Koordenatu esferikoen elementuak
Koordenatu esferikoen sistema
koordenatu polarren
ideia berean oinarritzen da eta puntu baten posizio espaziala distantzia eta bi angelu erabiliz zehazteko erabiltzen da. Ondorioz, P puntu bat hiru magnitudeen multzo baten bidez adierazten da:
erradioa
,
angelu polarra
edo
kolatitudea
eta
azimutula
.
Autore batzuek kolatitudearen ordez
latitudea
erabiltzen dute, eta kasu horretan bere marjina -90°-tik 90°-ra bitartekoa da (-π/2-tik π/2-ra
radian
), zeroa XY planoa izanik. Azimutalaren neurria ere alda daiteke, angelua erlojuaren orratzen noranzkoan edo erlojuaren aurkako noranzkoan neurtzen den arabera, eta 0°-tik 360°-ra (0-tik 2π-ra radianetan) edo -180°-tik +180°-ra (-π-tik π-ra).
Egile batek zein konbentzio erabiltzen duen jakin beharko zenuke.
Estatubatuar ez diren fisikari, ingeniari eta matematikari gehienek idazten dute:
, azimutala : 0°-tik 360°-ra
, kolatitudea : 0°-tik 180°-ra
Hau da artikulu honetan jarraitzen dugun konbentzioa. Nazioarteko sisteman, hiru koordenatuen aldakuntza-eremuak hauek dira:
![{\displaystyle 0\leq r<\infty \qquad 0\leq \theta \leq \pi \qquad 0\leq \varphi <2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97151b4b40b485391b557eabd542805f9205f3e7)
Koordenatu erradiala beti da positiboa.
-ren balioa murriztuz 0 baliora iristen bada, hortik aurrera,
; berriro handitzen da, baina
balio du π-
eta
π radianetan handitzen edo gutxitzen da.
Gaur egun, AEBetan erabiltzen den konbentzioa ez da europarraren bera. Angelu azimutala adierazteko
erabiltzen da, eta polarra, latitudea edo kolatitudea adierazteko
erabiltzen da.
Multzo irekiei
buruz:
![{\displaystyle U=\{(r,\theta ,\varphi )|r>0,0<\theta <\pi ,0\leq \varphi <2\pi \}\qquad {\mbox{eta}}\qquad V=\{(x,y,z)|x^{2}+y^{2}+z^{2}>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7072eda4597a5ba926102eb5de09584fee31ff98)
Koordenatu kartesiar
eta esferikoen arteko
korrespondentzia unibokoa dago erlazio hauek definitutakoak:
![{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\qquad \theta ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)&z>0\\{\frac {\pi }{2}}&z=0\\\pi +\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)&z<0\end{cases}}\qquad \varphi ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&x>0{\mbox{ y }}y>0{\mbox{ (1° Q)}}\\2\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&x>0{\mbox{ y }}y<0{\mbox{ (4° Q)}}\\{\frac {\pi }{2}}{\mbox{sgn}}(y)&x=0\\\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&x<0{\mbox{ (2° y 3° Q)}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42516d4b1d156dbe6efe0d2925ee1b2b9ea9104)
Erlazio horiek bereziak egiten dira
ardatz berera hedatzen saiatzen direnean, non
, zeinetan φ, ez dagoen definituta. Gainera, φ ez da inongo
puntutan jarraitua
bada.
Alderantzizko funtzioa
ireki berdinen arteko alderantzizko erlazioen arabera idatz daiteke:
![{\displaystyle x=r\sin \,\theta \,\cos \varphi \qquad y=r\sin \,\theta \sin \,\varphi \qquad z=r\,\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80638930695905bff2c8fb53e069dc0e0fffcff8)
Bere jacobtarra izanik:
Koordenatu esferikoak eta erlazionatutako ardatz kartesiarrak
Koordenatu kartesiar eta esferikoen arteko tarteko sistema gisa,
koordenatu zilindrikoena
dago, erlazio hauen bidez koordenatu esferikoekin erlazionatuta dagoena:
![{\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\qquad \theta =\arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)\qquad \varphi =\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b844c8a77a26703a9ff9033b1acf29cf7eb25db7)
eta haien alderantzizkoak
![{\displaystyle \rho =r\,{\sin }\,\theta \qquad \varphi =\varphi \qquad z=r\,\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f623bfe44a594cb044098b376fa808a6506e0d82)