Tahan artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lahteita, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolahteista. Voit auttaa Wikipediaa lisaamalla artikkeliin tarkistettavissa olevia lahteita ja merkitsemalla ne ohjeen mukaan.

Analyyttinen lukuteoria on lukuteorian osa-alue, jossa lukuteorian ongelmien ratkaisemiseen kaytetaan matemaattisen analyysin menetelmia. Ensimmainen merkittava analyysia lukuteoriaan soveltamalla saatu tulos oli todistus Dirichlet'n lauseelle alkuluvuista aritmeettisessa lukujonossa . Myos alkulukulauseen todistus oli tarkea merkkipaalu analyyttisen lukuteorian historiassa.

Analyyttisen lukuteorian kehitys on jatkunut yhta vilkkaana kuin kukoistuskaudellaan 1930-luvulla. Multiplikatiivinen lukuteoria kasittelee alkulukuja ja Dirichlet'n sarjoja . Samoja menetelmia on pyritty yleistamaan yleisille L-sarjoille , mutta tassa teoriassa on viela paljon ratkaisemattomia ongelmia. Tyypillisia additiivisen lukuteorian ongelmia ovat muun muassa Goldbachin konjektuuri ja Waringin probleema .

Analyyttisen lukuteorian menetelmat ovat muuttuneet jonkin verran ajan kuluessa. Hardyn ja Littlewoodin ympyramenetelma tarkasteli potenssisarjoja lahella yksikkoympyraa , kun taas nykyaan sarjat yleensa katkaistaan ja tarkastellaan aarellisia summia. Diofantoksen approksimointi on tullut apukeinona generoivien funktioiden lisaksi. Naiden funktioiden kertoimet on konstruoitu kyyhkyslakkaperiaatetta hyvaksikayttamalla ja kertoimet ovat kompleksilukuja. Diofantoksen approksimoinnin ja transkendentiaalisuusteorian kehitysta on voitu kayttaa Mordellin otaksuman tutkimisessa.

Suurin yksittainen analyyttisen lukuteorian menetelma 1950-luvun jalkeen on ollut seulamenetelmat , jotka sopivat erityisesti multiplikatiivisiin ongelmiin. Nama menetelmat ovat luonteeltaan kombinatorisia.

Myos probabilistista lukuteoriaa kaytetaan paljon. Probabilistisen lukuteorian ideana on laskea todennakoisyys, etta satunnaisesti valitulla tietyn perusjoukon alkiolla on tietty ominaisuus. Jos perusjoukko on aarellinen ja tama todennakoisyys on 1, niin talloin ominaisuus patee kaikilla alkioilla ja lause on saatu todistettua. Aarettomien joukkojen ollessa kysymyksessa tallainen logiikka ei pade, koska ne voivat sisaltaa aarettomiakin sellaisia nollamitallisia osajoukkoja, joissa ko. ominaisuus ei ole voimassa. Numeroituvan perusjoukon ollessa kysymyksessa todennakoisyys 1 tarkoittaa sita, etta niiden alkioiden, joilla kyseinen ominaisuus ei ole voimassa, suhteellinen osuus lahestyy asymptoottisesti nollaa, kun alkioita kaydaan lapi numerointijarjestyksessa.

Esimerkki probabilistisesta lukuteoreettisesta virhepaatelmasta [ muokkaa | muokkaa wikitekstia ]

Vaitamme, etta lukua 1 suurempien luonnollisten lukujen joukossa alkulukujen tiheys on 1/2.

Muodostamme naiden kokonaislukujen numeroinnin siten, etta valitsemme numerointiin vuorotellen alkuluvun ja yhdistetyn luvun niiden esiintymisjarjestyksessa. Nain saamme lukujonon

${\displaystyle 2,4,3,6,5,8,7,9,11,10,13,12,17,14,19,15,23,16,29,...}$

Nain saadusta lukujonosta toteamme helposti, etta:

• Se sisaltaa kaikki lukua 1 suuremmat luonnolliset luvut, jokaisen tasmalleen yhteen kertaan ja
• Joka toinen jonon luvuista on alkuluku.

Taman perusteella voitaisiin helposti vetaa se johtopaatos, etta lukua 1 suurempien luonnollisten lukujen joukossa esiintyisi alkulukuja tiheydella 1/2, eli todennakoisyys sille, etta joukosta "satunnaisesti" valittu luku on alkuluku, olisi 50 %.

Virhepaatelma johtuu siita, etta uuden lukujen jarjestyksen muuttamisen yhteydessa todennakoisyysjakaumaa on muutettu "tyontamalla" yhdistetyt luvut kauemmaksi.