Aaltofunktio ${\displaystyle \psi (x,y,z,t)}$ on kvanttimekaniikan tapa kuvata hiukkasta. Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen suure, jonka itseisarvon nelio, todennakoisyysamplitudi ${\displaystyle |\psi |^{2}}$(tarkasti ottaen tulo kompleksikonjugaattinsa kanssa ${\displaystyle \psi \psi ^{*}}$) kuvaa hiukkasen esiintymisen todennakoisyystiheytta tiettyna hetkena tietyssa pisteessa: ${\displaystyle p(x,y,z)dV=|\psi |^{2}dV=\psi \psi ^{*}dV}$ (tassa ${\displaystyle \psi }$ ei ole ajan funktio).

Klassisen fysiikan mukaan hiukkanen on paikallistunut tiettyyn pisteeseen tietylla hetkella, ja sen paikka ja nopeus voidaan tietaa aarettoman tarkasti samanaikaisesti. Kvanttimekaniikassa hiukkanen ei kuitenkaan esiinny paikallistuneena tiettyyn pisteeseen, vaan sen paikan ja liikemaaran maarityksessa on aina tietty epavarmuus (ks. Heisenbergin epatarkkuusperiaate ). Tama ajattelutapa on seurausta kokeista, joissa hiukkaset ilmentavat itseaan aaltoina (Thompsonin elektronidiffraktio, esimerkiksi).

Tulosta voidaan havainnollistaa seuraavan yksiulotteisen esimerkin avulla. Tiedetaan, etta hiukkanen on paikallistunut avaruudessa ja tarvitaan myos sita kuvaava aaltofunktio ${\displaystyle \psi }$ noudattamaan edella mainittua todennakoisyystiheysominaisuutta. Kvanttimekaanisesti ajatellaan siis paikallistunutta aaltofunktiota hiukkasena. Lahdetaan liikkeelle taysin paikallistumattomasta aaltofunktiosta, eli jonka paikkaa ei tiedeta lainkaan: kosiniaallosta ${\displaystyle \psi =A\cos(kx)}$, jossa ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$. Kosiniaalto on muodoltaan samankaltainen kuin siniaalto , ja sellaisenaan se on maaritelty negatiivisesta aarettomasta positiiviseen aarettomaan. Kun laitetaan paallekkain useampia kosiniaaltoja (eli rakennetaan ${\displaystyle \psi }$:n Fourier-sarjalla ), joiden aaltoluvut k eroavat hieman toisistaan, jossain kohdissa aaltofunktiot kumoavat toisensa, kun taas jossain kohdissa ne vahvistavat toisiaan. Valitsemalla k :t sopivasti voidaan luoda lokalisoitunut aaltopaketti. Tassa kaytetaan binomijakaumaa kertoimille, jotta saadaan suurin piirtein Gaussin kayran rajaama paketti (ks. kuva): ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=-d}^{d}{2d \choose d-|n|}\cos {\left((k_{0}+n\Delta k_{0})x\right)}}$ (normalisoi jakamalla ${\displaystyle \sum _{n=-d}^{d}{2d \choose d-|n|}}$). Mita paikallistuneempi paketti halutaan, eli mita tarkemmin halutaan tietaa sen paikka, sita suurempi jakauma tarvitaan ${\displaystyle k_{0}}$:ssa. Taten paikallistunut aaltofunktio hiukkaselle tarvitsee jakauman liikemaarassa, koska ${\displaystyle k_{0}=2\pi /\lambda =2\pi p/h}$. Taten mita pienemmaksi epavarmuus paikassa vahenee, sita suuremmaksi epavarmuus liikemaarassa kasvaa.

Aaltofunktioille patee Schrodingerin aaltoyhtalo , jonka avulla voimme laskea aaltofunktion muodon esimerkiksi vety atomin 1s- elektronille . Kvanttimekaanisesti yksielektronisen vetyatomin 1s-elektronin aaltofunktio on pallomainen, eli elektroni ei kierra ydinta millaan ellipsiradalla vaan sen aaltofunktio on levinnyt pallomaiseksi, pienentyen mita kauempana ytimesta elektronia tarkastelemme.

Koska todennakoisyys sille, etta hiukkanen ylipaansa on jossain, on yksi, on toteuduttava normittumisehto ^[1] ${\displaystyle \int |\psi |^{2}dV=1}$. Niin sanotuissa sirontatiloissa tallainen normittaminen ei kuitenkaan yleensa onnistu. Aaltofunktion ja sen derivaatan on oltava jatkuvia . Jos potentiaali on epajatkuva, voi aaltofunktion derivaatassa esiintya epajatkuvuus.

Aaltofunktiolla voimme myos selittaa havainnon, etta yksittaiset fotonit noudattavat tuttua diffraktiokuviota Youngin kaksoisrakokokeessa . Klassisesti tama on mahdotonta, koska fotonihiukkasen on mentava jommastakummasta raosta eika se voi diffraktoida toisen fotonin kanssa. Kuitenkin fotonit ovat ”tietoisia” toisestakin raosta ja luovat diffraktiokuvion. Kvanttimekaniikassa ongelmaa ei ole, silla fotonille voidaan loytaa aaltofunktioratkaisuja, joiden mukaan se ”kulkee” molempien rakojen lapi samanaikaisesti diffraktoiden itsensa kanssa.

Aaltofunktion kasitetta voidaan hyodyntaa myos klassisille aalloille. Esimerkiksi mekaanisen aallon aaltofunktio kuvaa valiaineen hiukkasjoukon siirtymia (aallon muotoa ja kulkusuuntaa) tietylla hetkella ^[2] . Tarkastellaan esimerkkina yksiulotteista, vakiomuotoista ja poikittaista aaltoa, joka kulkee narussa maahan nahden positiiviseen x-suuntaan nopeudella v . Naru valiaineena noudattaa Hooken lakia ^selvenna . Y-akseli maaritellaan suuntaan, joka on kohtisuora aallon etenemissuuntaan nahden. Nopeudella v aalto kulkee ajan t kuluessa matkan vt maahan nahden. Jos aaltoa tarkastellaan Maan suhteen nopeudella v liikkuvassa koordinaatistossa M, johon nahden aallon nopeus on nolla, voidaan narun minka tahansa hiukkasen siirtyma y-suunnassa esittaa liikkumatonta aaltoa kuvaavan "ajasta riippumattoman aaltofunktion" f() arvona D _My = f( x _M ). Jos taas tilannetta tarkastellaan Maan koordinaatistossa, jossa aallon nopeus on v , koordinaatti x = x _M - vt , ja tarvitaan "ajasta riippuvaa aaltofunktiota" f( x,t ) kuvaamaan kohdassa x olevan hiukkasen siirtymaa hetkella t . Voidaan osoittaa ^lahde? , etta ajasta riippuvan aaltofunktion yleinen muoto harmoniselle aaltoliikkeelle on aallon kulkusuunnasta riippuen joko f( x-vt ) tai f( x+vt ), jossa f(x) on aallon muodon maarittava funktio, esimerkiksi sin( k(x-vt) ). Tulos seuraa siita, etta aaltofunktio f( x _M ) aallon suhteen liikkumattomassa koordinaatistossa saa maan suhteen liikkumattomassa koordinaatistossa muodon f( x-vt ), missa x on Maan koordinaatiston koordinaatti. Nain ollen mielivaltaisen narupartikkelin siirtyma Maan koordinaatistossa y-akselin suhteen on niin ikaan D _Y = f( x-vt ) samoin merkinnoin. Tulokset voidaan yleistaa myos useampiulotteisille aalloille. ^[2]

• Tunneloituminen

• Mandl, Franz:  Quantum Mechanics . Butterworths & Co., 1966 (1957).