Zenbaki kardinala
multzo bat osatzen duten elementu kantitatea adierazten duen
zenbakia
da, kantitate hori finitua edo infinitua izanda. Izan bedi A multzoa. A multzoa finitua dela esango dugu A = ? bada edo existitzen bada n ∈ N zeinentzako A multzoa eta {1,...,n}
multzoa
ekipotenteak
diren. Multzo hutsaren kardinala 0 dela diogu, eta bestelako kasuan, n horri
A-ren kardinala
esaten zaio, eta a |A| = Card(A) = n gisa adieraziko dugu.
A multzo infinitua dela diogu finitua ez bada.
George Cantorrek, 1874an, zenbaki kardinalaren kontzeptua proposatu eta aurrera eraman zuen.
Handitu zuen zenbaki infinituetara ez soilik finituetara.
Cantorrek definitu zuen hau, esanez bi multzo finitu kardinal berdina (ekipotenteak) zutela haien elementuen arteko bijekzio bat existitzen bada.
Zenbaki naturalen kardinala izendatu zuen:
?:
Alef 0
- A eta B bi
multzo finitu
eta
disjuntoak
baldin badira (
), orduan bi multzo horien
bilduraren
kardinala horrela kalkula daiteke:
- A multzoa finitua eta
azpimultzo propioa
baldin bada, orduan B ere finitua izango da eta
- A eta B bi multzo finitu badira,
Lehenengoa
printzipio batukorra
ren formarik sinpleena da. Izan ere, honek hurrengoa dio:
binaka disjuntoak baldin badira
, orduan multzo guztien bilduraren kardinala multzo bakoitzaren kardinalaren batura izango da:
Garrantzitsua da multzoak
binaka
disjuntoak izatea. Adibidez,
,
eta
-ren kasuan, multzo guztien ebakidura hutsa da
, baina
binaka ez
dira hutsak
,
eta
. Beraz,
ez da izango
, baizik eta
Izan ere, orokorrean, A eta B bi multzo finitu direnean
inklusio-esklusioaren printzipioa
betetzen da:
Multzo baten kardinalaren kalkuluaren adibideak
[
aldatu
|
aldatu iturburu kodea
]
A = {2,4,5} kardinal multzo finitua 3 da. Hutsala da funtzio hori injektiboa dela frogatzea: f: {2,4,5} → {1,2,3}:
multzo infinituaren kardinala zenbaki bikoitiez osatuta
da. Hori frogatzeko, nahikoa da funtzioak definitzea:
:
:
Bien injektibotasuna frogatuz, ondorioztatzen dugu f bijektiboa dela. Multzoaren kardinaltasuna
da. Hau frogapena amaitzen da. Emaitza honek intuizioaren kontrakoa irudi dezakeen arren, pareak baino naturalagoak direla pentsa baitaiteke (adibidez, 1) naturala delako eta ez dagoelako pareetan sartuta, multzo horiek ekiahaltsuak direla frogatzen dugu.
Zenbaki arrunten pare ordenatuen (edo, eskuarki, n-tuploen) multzoak
kardinal bat du. Hau zenbaki pareak diagonalaren aurka zenbakituz froga daiteke.
naturalen azpimultzo infinitu batek duen kardinal bera duela frogatzeko beste modu bat da:
:
3 eta 2 zenbaki lehenak direnez, x pare bakoitzerako, eta zenbaki desberdina lortuko dugu. Orduan
injektiboa da eta
.
zenbaki arrazionalen multzoak
-ren pareko kardinala du. Emaitza horrek intuizioari aurre egiten dio, alde batetik, arrazionalen multzoa "trinkoa" delako
-n, zeinak
kardinala baitu. Izan ere, zenbaki errealen topologia pixka bat aztertuz gero, bi zenbaki errealen artean zenbaki arrazional bat dago beti, eta bi arrazionalen artean beti dago erreal irrazional bat. Horrek
eta
elementu kopuruaren arabera alderagarriak direla pentsaraz lezake, baina
-k
adina elementu baino ez ditu, eta
elementuen kopurua
-ren elementu kopurua baino askoz ere handiagoa da.
multzoa zenbakigarria dela eta, beraz, naturalek duten kardinal bera duela egiaztatzeko, ikus dezakegu
funtzio injektibo bat dagoela.
zenbaki arrazional bat r/s-ren berdina bada, bi zenbaki lehenen arteko erlatiboak izanik, orduan definitzen dugu:
:
Horrek erakusten du
, eta
eta naturalak arrazionalen multzo baten parekoak direnez, desberdintasunen katea dugula:
Beraz:
eta
multzoak,
eta
kardinalekin, batuketaren printzipioa eta produktuaren printzipioa definitzen dira, kardinalak batu eta biderkatzeko:
,
Bi multzoak finituak direnean, kardinalen aritmetika zenbaki arrunten aritmetikara mugatzen da. Hala ere, bi multzoetako bat infinitua denean, zenbaki arrunten aritmetikaren hedadura sendoa izaten da. Kardinal transfinituen artean erlazio aritmetiko interesgarri batzuk daude:
- Bi multzoren batasunaren kardinala bat dator kardinal handienarekin:
- Bi multzotako produktu kartesiarraren kardinala kardinal handienekoa da:
Kardinalen esponentziazioa bi
eta
multzoen arteko funtzio-multzotik abiatuta definitzen da:
Aurreko definizioekin, berehala egiaztatu behar da:
,