Diracin yhtalo on Paul Diracin vuonna 1928 kehittama relativistinen kvanttimekaaninen aaltoyhtalo , joka kuvaa spin-1/2-hiukkasia. Dirac paatyi yhtaloonsa havaittuaan, etta Oskar Kleinin ja Walter Gordonin kehittama aaltoyhtalo johtaa negatiivisiin todennakoisyyksiin , koska se on ajan suhteen toista kertalukua. Niinpa Dirac haki ratkaisua tekemalla vapaalle hiukkaselle ensimmaista kertalukua olevan yritteen

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(-i\hbar c\alpha _{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+\beta mc^{2}\right)\Psi }$.

Kun vaaditaan, etta yhtalon oikean puolen operaattori on hermiittinen ja nelioityna antaa Kleinin-Gordonin yhtalon , paadytaan siihen, etta ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ja ${\displaystyle \beta }$ eivat voi olla lukuja, vaan vahintaan 4x4- matriiseja . Talloin myos aaltofunktiolla ${\displaystyle \Psi }$ on nelja komponenttia. Niista kaksi on positiivisen energian tiloja ja kaksi negatiivisen energian tiloja. Negatiivisen energian tilat tulkitaan antihiukkasiksi . Hiukkasen ja antihiukkasen tilat puolestaan ovat spin-1/2-hiukkasen kaksi eri spintilaa ("spin ylos" ja "spin alas"). Nain Diracin yhtalo tuo luonnollisella tavalla teoriaan spinin.

Tavallisesti yhtalo esitetaan muodossa, jossa se on kerrottu ${\displaystyle \beta }$:lla ja maaritelty ${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}}$, ${\displaystyle \beta \alpha _{k}=\gamma ^{k}}$, jolloin yhtalo saa muodon

${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\Psi =0}$.

Gammamatriisit toteuttavat ns. Cliffordin algebrana tunnetut antikommutaatiorelaatiot: ${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }}$, missa ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ on metrinen perustensori ${\displaystyle \operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$.

Lahteet [ muokkaa | muokkaa wikitekstia ]

• Niskanen, Jouni:  Kvanttimekaniikka II . Helsinki: Limes ry, 2003.