En fisica , una teoria de campo gauge (o teoria de gauge , teoria de recalibracion, teoria de la medida o teoria de calibres ) es un tipo de teoria cuantica de campos que se basa en el hecho de que, la interaccion entre fermiones , puede ser vista como el resultado de introducir ciertas transformaciones "locales" pertenecientes al grupo de simetria interna en el que se base la teoria gauge. Asi, los campos de gauge aparecen como efectos fisicos de la descompensacion de recalibracion en diferentes puntos del espacio . El hecho de que la conexion de gauge varie localmente de un punto a otro del espacio , es percibida como la presencia de un campo fisico .

Las teorias de gauge se discuten generalmente en el lenguaje matematico de la geometria diferencial , e involucran el uso de transformaciones de gauge (ver simetria de gauge ). Una transformacion de gauge es una transformacion de algun grado de libertad interno, que no modifica ninguna propiedad observable fisica. Usualmente, un campo gauge se modeliza como un campo de Yang-Mills , asociado a las transformaciones de gauge que forman un grupo de gauge compacto (ver Grupo de gauge ). La teoria resultante proporciona un conjunto de ecuaciones que describe la interaccion fisica entre diferentes campos fermionicos sensibles a la interaccion con el campo de Yang-Mills . Por ejemplo, el campo electromagnetico es un campo de gauge (ver fibrado vectorial , campo vectorial , y fibrado principal ), que describe el modo de interactuar de fermiones dotados con carga electrica , y en el que el campo de gauge asociado son transformaciones gauge que involucran un cambio de fase , que colectivamente pueden ser representadas por el grupo de gauge U(1) .

Introduccion [ editar ]

En fisica , las teorias mas extensamente aceptadas del modelo estandar son teorias de campo de gauge . Esto significa que los campos en el modelo estandar exhiben alguna simetria interna abstracta conocida como invariancia de gauge (ver simetria de gauge ).

Las teorias gauge provienen de la aproximacion geometrica a la teoria de la relatividad general realizada por Weyl , ^{[ 1 ]} ​ ^{[ 2 ]} ​ y posteriormente ampliada por este mismo en un intento de unificar la relatividad general con el electromagnetismo , ^{[ 3 ]} ​ ^{[ 4 ]} ​ y finalmente con la recientemente surgida, en aquel entonces, mecanica cuantica . ^{[ 5 ]} ​ ^{[ 6 ]} ​ Para esto ultimo Weyl tuvo que emplear lo que en un principio se denomino Eichinvarianz (en aleman) o gauge invariance (en ingles) ^{[ 7 ]} ​utilizando dicho principio las ecuaciones 5 y 9 de Fock ^{[ 8 ]} ​ (que extendia la conocida libertad de elegir los potenciales electromagneticos en la electrodinamica clasica , hasta la mecanica cuantica de particulas cargadas que interactuan con campos electromagneticos ) ^{[ 7 ]} ​, resultando en que la invariancia de una teoria bajo transformaciones combinadas como (1,a,b,c) comenzara a conocerse como invariancia de gauge o simetria de gauge , siendo una piedra angular en la creacion de teorias modernas de gauge ^{[ 7 ]} ​(ver teorias de campo cuantico , y campo de Yang-Mills , para ver ejemplos).

La proliferacion de las teorias de gauge modernas y la aplicacion de la invarianza de gauge actual al estudio de la fisica teorica o fundamental, se debe al trabajo publicado en 1954 por Chen-Ning Yang y Robert L. Mills ^{[ 9 ]} ​pese a que el primer trabajo en realizar dicha aplicacion se atribuye o encuentra en una publicacion anterior, de Klein (1938), ^{[ 10 ]} ​ ^{[ 11 ]} ​ referido en la bibliografia como "profetico", ^{[ 7 ]} ​ pese a recibir tan poca atencion, incluso por parte de su propio autor ^{[ 7 ]} ​ ^{[ 12 ]} ​y la mayor parte de los autores presentes en la presentacion de la teoria de Klein (1938) que estaban tomando los trabajos presentados en aquel acto con cierto aire de incredulidad. ^{[ 12 ]} ​ ^{[ 13 ]} ​ ^{[ 14 ]} ​

La invariancia gauge significa que, el lagrangiano que describe el campo , es invariante bajo la accion de un grupo de Lie que se aplica sobre las componentes de los campos . Cuando se aplica la misma transformacion a todos los puntos del espacio , se dice que la teoria tiene invariancia gauge global. Las teorias de gauge usan lagrangianos , tales que, en cada punto del espacio es posible aplicar transformaciones o "rotaciones" ligeramente diferentes y aun asi, el lagrangiano se mantendria invariante. En ese caso se dice que el lagrangiano presenta tambien invariancia de gauge local, es decir, un lagrangiano con simetria gauge local permite escoger ciertos grados de libertad internos de una manera en una region del espacio , y de otra en otra region del espacio suficientemente alejada, sin afectar no obstante a la primera region . La posibilidad de que un lagrangiano admita esta transformacion mas general puede ser visto como una version generalizada del principio de equivalencia de la teoria de la relatividad general .

Desde el punto de vista fisico , los campos de gauge se manifiestan fisicamente en forma de particulas bosonicas sin masa ( bosones gauge ), por lo que se dice que todos los campos de gauge son mediados por el grupo de bosones de gauge sin masa de la teoria.

Formulacion matematica [ editar ]

Para formular una teoria de campo gauge es necesario que la dinamica de los campos fermionicos de la teoria venga descrita por un lagrangiano que tenga alguna simetria interna "local" dada por un grupo de Lie , llamado grupo de transformaciones de gauge . Asi pues, al "rotar" algo en cierta region , no se determina como los objetos rotan en otras regiones (se usa el termino "rotar" porque los grupos de gauge mas frecuentes son SU(2) y SU(3) que son generalizaciones del grupo de rotaciones ordinarias). Fisicamente una transformacion de gauge es una transformacion de algun grado de libertad que no modifica ninguna propiedad fisica observable. Las dos caracteristicas formales que hacen de un campo un campo gauge son:

1. Los campos de gauge aparecen en el lagrangiano que rige la dinamica del campo en forma de conexion , por tanto, matematicamente estan asociadas a 1-formas que toman valores sobre una cierta algebra de Lie .
2. El campo de gauge puede ser visto como el resultado de aplicar a diferentes puntos del espacio diferentes transformaciones dentro del grupo de simetria asociado a los campos fermionicos de la teoria.

Mecanismo de Higgs [ editar ]

Aunque en el modelo estandar todas las interacciones o fuerzas basicas exhiben algun tipo de simetria de gauge , esta simetria no es siempre obvia en los estados observados. A veces, especialmente cuando la temperatura disminuye, la simetria se rompe espontaneamente, es decir, ocurre el fenomeno conocido como ruptura espontanea de la simetria . Un ejemplo basico de la simetria rota que se da a menudo es una de estado solido iman . Se compone de muchos atomos , cada uno de las cuales tiene un momento magnetico dipolar . Sin embargo, las leyes del magnetismo son rotacionalmente simetricas, y es asi que a altas temperaturas, los atomos estarian alineados aleatoriamente, y la simetria rotatoria sera restaurada. Semejantemente, con las condiciones apropiadas, se puede enfriar agua por debajo la temperatura de solidificacion: cuando un cristal de hielo se tira en el liquido, la simetria se rompe (se produce una ruptura de la simetria interna) y el agua solidifica inmediatamente.

Para dar cuenta de estos hechos de ruptura de la simetria, se ha propuesto el mecanismo de Higgs . Si en el lagrangiano de la interaccion o " campo de fuerzas " concreto que esta siendo estudiado, se introducen cierto tipo de campos escalares que interactuan consigo mismo, en el limite de bajas energias los bosones gauge se comportan como si estuvieran dotados de masa ; este efecto es precisamente el mecanismo de Higgs . En otras palabras el mecanismo de Higgs puede ser interpretado pensando que la interaccion entre el campo escalar introducido o campo de Higgs y los bosones gauge , hace que estos "adquieran" masa , es decir, presenten interacciones como las que presentarian genuinas particulas con masa .

Formulacion matematica [ editar ]

En una teoria de campo de gauge, una transformacion de gauge es una aplicacion diferenciable:

( * ) ${\displaystyle T_{g}:{\mathcal {M}}\to {\mathcal {G}}_{sym}}$

Donde:

${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, es espacio-tiempo , o variedad diferenciable, donde aparece el campo .

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{sym}}$, es un grupo de Lie o grupo de simetria del campo , es decir, es un grupo de transformaciones que dejan invariable el lagrangiano que define la dinamica del campo . Este grupo se suele llamar grupo de transformaciones de gauge del campo.

Matematicamente podemos tratar convenientemente una teoria de gauge como una conexion definida sobre un fibrado principal definido sobre el espacio-tiempo ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}}$, mas precisamente el fibrado puede definirse como el espacio topologico cociente de cartas locales:

${\displaystyle F=(\cup _{i}U_{i}\times \mathbb {R} ^{k})/{\mathcal {R}},\qquad (x,v){\mathcal {R}}(x,\rho _{ij}(v)),\ }$

Donde:

${\displaystyle (x,v)\in U_{i}\times \mathbb {R} ^{k}}$ es una carta local

${\displaystyle (x,\rho _{ij}(v))\in U_{j}\times \mathbb {R} ^{k}}$ es otra carta local

${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ es el espacio vectorial que hace de fibra, para las teorias gauge mas comunes k = 2 o 3 (y en algunas teorias de gran unificacion k puede llegar a ser 9 o 10).

${\displaystyle \rho _{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to GL(\mathbb {R} ^{k})}$ son aplicaciones que para cada solapacion entre cartas locales, dan el cambio de coordenadas sobre las fibras.

En la construccion anterior de fibrado principal el espacio base sera el espacio-tiempo , correspondiendose con ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, y la "fibra" sera el espacio vectorial ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{k}}$. El grupo de gauge de la teoria es un grupo de Lie ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{sym}\subset GL(\mathbb {R} ^{k})}$. Hecha esta construccion una transformacion de gauge es, precisamente, una seccion diferenciable del anterior fibrado principal . Es decir una aplicacion como ( * ) que a cada punto del espacio le asigna un elemento del grupo de Lie que representa la simetria gauge . Una transformacion de gauge global seria una aplicacion como esa en la que, a todos los puntos del espacio-tiempo , le fue asignado la misma transformacion , mientras que un lagrangiano con invariancia gauge local es tal que, si en cada punto del espacio se elige una transformacion diferente, y por tanto ( * ) es lo mas general posible, entonces el lagrangiano no cambia.

Fisicamente una transformacion de gauge es una transformacion de algun grado de libertad interno que no modifica ninguna propiedad fisica observable. El numero de grados de libertad internos es el mismo k que aparece en la definicion anterior.

Conexiones [ editar ]

Tecnicamente el campo de gauge asociado a una teoria gauge, aparece en el modelo matematico como una conexion sobre el fibrado principal anteriormente definido. Concretamente a partir las componentes de la 1-forma ${\displaystyle \mathbf {A} }$ que toma valores en el algebra de Lie asociada al grupo de gauge , pueden calcularse el conjunto de componentes fisicos que caracterizan el campo de gauge . Propiamente el campo de gauge es un campo de Yang-Mills obtenido a partir de la 2-forma ${\displaystyle \mathbf {F} }$ dada por:

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \land \mathbf {A} }$

Donde d es la derivada exterior y ${\displaystyle \land }$ es producto exterior (o producto cuna).

Transformaciones infinitesimales [ editar ]

Una transformacion de gauge infinitesimal es similar a una transformacion de gauge ordinaria, pero en la definicion se sustituye el grupo de gauge por su algebra de Lie asociada:

${\displaystyle T_{\varepsilon }:{\mathcal {M}}\to {\mathfrak {g}}_{sym}}$

Donde:

${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, es espacio-tiempo , o variedad diferenciable, donde aparece el campo .

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{sym}}$, es el algebra de Lie correspondiente al grupo de gauge ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{sym}}$. Esta definicion puede extenderse a cualquier elemento sobre un fibrado tangente al espacio-tiempo , de tal modo que estan definidas las transformaciones de gauge infinitesimales de cualquier tipo de campo espinorial o tensorial .

Las transformaciones de gauge infinitesimales definen el numero de campos bosonicos de la teoria y la forma en que estos interactuan . El conjunto de todas las transformaciones de gauge infinitesimales forman un algebra de Lie , que se caracteriza, en este caso, por un escalar diferenciable a valores en un algebra de Lie , ε. Bajo tal transformacion de gauge infinitesimal:

${\displaystyle \mathbf {A} \mapsto \mathbf {A} +\delta _{\varepsilon }\mathbf {A} \qquad {\mbox{con}}\ \delta _{\varepsilon }\mathbf {A} :=[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-d\varepsilon }$

Donde [·,·] es el corchete de Lie . Estas transformaciones infinitesimales tienen varias propiedades interesantes:

• Las transformaciones de gauge infinitesimales conmutan con la derivada covariante definida por la conexion: ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X\ \rightarrow \quad \delta _{\varepsilon }(\mathbf {D} _{\alpha }X)=\varepsilon \mathbf {D} _{\alpha }X}$, donde ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {D} _{\alpha }=\partial _{\alpha }+\mathbf {A} _{\alpha }}$ es la derivada covariante.
• Tambien, ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =\varepsilon \mathbf {F} }$, que significa que ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} }$ se transforma covariantemente.
• No todas las transformaciones de gauge pueden ser generadas por transformaciones infinitesimales de gauge en general; por ejemplo, cuando la variedad de base es una variedad compacta sin borde , tal que la clase de homotopia de funciones de esa variedad al grupo de Lie es no trivial. Un ejemplo de ello son los instantones .

Lagrangiano de una teoria gauge [ editar ]

La integral de accion calculada a partir del lagrangiano del campo de Yang-Mills esta dada por:

${\displaystyle S_{YM}=\int _{\mathcal {M}}{\mathcal {L}}_{YM}(\mathbf {F} (\mathbf {x} ),\mathbf {x} )\left({\sqrt {|g|}}dx^{1}\land ...\land dx^{n}\right)={\frac {1}{4g^{2}}}\int _{\mathcal {M}}Tr[*\mathbf {F} (\mathbf {x} )\wedge \mathbf {F} (\mathbf {x} )]\ d^{4}\mathbf {x} }$

Donde ${\displaystyle *\,}$ designa el operador dual de Hodge , y la integral se define como la integral de una n-forma proporcional al elemento de volumen de la variedad de Riemann que define el espacio-tiempo ; y donde el campo de gauge ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$ viene dado en terminos del cuadripotencial del campo :

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\text{d}}\mathbf {A} (\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\mathbf {A} (\mathbf {x} )\land \mathbf {A} (\mathbf {x} )}$

explicitamente en componentes ${\displaystyle \mathbf {F} ^{a}(\mathbf {x} )=F_{\mu \nu }^{a}\ {\text{d}}x^{\mu }\land {\text{d}}x^{\nu }}$:

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

Carga de gauge [ editar ]

Para una teoria de gauge que tome la forma de campo de Yang-Mills con grupo de gauge SU(N) , existen ${\displaystyle N^{2}-1}$ cargas de gauge diferentes que interaccionan con las ${\displaystyle 6(N^{2}-1)}$ componentes del campo de gauge . En el caso electromagnetico el grupo de gauge , es U(1) y eso implica que, unicamente, existe una carga de gauge que es, precisamente, la carga electrica . En el caso de la interaccion electrodebil existen tres cargas de gauge, que estan relacionadas con la carga electrica y la hipercarga debil .

Bucle de Wilson [ editar ]

Una cantidad que es invariante bajo transformaciones de gauge es el bucle de Wilson , que se define sobre cualquier trayectoria cerrada, γ en la forma como sigue:

${\displaystyle \chi ^{(\rho )}({\mathcal {P}}\{e^{\int _{\gamma }A}\})}$

donde ρ es un caracter de una representacion compleja; y ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ representa al operador de trayectoria ordenada. En las teorias de las interacciones electrodebil y fuerte del modelo estandar de la fisica de particulas , los lagrangianos de bosones , que median interacciones entre los fermiones , seran invariantes bajo transformaciones de gauge. Esta es la razon por la cual estos bosones se llaman bosones de gauge .

Formas de Chern-Simons [ editar ]

Ver Chern-Simons .

Ecuaciones semiclasicas [ editar ]

Si bien los campos de gauge fueron formulados en el contexto de la teoria cuantica de campos , resulta util estudiar algunos fenomenos , considerando sus correspondientes ecuaciones de evolucion al estilo de la teoria clasica de campos que se corresponden con el limite clasico de las teorias de gauge cuanticas. En el caso del campo electomagnetico , de hecho, las ecuaciones clasicas son extremadamente importantes porque reproducen los resultados de la electrodinamica clasica y el electromagnetismo , que tienen numerosisimas aplicaciones practicas.

Ecuaciones de movimiento [ editar ]

Las ecuaciones de movimiento de una particula semiclasica puntual que interactua con un cierto campo de Yang-Mills , vienen dadas por las ecuaciones de Wong : ^{[ 15 ]} ​

${\displaystyle m{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}=p^{\mu },\qquad {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=m{\frac {du^{\mu }}{d\tau }}=gQ^{a}F_{a}^{\mu \nu }u_{\nu }}$

donde ${\displaystyle x^{\mu }}$ son las componentes espacio-temporales , ${\displaystyle p^{\mu }}$ las componentes del cuadrimomento , ${\displaystyle u^{\mu }}$ las componentes de la cuadrivelocidad , ${\displaystyle g}$ la constante de acoplamiento , ${\displaystyle Q^{a}}$ las componentes de la carga de gauge ( ${\displaystyle a\in \{1,\dots ,N^{2}-1\}}$ para el grupo de gauge ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$) y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no valida (≪Math extension cannot connect to Restbase.≫) del servidor ≪http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/≫:): {\displaystyle F^{\mu\nu}_a} las componentes del campo de gauge :

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+gf_{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

La propia carga de gauge evoluciona segun la ecuacion:

${\displaystyle {\frac {dQ^{a}}{d\tau }}=-gf^{abc}A_{b}^{\mu }u_{\mu }Q_{c}}$

Para el campo electromagnetico el grupo de gauge es el grupo unitario ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ y, por tanto, ${\displaystyle a=1}$. La segunda ecuacion de movimiento se reduce a la ecuacion para la fuerza de Lorentz :

${\displaystyle F^{\mu }=m{\frac {du^{\mu }}{d\tau }}=qF^{\mu \nu }u_{\nu }\quad \Rightarrow \mathbf {F} =q(\mathbf {v} \times \mathbf {B} +\mathbf {E} )}$

Y la ecuacion de la evolucion de la carga, al ser las constantes de estructura nulas ${\displaystyle f^{abc}=0}$ expresa la conservacion de la carga electrica :

${\displaystyle {\frac {dq}{d\tau }}=0}$

Energia impulso [ editar ]

El tensor energia-impulso del campo de gauge ${\displaystyle F_{a}^{\mu \nu }}$ viene dado por:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {g^{\mu \nu }}{4}}F_{a}^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }^{a}+{F_{\mu \rho }^{a}F_{\rho }^{\nu }}_{a}}$

En este caso la conservacion de la energia admite una formulacion en terminos del tensor energia-impulso, que es una restriccion semiclasica sobre como se distribuye el campo a lo largo del espacio-tiempo :

${\displaystyle {\frac {\partial T^{\mu \nu }}{\partial x^{\nu }}}=0}$

Ejemplos [ editar ]

• Electrodinamica cuantica .
• Modelo electrodebil .
• Modelo estandar .

Vease tambien [ editar ]

• Ruptura espontanea de simetria electrodebil .
• Campo de Yang-Mills .

Referencias [ editar ]

Bibliografia [ editar ]

Libros

• Bromley, D.A. (2000). Gauge Theory of Weak Interactions . Springer . ISBN   3-540-67672-4 .  
• Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Gauge Theory of Elementary Particle Physics . Oxford University Press . ISBN   0-19-851961-3 .  
• Frampton, P. (2008). Gauge Field Theories (3rd edicion). Wiley-VCH .  
• Kane, G.L. (1987). Modern Elementary Particle Physics . Perseus Books. ISBN   0-201-11749-5 .  
• Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things . Johns Hopkins University Press . Esp. chpt. 8. A serious attempt by a physicist to explain gauge theory and the Standard Model with little formal mathematics.

Articulos

• Becchi, C. (1997). Introduction to Gauge Theories . Bibcode : 1997hep.ph....5211B . arXiv : hep-ph/9705211 .  
• Gross, D. (1992). ≪Gauge theory ? Past, Present and Future≫ . Archivado desde el original el 16 de marzo de 2009 . Consultado el 23 de abril de 2009 .  
• Jackson, J.D. (2002). ≪From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations≫. Am.J.Phys 70 : 917-928. Bibcode : 2002AmJPh..70..917J . arXiv : physics/0204034 . doi : 10.1119/1.1491265 .  
• Svetlichny, George (1999). Preparation for Gauge Theory . Bibcode : 1999math.ph...2027S . arXiv : math-ph/9902027 .  

Enlaces externos [ editar ]

• George Svetlichny