, 2, tai luvun 4 monikerta.

Esimerkkeja Hadamardin matriiseista onnistui ensimmaisena konstruoimaan James Joseph Sylvester . Olkoon H kertalukua n oleva Hadamardin matriisi. Talloin ositettu matriisi

${\displaystyle {\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}}$

on kertalukua 2 n oleva Hadamardin matriisi. Tata prosessia toistamalla saadaan muodostettua seuraava jono Hadamardin matriiseja:

${\displaystyle H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \vdots }$

Talla tavalla Sylvester onnistui konstruoimaan kertalukuja 2 ^k , missa k on ei-negatiivinen kokonaisluku, olevia Hadamardin matriiseja.

Sylvesterin matriiseilla on useita erityisominaisuuksia. Ne ovat muun muassa symmetrisia. Ensimmaisen rivin ja ensimmaisen sarakkeen komponentit ovat kaikki positiivisia. Sylvesterin matriisit liittyvat laheisesti Walshin funktioihin.

Tarkein Hadamardin matriiseihin liittyva avoin ongelma koskee niiden olemassaoloa. Hadamardin konjektuurin mukaan on olemassa kaikkia kertalukuja 4 k , missa k on positiivinen kokonaisluku, olevia Hadamardin matriiseja.

Sylvesterin menetelmalla voidaan muodostaa Hadamardin matriiseja, joiden kertaluku on 1, 2, 4, 8, 16, 32, jne. Hadamard itse onnistui pian konstruoimaan kertalukuja 12 ja 20 olevat Hadamardin matriisit. Raymond Paley esitti myohemmin menetelman, jolla voidaan konstruoida Hadamardin matriiseja, joiden kertaluku on muotoa q  + 1, missa q on jonkin parittoman alkuluvun potenssi, joka on kongruentti luvun 3 kanssa modulo 4. Han esitti konstruktiomenetelman myos Hadamardin matriiseille, joiden kertaluvut ovat muotoa 2( q  + 1), missa q on jonkin parittoman alkuluvun potenssi, joka on kongruentti luvun 1 kanssa modulo 4. Paleyn konstruktio perustuu aarellisten kuntien teoriaan .