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![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150f0bb6d0473b0cc572e736e3f0c61ae490cf0e)
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![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946034030fac5e3d547e35f94ac672ed9dbc87d2)
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![{\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766a4c626f3531edc743bbd885717e40e1aaebf9)
![{\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd45ba54c39e5cdf5302a3620025ec7697271595)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2774a663ddaa56d3418815d5a7d05fcf456d6f12)
![{\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7f5d5e3408c2d465f9e463c5576810f83d2401)
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8888bb9e8d52fd12fbc05a98715f64c105a884)